西安交通大学计算机图形学第五章

1、第5章 二维几何变换杨新宇2Chapter 52021-11-25主要内容w基本变换w矩阵表达式和齐次坐标w复合变换w其他变换w坐标系间的变换w仿射变换w变换函数w变换的光栅方法3Chapter 52021-11-255-1 基本变换平移旋转缩放4Chapter 52021-11-25平移w 平移是指将对象沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位。5Chapter 52021-11-25平移w 通过给原始坐标（x,y）加上平移距离 和 来平移二维点，从而实现到新位置 的移动。yt),(yx1)-(5 ,yxtyytxxxt一对平移距离（tx,ty）称为平移向量或移动向量。6Chapt

2、er 52021-11-25平移w 我们可以使用列向量表示坐标位置，并使用平移向量将平移方程5-1表示为单个矩阵方程：2)-(5 ,2121yxttTxxPxxP7Chapter 52021-11-25平移w 使用矩阵形式来表示二维平移方程：3)-(5 TPP8Chapter 52021-11-25平移w 平移是一种不产生变形而移动对象的刚体变换（rigidbody transformation） ，即对象上的每个点移动相同数量的坐标。 9Chapter 52021-11-25平移w 直线的平移是将平移方程（5-3）加到直线的每个端点上，并重绘制新的端点位置间的直线。 w 多边形的平移是将平移

3、向量加到每个顶点的坐标位置上，并按新的顶点坐标组和当前属性设置来生成新的多边形。 10Chapter 52021-11-25平移11Chapter 52021-11-25旋转w 二维旋转是将对象沿xy平面内的圆弧路径重定位。w 为了实现旋转，需要指定旋转角和对象旋转的旋转点（rotation point或基准点，pivot point） 位置 。n旋转角的正值定义为绕基准点逆时针旋转，负值则以顺时针方向旋转对象 。),(rryx12Chapter 52021-11-25旋转w 这种变换也可以描述为通过基准点，围绕垂直于xy平面的旋转轴旋转。13Chapter 52021-11-25旋转w 首先

4、确定当基准点为坐标原点时，在点位置P进行旋转的变换方程。原始点和变换后点位置的角度和坐标关系如图5.4所示。 14Chapter 52021-11-25旋转w 其中，r是点到原点的固定距离，角是点的原始角度位置与水平线的夹角，是旋转角。应用标准的三角等式，我们可以利用角度和将转换后的坐标表示为：sinsincoscos)cos(rrrx4)-(5 cossinsincos)sin(rrry15Chapter 52021-11-25旋转w 在极坐标系中，点的原始坐标为：w 将表达式（5-5）代入（5-4）中，我们就得到相对于原点，将位置（x，y）的点旋转角的变换方程：5)-(5 sin,cosr

5、yrxsincosyxx6)-(5 cossinyxy16Chapter 52021-11-25旋转w 使用列向量表达式（5-2）表示坐标位置，那么旋转方程的矩阵形式为：n其中，旋转矩阵为： 7)-(5 PRPcossin (5-8)sincosR17Chapter 52021-11-25旋转w 当使用行向量式代替列向量来表示坐标位置时，将转置旋转方程（5-7）中的矩阵乘积。变换后的行坐标向量 可计算为：yxTTTTRPPRP)(18Chapter 52021-11-25旋转w 点绕任意基准位置的旋转如图5.5所示。利用图中的三角关系，可以将方程（5-6）规范化为绕任意指定的旋转位置 旋转的点

6、的变换方程：),(rryx9)-(5 cos)(sin)(sin)(cos)(rrrrrryyxxyyyyxxxx19Chapter 52021-11-25旋转w 类似于平移，旋转是一种不变形地移动对象的刚体变换，对象上的所有点旋转相同的角度。 20Chapter 52021-11-25缩放w 缩放（scaling）变换改变对象的尺寸。对于多边形缩放，则可以通过将每个顶点的坐标值（x,y）乘以缩放系数 和 ， 从而产生变换的坐标xs),(yxys10)-(5 ,yxsyysxx21Chapter 52021-11-25缩放w 缩放系数 ，在x方向对对象缩放，而 在y方向进行缩放。变换方程（5-

7、10）也可以写成矩阵形式：xsys11)-(5 00yxssyxyxor12)-(5 PSP22Chapter 52021-11-25缩放w 可以赋给缩放系数 和 任何正数值。值小于1 将缩小对象的尺寸，值大于1 则放大对象。如果将 和 都指定为1 ，那么对象尺寸就不会改变。 xsysxsys23Chapter 52021-11-25缩放w 当赋给 和 相同的值时，就会产生保持对象相对比例的一致缩放。 和 值不等时将产生差值缩放。这种缩放常用于设计应用中，因为设计应用中的图形是从一些基本形状构造出来的，这些形状能通过缩放和定位变换而调整（图5.6）。 xsysxsys24Chapter 520

8、21-11-25缩放w 我们可以选择一个在缩放变换后不改变位置的点（称为固定点），从而控制缩放对象的位置。 25Chapter 52021-11-25缩放w 固定点的坐标 可以选择对象的顶点之一、中点或任何其他位置（图5.8）。这样，多边形通过缩放每个顶点到固定点的距离而相对于固定点进行缩放。对于坐标为 的顶点，缩放后的坐标 可计算为： ),(ffyx),(yx),(yxyffxffsyyyysxxxx)(,)(26Chapter 52021-11-255-2 矩阵表达式和齐次坐标w 许多图形应用涉及到几何变换的顺序。w 在设计和图形构造的应用中，我们要完成平移、旋转和缩放，从而将图形组成部分

9、安装到合适的位置。 w 我们考虑怎样重组上一节所讨论的矩阵表达式，从而可以有效地处理这种变换顺序。27Chapter 52021-11-25矩阵表达式和齐次坐标w 在齐次坐标中所表示的位置，允许我们将所有的几何变换方程表示为矩阵乘法，坐标可表示为三个元素的列向量，变换操作可写成3x3 矩阵。对于平移，则有18)-(5 P)t ,T(tPor17)-(5 110010011yxyxttyxyx28Chapter 52021-11-25矩阵表达式和齐次坐标w 同样，绕坐标原点的旋转变换方程也可以写为：20)-(5 P)R(Por19)-(5 11000cossin0sincos1yxyx29Cha

10、pter 52021-11-25矩阵表达式和齐次坐标w 最后，将相对于坐标原点的缩放变换表示为矩阵乘法：22)-(5 P)s ,S(sPor21)-(5 110000001yxyxssyxyx30Chapter 52021-11-255-3 复合变换w 平移w 旋转w 缩放w 通用基准点旋转w 通用固定点缩放w 通用定向缩放w 连接特性w 通用复合变换和计算效率31Chapter 52021-11-25平移w 对于两个平移向量T(tx1,ty1)、T(tx2,ty2)，作用于点P，则：23)-(5 P)t ,T(t)t ,T(tP)t ,T(t)t ,T(tPy1x1y2x2y1x1y2x23

11、2Chapter 52021-11-25平移w 我们可以计算两个相关的矩阵乘积来检验这个结果。同样，对这个平移顺序其复合变换矩阵为：25)-(5 )tt ,tT(t)t ,T(t)t ,T(tor24)-(5 100100110010011001001y2y1x2x1y1x1y2x221211122yyxxyxyxtttttttt这表明：两个连续平移是相加的。33Chapter 52021-11-25旋转w 对于两个连续旋转R(1)、R(2)，作用于点P，则：26)-(5 P )(R)(RP)(R)(RP121234Chapter 52021-11-25旋转w 通过两个旋转矩阵相乘，我们可以证

12、明两个连续旋转是相加的：28)-(5 P)R(P27)-(5 )R()R()R(21211235Chapter 52021-11-25缩放w 两个连续缩放操作的变换矩阵连接，将产生下列复合缩放矩阵： w 这种情况下的结果矩阵表明：连续缩放操作是相乘的。30)-(5 )ss ,sS(s).sS(s)s ,S(sor29)-(5 100000010000001000000y2y1x2x1y1x1y2x221211122yyxxyxyxssssssss36Chapter 52021-11-25通用基准点旋转w 利用只能绕坐标原点旋转对象的图形软件包，我们可以通过完成下列平移旋转平移操作序列，来实现绕

13、任意选择的基准点（x,y）的旋转。37Chapter 52021-11-25通用基准点旋转w平移对象使基准点位置移动到坐标原点； w绕坐标原点旋转；w平移对象使基准点回到其原始位置。38Chapter 52021-11-25通用基准点旋转32)-(5 ),y,R(x),-yT(-x)R()y,T(xor 31)-(5 100)sin()cos(1 ()cos()sin()sin()cos(1 ()sin()cos(10010011000)cos()sin(0)sin()cos(1001001rrrrrrrrrrrrrrxyyxyxyxw该顺序的复合变换矩阵为：39Chapter 52021-1

14、1-25通用固定点缩放w平移对象使固定点与坐标原点重合；w对于坐标原点缩放；w使用步骤1的反向平移将对象返回到原始位置。40Chapter 52021-11-25通用固定点缩放w 将这三个操作的矩阵连接，就可以产生所需的缩放矩阵：34)-(5 )s ,s ,y,S(x),-yT(-x)s ,S(s)y,T(xor 33)-(5 100)1 (0)1 (0100100110000001001001yxffffyxffyfyxfxffyxffsyssxsyxssyx41Chapter 52021-11-25通用定向缩放w 参数 和 沿x和y方向缩放对象，可以通过在应用缩放变换之前，将对象所希望的缩

15、放方向旋转到与坐标轴一致而在其他方向上缩放对象。xsys42Chapter 52021-11-25通用定向缩放w 假如我们要在图5-11所示的方向上，使用参数 和 指定的值作为缩放系数，为了完成这种缩放而不改变对象方向，我们首先完成旋转操作，从而使 和 方向分别与x 和y 轴重合。然后应缩放变换，再进行反向旋转以回到其原始位置。1s2s1s2s43Chapter 52021-11-25通用定向缩放w 从这三个变换的乘积得到的复合矩阵为：)35-(5 1000cossinsincos)(0)sincos(sincos)(),()(222112122221211ssssssssRssSR44Cha

16、pter 52021-11-25通用定向缩放45Chapter 52021-11-25连接特性w 矩阵相乘符合结合律。对于任何三个矩阵A、B和C，矩阵积ABC可先将A和B相乘或先将B和C相乘：)()(CBACBACBA46Chapter 52021-11-25连接特性w 另一方面，变换积一般不可交换，矩阵积AB 不等于BA。这说明如果要平移和旋转对象，必须注意复合矩阵求值的顺序。对于变换序列中每一个类型都相同的特殊情况，变换矩阵的多重相乘是可变换的。47Chapter 52021-11-25通用复合变换和计算效率w 表示平移、旋转和缩放组合的通用二维变换可以表示为：37)-(5 11001yx

17、trsrsrstrsrsrsyxyyyyxxxyxx48Chapter 52021-11-25通用复合变换和计算效率38)-(5 100)sin()cos(1 ()cos()sin()sin()cos(1 ()sin()cos(),(),(),(yxcycyxxycxcyxyxccccyxtsxsysstsysxssssyxSyxRttT39)-(5 yyyyxxxyxxtrsrsyrsyytrsrsyrsxxw 对其中心坐标（xc,yc）进行缩放、旋转和平移的复合变换矩阵为：w 变换后坐标为：49Chapter 52021-11-25通用复合变换和计算效率w 仅包含平移和旋转的通用刚体变换矩

18、阵可以表示为下列形式：40)-(5 100yyyyxxxyxxtrrrtrrr50Chapter 52021-11-25通用复合变换和计算效率41)-(5 1rrr r2yy2yx2xy2xx42)-(5 0rr rryyxyyxxxw 矩阵5.40中左上角的2x2矩阵是一正交矩阵。每个向量具有单位长度（5-41）且相互垂直（5-42）。40)-(5 100yyyyxxxyxxtrrrtrrr51Chapter 52021-11-25通用复合变换和计算效率43)-(5 101 110000 xyxxyyyxxyxxrrrrrr44)-(5 110 110000yyyxyyyxxyxxrrrrr

19、rw 假如这些单位向量通过转换子矩阵进行变换，那么（rxx,rxy）就转换成沿x轴的单位向量，（ryx,ryy）就转换成沿y轴的单位向量。52Chapter 55-4 其他变换反射错切53Chapter 5反射w 反射是产生对象的镜像的一种变换。 w 关于直线y=0（x 轴）的反射，可以由下列变换矩阵来完成：48)-(5 10001000154Chapter 5反射w 对于y轴的反射，翻动x的坐标而保持y坐标不变，这种变换的矩阵是：49)-(5 10001000155Chapter 5反射w 我们可以通过相对于垂直xy平面而又经过坐标原点的轴进行反射，并且同时翻动点的x和y坐标，这种称为相对于

20、坐标原点反射的变换矩阵表示为：50)-(5 10001000156Chapter 5反射w 假如我们将对角线yx选为反射轴（图5.20），那么反射矩阵为：51)-(5 10000101057Chapter 5反射w 为了得到关于对角线y-x反射的变换矩阵,我们按下列变换顺序合并矩阵（1）顺时针旋转45度 , （2）对于y 轴反射，（3）逆时针旋转45度，变换矩阵的结果为：52)-(5 10000101058Chapter 5反射w 关于xy 平面内任意直线y=mxb的反射，可以使用平移-旋转-反射变换的组合而完成。n先平移直线使其经过原点。 n然后将直线旋转到坐标轴之一，并关于坐标轴反射。 n

21、最后利用逆旋转和平移变换将直线还原到原来位置。59Chapter 5错切w 错切（Shear）是一种使对象形状发生变化的变换。经过错切的对象好像是由已经相互滑动的内部夹层组成。w 常用的错切变换有两种：改变x坐标值和改变y坐标值。60Chapter 5错切w 相对于x轴的x方向错切由下列变换矩阵产生：n该矩阵将坐标位置转换成：53)-(5 10001001xsh54)-(5 yyyshxxx61Chapter 5错切w 我们可以使用下列矩阵生成相对于其他参考线的x方向错切：n坐标位置将变换为： 55)-(5 1000101refxxyshsh56)-(5 ),(yyyyshxxrefx62Ch

22、apter 5错切w 使用下列变换矩阵生成相对于线 的y方向错切：n该矩阵生成的坐标位置为： refxx 57)-(5 1001001refyyxshsh58)-(5 )(,yxxshyxxrefy63Chapter 55-5 坐标系间的变换w 图形应用经常需要将对象的描述从一个坐标系变换到另一个坐标系统。w 图5.26 示例了坐标原点在 和 、x和 轴间夹角为的两个笛卡尔系统。 )0 , 0(),(00yxx64Chapter 5坐标系间的变换w为了将对象描述从xy 坐标变换到 坐标，必须建立把 轴叠加到xy轴的变换，这需要分两步进行：n将 系统的坐标原点平移到xy系统的原点；1.将 轴旋转到x轴上 。yxyxyxx65Chapter 5坐标系间的变换w 坐标原点的平移可以使用下列矩阵操作表示：w 为了将两个系统的轴重合，可以顺时针旋转：59)-(5 1001001),(0000yxyxT60)-(5 1000cossin0sincos)(R66Chapter 5坐标系间的变换w 将这两个变换矩阵合并起来，就给出了将对象描述从xy系统转换到 系统的完整复合矩阵：yx