流体力学 第二章 流体静力学

1、流体静力学流体静力学:研究研究平衡平衡流体的力学规律及其应用流体的力学规律及其应用平衡流体互相之间没有相对运动平衡流体互相之间没有相对运动 粘性无从显示粘性无从显示 平衡流体上的作用力平衡流体上的作用力流体的平衡微分方程流体的平衡微分方程重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡静压强的计算与测量静压强的计算与测量平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力液压机械的工作原理液压机械的工作原理液体的相对平衡液体的相对平衡1.1.质量力质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比重力惯性力单位质量力重力gmmgfzkjiazyxmfff微团质量力的合力为kjiaFzyxmmfffmmkjiaFzy

2、xmmfffdmdmd作用在微团作用在微团V上的力可分为两种：上的力可分为两种：质量力质量力表面力表面力AAF0lim2.表面力表面力：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外 表面，与表面积大小成正比表面，与表面积大小成正比应力应力切线方向：切线方向：切向应力切向应力剪切力剪切力内法线方向：内法线方向：法向应力法向应力压强压强AFlimpnA0AFA0limFAFnF表面力具有传递性表面力具有传递性流体相对运动时因粘流体相对运动时因粘性而产生的内摩擦力性而产生的内摩擦力AFpA0lim3.3.流体的静压力：表面力沿受压表面内法线方向分量流体的静压力：表面

3、力沿受压表面内法线方向分量平衡状态平衡状态静压力特征静压力特征a. .静压强方向沿作用面的内法线方向静压强方向沿作用面的内法线方向N/m2（Pa）反证法反证法流体静压强流体静压强0F0)cos(0 xnxxFxnPPF质量力xFyFzF表面力证明：取微小四面体O-ABCxPyPzPnPb.b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关任一点静压强的大小与作用面的方位无关061)cos(21dxdydzfxnABCpdydzpxnxdydz21031dxfppxnx0dxnxpp nzyxpppp),(zyxpp 与方位无关与位置有关dzzpdyypdxxpdpp的全微分2.2 流体的平衡微分方程左P

4、右PdxdydzfFxxd1.1.流体平衡微分方程流体平衡微分方程由泰勒展开，取前两项：质量力：0 xF0 xFPP右左dydzdxxpp21dydzdxxpp21用dx、dy、dz除以上式，并化简得同理01xpfx01ypfy01zpfz欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程01pf（1）（2）（3）02121dxdydzfdydzdxxppdydzdxxppx0 xFPP右左说明说明: : 1 1 质量力与该方向上表面力的合力相等，方向相反质量力与该方向上表面力的合力相等，方向相反 2 2 平衡流体受哪个方向的质量力，则流体静压强沿该方向必然发生变化平衡流体受哪个方向的质量力，则流体静压强沿该方

5、向必然发生变化 3 3 平衡流体在哪个方向没有质量力，则流体静压强沿该方向不发生变化平衡流体在哪个方向没有质量力，则流体静压强沿该方向不发生变化2.2.质量力的势函数质量力的势函数(4)对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得dpdzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyx）（yfzfzyxfyfyxzfxfxz力作功与路径无关的充分必要条件必存在势函数W，力是有势力将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加dzzWdyyWdxxWdW（4）式可写为：dpdWdzzWdyyWdxxWxfxWyfyWzfzW力与势函数的关系将上式积分，可得流体静压强分布规律等压面性质

6、：等压面性质： 等压面就是等势面等压面就是等势面 与大气接触的自由表面当然也是等压面，在受其他质量力与大气接触的自由表面当然也是等压面，在受其他质量力作用下不一定是水平面作用下不一定是水平面 等压面与质量力垂直等压面与质量力垂直 两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面3.3.等压面：等压面：dp =0（4 4）式可写为：式可写为：0dzfdyfdxfzyxsasammdd0广义平衡下的等压面方程广义平衡下的等压面方程gfzgdzdzfdpzcgzp积分积分写成水头形式：写成水头形式：1.1.不可压缩流体的静压强基本公式不可压缩流体的静压强基本公式单位单

7、位 m单位重量能量单位重量能量czgpzgp22112.3重力场中的平衡液体或写成或写成cgzpgzp2211单位单位 Pa物理意义：平衡流体中物体的总势能是一定的物理意义：平衡流体中物体的总势能是一定的p/g单位重力压强势能单位重力压强势能压强水头压强水头z单位重力位置势能单位重力位置势能位置水头位置水头压强分布规律的最常用公式：压强分布规律的最常用公式：ghpzzgpp000帕斯卡原理帕斯卡原理（压强的传递性）（压强的传递性）00gzpgzp适用范围：适用范围：1.1.重力场、不可压缩的流体重力场、不可压缩的流体2.2.同种、连续、静止同种、连续、静止一一. .静压强的计算标准静压强的计算

8、标准a.a.绝对压强绝对压强以绝对真空为零点压强以绝对真空为零点压强pa当地大气压强当地大气压强maappghpppaAh2.4 静压强的计算与测量b.b.计示压强（表压）计示压强（表压）pmc.c.真空度真空度pv以当地大气压强为零点压强以当地大气压强为零点压强ghpppampppav注意：注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！真空的程度，读正值！pvm62)22(3113hggh，得mhgggh6 . 5/2422)2(2122122，得mhggggh88. 4/222222321132131）（，得32218 . 08 . 0，

9、二二. .静止压强的计量单位静止压强的计量单位工程大气压（at）=0.9807105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）=1.013105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa1bar=105Pa1.1.测压管测压管pgh一端与测点相连，一端与大气相连一端与测点相连，一端与大气相连三静压强的测量三静压强的测量2.2.U形管测压计形管测压计例例 求求pA（A处是水，密度为处是水，密度为，测，测压计内是密度为压计内是密度为的水银）的水银）解：作等压面解：作等压面ghgapAgahpA例例 求求pA（A处

10、是密度为处是密度为的空气，测压计内是密度为的空气，测压计内是密度为的的水）水）解：解：ghpA气柱高度不计气柱高度不计一端与测点相连，一端与大气相连一端与测点相连，一端与大气相连3.3.压差计压差计例例 求求p（若管内是水，密度为（若管内是水，密度为，压差计内是密度为，压差计内是密度为的水银）的水银）解：作等压面解：作等压面hgphgp21hgppp21h12两端分别与测点相连两端分别与测点相连例例 求求p （管内是密度为（管内是密度为的空气，压差计内是密度为的空气，压差计内是密度为的水）的水）解：解：hgpp21hgppp21h124.4.微压计微压计sin1glghpnhlsin1（放大倍

11、数）（放大倍数）a.总压力2.5 平衡流体对壁面的作用力pdAdF ghdAdAgysin一、平板壁上的流体静压力一、平板壁上的流体静压力AydAgdFFsinAyydAcA受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）注意：h与y的区别ApAghAygcccsinb.压力中心dFydM 力矩合成DFydFydMMDCAyghghdAyDCAyydAyysinsinDCAyydAy2AyIAydAyyCxCD2dAyIx2受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）平行轴定理AyIICCx2AyAyIyCCCD2CCCCyAyIy常见图形的yC和ICCyCI2h312hbh32336hbbabah23baba

12、bah2234362d464dd32421152649dkNAghPc63.12225. 12)6 . 05 . 1 (8 . 92myc675. 89 . 025. 16 . 0225. 1mDRAyIyycccD53. 1067. 0675. 84675. 84675. 824例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开22m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时，求作用于此盖板的水静压力及作用点解：设想打开封闭容器液面上升高度为mgPPa4807. 907.9837.137060p01m2mo4mymyC6 . 61160sin44333. 13412

13、mhbICCCCCDymAyIyy65. 605. 06 . 646 . 633. 16 . 6mhC73. 560sin114kNAghPC22560o4myyCyDCD二、柱面壁上的流体静压力二、柱面壁上的流体静压力1.总压力的大小和方向（1）水平方向的作用力xxghdAghdAdFdFcoscosxCxCAxxxApAghhdAgdFFx大小、作用点与作用在平面上的压力相同FxAzAx（2 2）垂直方向的作用力）垂直方向的作用力zzghdAghdAdFdFsinsinFAzzzgVhdAgdFFz作用点通过压力体体积的形心VF压力体体 gVF压力体重量AzAxFz（3 3）合作用力大小）

14、合作用力大小22zxFFF（4 4）合作用力方向）合作用力方向与水平面夹角与水平面夹角xzFFtanFFxFz三三.压力体压力体压力体由以下各面围成：压力体由以下各面围成：（a a）曲面本身；）曲面本身；（b b）通过曲面周界的铅垂面；）通过曲面周界的铅垂面；（c c）自由液面或者延续面）自由液面或者延续面压力体压力体 曲面和自由液面或者自由液面的延曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积长面包容的体积 OOOAAABBBabcpapapa实压力体：实压力体：虚压力体：虚压力体：abcdfgzxoaFpz1Fpz2acbfgadbfgpVVV总压力的垂直分力为总压力的垂直分力为adbcpp

15、zgVgVFkNRbRAghFxcx8 .940sinsin2148 . 9kNRRRRRbgVFFz7 .281cos4sincos21360308 . 92kNFFFzx9822217arctanxzFFkNAgHAgHFxcxcx7 .1445 . 025. 0415 . 08 . 92211kNLDgVFz09.232438 . 92kNFFFzx37.272258arctanxzFFdzfdyfdxfdpzyxafx0, 0, 0ppzx1.1.等加速直线运动容器内液体的相对平衡等加速直线运动容器内液体的相对平衡在自由面：边界条件：等压面是倾斜平面等压面是倾斜平面xzppgdzadx

16、dp000gzaxpp0 xgaz0pp ogaxz2.7 液体的相对平衡a重力（g）惯性力（a）由gZfy , 0（惯性力） 液体质点彼此之间没有相对运动，但盛放液体的容液体质点彼此之间没有相对运动，但盛放液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。例一洒水车以等加速例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，在平地行驶，静止时，B点处水深点处水深1m，距，距o点水平距点水平距1.5m，求运动时，求运动时B点的水点的水静压强静压强解：gzaxpa=0.98m/s2，x=1.5m，z=1m，代入OmH.gp2151注意坐标的正负号a

17、oBzx例一盛有液体的容器，沿与水平面成角的斜坡以等加速度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡，液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律解：cosafxgafzsindzgadxadpzxp000sincosgzazaxpsincos注意：坐标的方向及原点的位置注意：坐标的方向及原点的位置dzfdxfdpzx2.2.等角速度旋转容器中液体的相对平衡等角速度旋转容器中液体的相对平衡zrog2rgdzrdrdzfdrfdpzr2边界条件：边界条件：0, 0, 0ppzrrzppgdzrdrdp0020zgrgpp2220在自由面：在自由面：旋转抛物面旋转抛物面grz2220pp

18、 注意：坐标原点在旋注意：坐标原点在旋转后自由面的最底点转后自由面的最底点rfr2应用（应用（1 1）：离心铸造机）：离心铸造机中心开孔中心开孔例浇铸生铁车轮的砂型，已知例浇铸生铁车轮的砂型，已知h=180mm，D=600mm，铁，铁水密度水密度=7000kg/m3，求，求M点的压强；为使铸件密实，使砂点的压强；为使铸件密实，使砂型以型以n=600r/min的速度旋转，则的速度旋转，则M点的压强是多少？点的压强是多少？ 解：PaghpM41024. 1当砂型旋转gzrpMM2/22srn/202压强增大约100倍ghrM2/22Pa61025. 1应用（应用（2 2）：离心泵（边缘开口）：离心泵（边缘开口）zo边界条件：当r =R，p = pa= 0rRzpgdzrdrdp020gzRrp222222在r=0处，压力最低真空抽吸作用gzRp222应用（应用（3 3）：清