线性代数第五章课后习题与解答

1、第五章课后习题及解答1.求下列矩阵的特征值和特征向量:解：九IOr3712A3L -1 373 161 372 0 0所以,A)x。的基础解系为：(6,137).-厂因此，A的属于I的所有特征向量为：k, (6,137) (kf2I AX 一00137所以，(2l A)x0的基础解系为：(6.137)因此，A的属于2的由有特征向量为：卜2(6,137)出T 0).*TZ - 22)九一3解：% - A = %1 2r = r /以x -2所以，特征值为：1(单根),X =22(二重根)所以，(/ A)x 0的基础解系为：(011).T0).因此，A的属于1的所有特征向量为：k,(0,1.1)

2、(k1T所以,)0A X的基础解系为：(110) 0).因此，A的属于2的所有特征向量为：k2(1,1.0) (k220011;11T3X -2所以，特征值为Z 二2（三重根）32)-101所以,A)x°的基础解系为：(11,0)因此，A的属于I的除有特征向量为2（ 1。，1） （kk2为不全为零的任意常数)o解:/J A0 12 3 4解：I (1A00 12所以，特征值为：0-2-34-00-2-3M =000-20000- =所以，(J A)x 。的基础解系为：(1,0,0,0).因此，A的属于；的所有特征向量为：九一4所以，特征值为X =11(三重根所以,A)x0的基础解系为

3、：因此,A的属于的所有特征向量为：<(1,11)0)二 2 (T(6)121-2 ；)A -220%一=I A 20所以，特征值为：1 1（单根），2 4（单根），32（单根）,所以，（/ A）x 0的基础解系为：（2, 12）.因此，A的属于1的所有特征向量为：1(2, 1,2)出0)024Ak -=一T所以，（2l A）x。的基础解系为：（2, 2,1）.因此，A的属于2的所有特征向量为：k2(2f 21) (k20)九一 =一423I A 2302所以，（3I Qx 0的基础解系为：（1,2,2）因此，A的属于3的所有特征向量为：Tk3(1,2,2) (k3。)于2.已知矩阵7_向

4、量。的特征值%=3(二重),4电求x的值，并求其特征123I A所以，(3IA)x0的基础解系为：T(1, 1,0) ,(1,0,4).因此，A的属于3的所有特征向量为：数)k«, 1,0)T kT2(1.0,4) (K*2为不全为零的任意常121 A所以,(121 A)xo的基础解系为：(1,因此，A的属于12的所有特征向量为：T k3( 1 1,1) (k30)3.设，X2是矩阵A不同特征值的特征向量,证明 x, X2不是A的一个特征向量。证：（反证法）若为是A的属于特征值 且为# /2，则：的一个特征向量，为,X2是A的属于特征值n以的特征向量Ax1+ X "X21

5、1所以，（,一九%，X属于不同特征值2XX2线性无关所以，*0,X不是A的一个特征向量。22矛盾。4.设X，X2，X3分别是矩阵A对应于互不相同的特征值3的特征向量，证明Xxx不是A的一个特征向量。证：类似3题可证。5.证而骼矩阵瓦前A-r2 I II A(1)力的特征信只能为1或In证：1）01.A的特征值只有1.若为A的特征值,则 22A的特征值 一为A的特征值只能为1或1.6.设A可逆，讨论A与A的特征彳直（特征向量）之间的相互关系。).11=K=X若 Ax x,贝lj A x x .7.若 P，问：P (A 2I)P B 211AP B1是否成立？解：成立。&已知Ar-、A=l

6、 J1 0、,求 det(A I ).02A解： A ，相似矩阵具有相同的特征值X - =九 + X -I A (1)(2) = = +2119.已知 P,P AP-3=2-6(nn1)32(n 1nl1)212nn力 2(1)0n PPA022n ，210.设 BP AP,xA是矩阵A属于特征值 勺的特征向量。证明：是矩阵B对应其特征值九。的一个特征向量。证： Ax ()x,B P APB(p & P 1APP x P Ax P )11设A为非奇异矩阵，证明1存在:.A (AB)4 BAAB与BA相似12.设A B,C D,证明：A B,C Drr存在可逆矩阵P,Q,使得P APQ

7、CQYAP1CQ一人A 0010 cQ1° CJ 1° DJp 1 .)0*m13.证明：m阶矩阵j =.只有零特征值，且特征子空间是R的一维子空1间，并求它的基。 X - | = 解：I J0 J只有零特征值。01. 0JI 1J0 . TJX 0的基础解系为：(1,0,0).十 一14 .若I A可逆，I A不可逆，那么，关于 A的特征值能做出怎样的断语？ + _解：I A可逆，I A不可逆二 | + | W | - | =I A 0, I A 01不是A的特征值，1是A的特征值。215 .若det（l 屋）0,证明：1或1至少看二个是A的特征值。证：0 det(l A

8、 ) 2*t Il +A1或1至少有一个是A的特征值。16 .在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵A,求矩阵P和对角矩阵，使得P1AP1AP解：由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知：,可对角化。37 337diag(3737(2) P 1diag (1,4, 2).17 .主对角元互不相等的上（下）三角形矩阵是否与对角阵相似（说明理由）？解：可以，因为有 n个互不相等的特征值。一18 .设n阶矩阵A的个元素全为1,试求可逆矩阵P,使P AP为对角阵,似的对角阵。并写出与A相所以，特征值为： = * 1所以，（nl A）xn（单根），2 0（n 1重根）：10011._0101

9、n1 ')1100。的基础解系为：（11所以,Ax 0的基础解系为：（1, 1。，,0） ,（1。,0. 1).1 T所以， =P 1 ：0 ： 10 1：。4 A相似的对角阵为: 1p AP diag n,0).(,0,1AP diag n19 .已知4阶矩阵A的特征值为11(三重)，23；对应于1的特征向量有=TTX (1, 1,0,0) ,( 1,1, 1,0) ,(0, 11 1),对应于 2 的特征向量为T XX 1A (n为正整数)。TX (0,0, 1,1) 问：A可否对角化？如能对角化，求出 A及容易验证线性无关, 丁-4=1 ( 3)3)3) 11%)20 .设三阶矩

10、阵A有二重特征值？如果1,0, 1),x =T(1,10) , 4T（0.1. 1）都是对应于1的特征向量，问A可否对角化？解(X” x2,x3,x4)所以，XX线性无关。又因为剩余的那个特征值是单根,所以A可对角化。九一所以，特征值为：九支一2)(1). 0/.=2（单根）,1 （单根）-3 221 .已知A求 45卜也为正整数）oA , A , A,求 f (A).若f(x)所以，（J A）x 0的基础解系为：（21）.1280640z、10 A6 If （内, 一二6403203 40022设 AA （k为正整数）。（提示：按对角块矩阵求A .）4 3 0 0，求0024000 2245

11、1A-=48=It t所以，（5I封力0的基础解系为8J2151A一42001Pl121 5 0 2 1 4(5)(5)2(5)2( 5)k5)-21°4k25)一 +k2(5)23.对5.2节例1的矩阵2(5)A,求正交矩阵T,使T02( -5)< 1k1(5)1AT-2为对角阵。24000解：借助5.2节例1的求解过程，对1-=:6,61 V26X单位化对X21，X22，X23构成的线性无关向量组利用施 1密特正交化方法进行处理，即得所求的正交矩阵为： 2,T AT20、024.对下列实对称矩阵A求正交矩阵T和对角矩阵，使T A'AT02 ；1(2)(4)8)0X

12、+1)所以，特征值为：1 （二重根）,28（单根）-4所以，（为-A）x 0=的基础解系为：(1,0=1) 一XTn用施密特正交北方法得：=/ /,0) 45041021822I A所以，（2o的基础解系为(2,12)单位化得：所以，T455(2) ,(3),(4), (5)类似可求解。25.设A是n阶实对称矩阵，且，证明存在正交矩阵T,使得AT diag(1,1,1。,0).证：设X是A的对应于特征值的一个特征向量，贝IJ ：AxAx Ax xX为非零向量A为实对称矩阵存在正交矩阵T,使得T】AT diag(11,1。，,0).26.设n阶实对称矩阵A的特征值0(i 1.2, n),证明存在

13、特征值非负的实对称矩阵2B,使得A B .证：A为实对称矩阵存在正交阵T使得"T '则B满足条件。 927.役八为n4实牖塞等矩必 "2 A r A r)，() ，试求 det(A 2I).解:1)(求解过程参考P240例4)r nr n nr (2lf 2(1)3 -28.设多项式f (x)3nx a XA的一个特征值，X是A对应。的特征向量：证明在。k是f (前4征值:且x仍是f(A)对应于f(。)的特征向量。f (A x )十一d A aol xoX29.设A /.a Ax a x10o)xf ( o)是f (A)的特征值，且x仍是f(A)对应于f (o)的特

14、征向量A B, f (A)3 A IA 23，证明：f (A)f (B).存在可逆矩阵P使得P 1AP Bf (B) B2B 3I (P AP) 2P AP 3P P P f (B)Pdet(Al () 21 ) 1(1)A2补充题= + - + +f(A)f (B).3。.设A同）44，已知。是A的二重特征值，1是A的（一重）特征值，求矩阵A的特征多项式 det（庆 A）.解：Z九=Z a.A的所有特征值为0（二重根）,1（单根）,Z 1 iia（单根）det( I A)aii11)31.设n阶矩阵A的每行元素之和皆为1,问：能否至少求得A的一个特征值？解：设A （），则：na + +a1：

15、1. .即：（，n)所以，A的一个特征值为1.32.设1， 2,. n是矩阵A . )n n的n个特征值，证明：证：:九Z是矩阵A （所卜n的收个特征值 2.2/九X1，/2,是 A的n个特征值. Z /；2的主对角元之和33.设AB BA, X是A对应于特征值九。的特征向量，证明： .Bx V彳A的特征子空间）= X证： AB BA, Ax x01 A(Bx) (AB)x (BA)x B(Ax) B ox o(Bx)2 w ，3 ABx VABBA的充要条件是A的特征向量34.证明:若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则 也是B的特征向量。证：（充分性）不妨设X”, ,Xn是A的n个线性无关

16、的特征向量（因为，A有n个互不相同的特征值，所以，必可取出这样的xlt X2，:X )A的特征向量也是B的特征向量 布X2，.:x也是B的n个线性无关的特征向量令 P ( 1.X , ,Xj,则=八=A A A2,AP ,P *P2p ABP 1 22 1BAP所以，AB BA（必要性） =Bx VAB BA 由33题可知：若X是A对应于特征值i的特征向量，则, XA有n个互不相同的特征值V是一维的特征子空间A ZkXX为V中的非零向量存在 ,k使得Bx Kx即x也是B的特征向量。35 .设AB皆为n阶矩阵，()B前月一(A)可逆的充要条件为B的任一特征值 都不是A的特征值。(提示：设

17、6;(= 1. 3(=九田(，/.( "* *),利用不是1A的特征值时，族-4忐讨论伙)。的充分必要条件。)证：设9(力=九卫 U九一丸r Z 一)7则(呼(A =/) 一族:1) 一九 1n | 壬 _ /, 工 =/, 所以，(A)节的充要条件是X J 0J 1, 1n即i(i 1： 6)都不是A的特征 值。36 .证明反对称实矩阵的特征值是。或纯虚数。证：设A为反对称实矩阵，则设x是A对应于特征值 入的一特征向量，即AxAxT -TTT TAx) x x A x x A x xAx) xx X >0A A九是。或纯虚数37已知r中两个非零的正交向量a =P =(ai&#

18、187;a2>,aj(bi,b2 f,bj.0,且A不可对角化。T0Pa =证明：矩阵a二a”的特征值全为证：，为两个非零正交实向量 a PA(' =a Pa P =a Pa B =2.A的特征值全为。 22.若为A的特征值，则X A的特征值 为A的特征值全为。r(A) 1 Ax 0的基础解系中含n 1 n不向量A不可对角化a =aTa的特征值，并求、n.a=> =w 38 .设色，an) R,且a 0(i1,2,，可试求矩阵可逆矩阵P,使P AP成对角形。解：:(A) T 。是A的特征值且是A的特征方程的n 1重根。,A的所有特征值之和等于其主对角元之和.£ 2

19、是A的特征方程的单根 =a. =zn2=2Aa人ii 1z -=产a ) 2I A A i,(0 zi 1A南每歹扃量甑毫(a A)x 0的解i 1-a, 0(i1,2,n),可取，T ，a )为(2| A x)0的一个基础解系. -Ax的一个基础解系为：(a , a ,0,21，0)t a a ,(,0,0,)'a a a12n _ a -a02：1：可取p , I- Ja 0a39.已知匐一个特征向量(1,1, 1).确定a,b及对应的特征值；A能否相似于对角矩阵？说明理由。解：由（IA） 0求解得：1, a 3,b0.(2) I A31)0特征值为：1（三重根）（IF）充）=只有

20、一个线性无关的特征向量.A不能与对角矩阵相似40.设A试求a, b,c及a T c*5 b 3 ,、一一,已知A 1,且A有一特征值1 c0 a九xo,其特征向量(1, 1,1),解： A 1,是A的一特征值,TX （ 1，1,1）是对应的一特征向量Ax/.1XoA/vA)x及A 1可得到la c 4,b3.41.设 A Xy ,已知A有3个线性无关的特征向量，且 2是其二重特征值,求P,使P AP（对角矩阵）o解：；A有3个线性无关的特征向量，A可对角化，属于 =2的线性无关的特征向量有两个-A)1 =x =2, y =2-设另一特征值为%,则2七 十九七小5+/. /. =62(K 0（勺7）x的一基础解系为：(1,-1,0)T. (1,0,1)TT, (1,0,1)Tk 一2I AA）x 0的一基础解系为：（1,2,