西城高三第一学期期末数学(理)试题及答案要点

1、北京市西城区201"2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2015.1第6页共14页第I卷（选择题共40分）、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合 A =1,0,1, B=x|x2x<2,则集合 Ap|B=(A) 1,0,1(B) -1,0(C)0,1(D) -1,12.设命题p ： V平面向量a和b, | ab |<| a |+| b | ,则p为（A）寸平面向量a和b,| a-b |>| a |+| b |(B)三平面向量a和 b, |a-ba | + |b|（C）三平面向量a和b

2、,(D)三平面向量a和 b, |a-b|> |a | + |b|3.在AABC中，角A, BC所对的边分别为b, c.若 A 为锐角，a = 2b, sinB = U3 ,44.it(A) A =3(B) A(C)sin A =- 3-2(D) sinA=- 3执行如图所示的程序框图，输出的x值为(A)(B)(C)5 .设函数f (x) =3x+bcosx , xw R,则“b=0”是“函数f(x)为奇函数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件6 . 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是()(A)最长

3、棱的棱长为用(B)最长棱的棱长为3(C)侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形正(主)视图侧(左)视图,-L俯视图(D)侧面四个三角形都是直角三角形7 .已知抛物线C: y2 =4x，点P(m,0) , O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q ,使得? OQP 90°,则实数m的取值范围是()(A) (4,8)(B) (4,+ ?)(C) (0,4)(D) (8,+ ?)lx +y<l,8.设D为不等式组<2x _y> _1,表示的平面区域，点 B(a,b)为坐标平面xOy内一点，若对于 x -2y<1T T(B) 1(D) 3区域D内的任一点A(x,y),都

4、有OA OB<1成立，则a+b的最大值等于()(A) 2(C) 0第II卷（非选择题共110分）、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .复数 z = 2zi_,则 |z|= 1 2i2210 .设Fi,F2为双曲线C：与E=1（a0）的左、右焦点，点 P为双曲线C上一点，如果 a 162x3y3a215z28|PF11 -|PF21=4,那么双曲线C的方程为；离心率为11 .在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 x+y+z=12 .如图，在 MBC中，以BC为直径的半圆分别交 AB , AC于点E , F ,

5、AF且AC =2AE，那么=:/A =AB 13 .现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目PQ旋转8 （ 0 曰 2冗）之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是 .（用数字作答）14 .设P, Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有 条.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分13分)xxx已知函数f(x) =2.3sin_cos_ ' cos-, xC R的部分图象如图所示. 442(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(n)

6、设点B是图象上的最高点，点 A是图象与x轴的交点，求tan/BAO的值.16.(本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下:(1)投资股市:投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率113288(2)购买基金:投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率P13q，1 ,(I )当p二一时，求q的值;4(n)已知甲、乙两人分别选择了 “投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后4 ,， 他们中至少有一人获利的概率大于一，求p的取值范围；5(出)丙要将家中闲置的 10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这1 1两种万案中选择一种，已知 p= - , q =-,那么丙选择哪

7、种投资方案，才能使得一年后投2 6资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由.17 .(本小题满分14分)如图，在四棱柱 ABCDAB1c1D1 中，A1A ,底面 ABCD , /BAD =90，, AD BC ,且AA=AB=AD =2BC =2，点E在AB上，平面 AEC与棱C1D1相交于点F.(I )证明：AF /平面BCE ；(n)若E是棱AB的中点，求二面角 A _ECD的余弦值;(出)求三棱锥B1 _A1EF的体积的最大值.18 .(本小题满分13分)已知函数f (x) =ax2 bx(a >0)和g(x) =ln x的图象有公共点 P,且在点P处的切线相同1 ,、(i)若点

8、P的坐标为(，1),求a, b的值； e(n)已知a=b,求切点P的坐标.19 .(本小题满分14分)22已知椭圆C：&+£=1的右焦点为F右顶点为A,离心率为e,点P(m,0)(m>4)满 16 12足条件3=e.|AP|(I)求m的值；(n)设过点F的直线l与椭圆C相交于M, N两点，记APMF和APNF的面积分别S1 |PM |S2 一 |PN |20.(本小题满分13分)设函数f(x)=x(9_x),对于任意给定的 m位自然数 件=amam川a2ai (其中&是个位数字，a2是十位数字，)，定义变换 A: A(n0)= f(aJ + f(a2)+HI +

9、 f(am).并规定A(0) =0 .记ni = A(n°) , 1 =A(n),，nk = A(q。，.(I )若 no =2015 ,求 1015 ;(n)当m*3时，证明：对于任意的 m(mw N*)位自然数n均有A(n)父104；(出)如果n0 <10m(meN*,m>3),写出%的所有可能取值.(只需写出结论)第8页共14页高三数学(理科)参考答案及评分标准2015.1、选择题:本大题共8小题，每小题5分,共40分.1. C2. D3. A4. C5. C6. D7. B8. A二、填空题:本大题共6小题，每小题5分,共30分.9. 110.12.22匚上=14

10、 1612，513. 9614.13注：第10,12题第一问2分，第二问3分.三、解答题:本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.(本小题满分13分)(I)解：因为 f (x) =2j3sin cos)十 cos)442二.xx= d3sin-+cos - 2 分22= 2sin( +) , 4 分2 6所以 T =9=4%.12故函数f(x)的最小正周期为 4 n. 6分由题意，得2kn - 2kn+， 22 62解得 4k 冗一&w x< 4kt+ 2, 3316.(本小题满分13分)(I)解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚

11、”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，1 所以 p + - + q =1. 23分1 又因为P二一，45 所以q=. 3分12(H)解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， 4分则 C = ABU ABUAB,且 A, B 独立.由上表可知，P(A)= -， P(B)= p-2所以 P(C)= P(AB)+ P(AB)+ P(AB) 5分111=-? (1p)+ -? p -? p222分因为 P(C)= 1+ 1 p> ,，2 253所以p> 2. 75分又因为 p + - + q = 1 , q&g

12、t;0 ,3所以p<-.3所以 P<-. 853分(ID)解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X的分布列为:X40-2113P2889分113 5 贝U EX =4x-+0x-+(-2)x-=-. 10 分288 4假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元),所以随机变量Y的分布列为：Y20-1111P23611分一,1115八贝U EY =2父，+0M1+(1)乂1 = 5. 12 分236 6因为EX >EY ,所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.1

13、3分17.(本小题满分14分)(I)证明：因为ABCD AB1clD1是棱柱，所以平面 ABCD /平面 AB1clD1.又因为平面 ABCD Pl平面A1ECF =EC ,平面ABC1D1n平面A1ECF =A1F ,所以AF / EC . 2分又因为A1F平面BCE , EC仁平面BCE ,所以AF /平面BCE .- 4分第9页共14页(n)解：因为 AA，底面 ABCD, /BAD =90"所以AA, AB , AD两两垂直，以A为原点，以AB , AD , AA分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系则 A(0,0,2) , E(i,0,0) , C(2,i,0),所

14、以 AiE-(i,0, -2), AQ： -(2,i, -2).设平面AECF的法向量为 m = (x, y,z),4 T Tm=0, AC m=0,(出)得 x-2z=0, 2x y -2z = 0.令 z=1/Hm=(2,-2,1).又因为平面DEC的法向量为n =(0,0,1)所以 cos : m, n =由图可知，二面角 A - EC-D的平面角为锐角,所以二面角 A1 -EC -D的余弦值为10分解：过点F作FM _LAB于点M ,因为平面AiABBi，平面AiB1CiDiFM 仁平面 AiBiCi Di,i4第i0页共i4页所以FM _L平面AABB ,ii2分所以 Vb &

15、;EF =V“AE =' SABE FMBi -AiErF -BiAiE 3.Ai BiEi 2 22二FM =FM .323因为当F与点Di重合时，FM取到最大值2 (此时点E与点B重合)，所以当F与点Di重合时，三棱锥 B-AEF的体积的最大值为 -318.(本小题满分13分)(I)解：由题意，得f(1)=；_b=_1, e e e且 f tx) =2ax -b , gx)=-， x(D)由已知，得 f d)=gd),即2ab=e, e e e2 一 一解得 a =2e , b =3e.1斛：右 a =b ,贝U f (x) =2ax -a , g(x)= , x设切点坐标为(&a

16、mp;t)，其中s>0,由题意，得 as2 -as=lns,由，得12as -a = -，a =1,其中s #1,s(2s-1)2代入，得s1 =lns.(*)2s-1因为1s(2s-1)第16页共14页._ xT1 一设函数 F(x)=Tnx, x=(1,F),2x -12则-(4x -1)(x -1)x(2x -1)2令 F (x) = 0当x变化时,10分x(21)1°尸)一八1人,解得x =1或x=(舍).4F '(x)与F(x)的变化情况如下表所示,F'(x)+0F(x)121 一所以当x=1时，F(x)取到最大值F(1)=0,且当xw(,1)U(1,

17、)时F(x)<0. 2因此，当且仅当x=1时F(x)=0.所以方程(* )有且仅有一解s =1.于是 t =ln s = 0 ,因此切点 P的坐标为(1,0). 1319.(本小题满分14分)22(I)解：因为椭圆C的方程为 上十L=1, 16 12所以 a =4, b =2、3, c = .a2 -b2 =2,c 1则 e , |FA|=2, |AP|二m4.a 2因为| FA| 21= =?| AP| m-4 2所以m=8.(n)解：若直线l的斜率不存在， 则有 s = S2 , | PM |=| PN |,符合题意 6分若直线l的斜率存在，则设直线 l的方程为y=k(x-2), M

18、(x1,y1)，N (x2, y2).222 L =116 12,y =k(x-2),(4k2 +3)x2 -16k2x+16k2 -48 = 0,. 一16k2可知 &A0恒成立，且 x1+x2 =4k2 316k2 -48XiX2 -24k2 3因为y1y2k(xl -2) k(x2 -2)kPM - kPN =-二 二- -x - 8 x2 - 8Xi - 8x2 - 810所以因为k(x1 -2)(x2 -8) k(x2 -2)(x1 -8)(Xi 8)(x2 -8)2kx1x2 -10k(x1 x2) 32k(x1 -'8)(x2 -'8)2k.MPF =/NPF ._ 2_ 216k -4816k210k 2 32 k4k2 +34k2 +3= 0,(Xi - 8)( x2 - 8)121iPMF 和 &PNF 的面积分别为 S1 =1 |PF