高等数学：13-5 斯托克斯公式(1-30)

1、14.5 斯托克斯公式斯托克斯公式1 斯托克斯公式斯托克斯公式)( ),( , ),( , ),( ),( 1CzyxRzyxQzyxPzyxf定理定理 (stokes) 设设 L 是空间是空间 中的光滑中的光滑(或分段光滑或分段光滑)的有向闭曲线的有向闭曲线 , 是以是以 L 为边界的光滑为边界的光滑(或分片光滑或分片光滑)的有向曲面的有向曲面 则有下式成立则有下式成立 LRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( 其中其中 L 的正向与的正向与 的正侧符合右手规则的正侧符合右手规则 说明说明n(2) 为了方便记忆为了方便记忆 , 引入记号引入记号L (1

2、) 曲线积分正向与曲面积分曲线积分正向与曲面积分正侧成右手规则正侧成右手规则dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RQPzyxdxdydzdxdydz ( 按第一行展开按第一行展开 ) cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyR RQPzyx coscoscos ( 按第一行展开按第一行展开 )斯托克斯公式可表示为斯托克斯公式可表示为 LRdzQdyPdx RQPzyxdxdydzdxdydz LRdzQdyPdxdSRQPzyx coscoscos , , dxdydzdxdydz RQPzyxkjizyxf).,(dSdSnSdcos,cos,cos 又

3、由又由斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式:dSnzyxf),(Lsdzyxf),( LRdzQdyPdxSdzyxf),(说明说明若若 , 是平面是平面 , ),( , ),( ),(0yxQyxPyxf区域区域 , L 为其边界的正向为其边界的正向 , 则则 stokes 公式公式即为即为 Green 公式公式zyx解解1 22 yx 其中其中 L : 例例计算计算LdzyxdyxzdxzyI)()()( 122 yx 1 zx, 且从且从 x 轴正向看去轴正向看去 , L 的的方向是反时针的方向是反时针的n设设 为为 x + z = 1 上曲线上曲线 L 所围的有向曲面所围的有向

4、曲面 , 其正向与其正向与 L形成右手规则形成右手规则 , , ),(yxxzzyzyxf , , ),(222zyxf利用利用 stokes 公式有公式有dSnzyxfI),() , , (21021ndS , , , , 21021222dS) (24122224yxdxdy) ( 4说明说明本题也可将本题也可将 L 表示为参数方程表示为参数方程 201ttztytxL , cos,sin,cos:化为定积分计算化为定积分计算解解例例计算计算 LxdzzdyydxI, 其中其中 L 是球面是球面2222azyx与平面与平面 x + y + z = 0 的交线的交线 ,其方向从其方向从 x

5、轴正向看去是反时针的轴正向看去是反时针的zyxn设设 为为 x + y + z = 1 上曲线上曲线 L 所围的有向曲面所围的有向曲面 , 其正向与其正向与 L形成右手规则形成右手规则L , , ),(xzyzyxfdSnzyxfI),() , , (313131n利用利用 stokes 公式有公式有dSxzyzyxkji , , 11131dS , , ,11111131dS323 a 2 环量与旋度环量与旋度向量场向量场 沿场中闭曲线沿场中闭曲线 L 的环流量的环流量),(zyxf( , , )Lf x y zds (1) 0( , , )Lf x y zds 表明表明 : L 的所在区域

6、中有的所在区域中有 “ 旋旋 ” , 在在),(zyxf区域内整体上有旋转趋势区域内整体上有旋转趋势 ( 宏观的宏观的 )(2) 环流量环流量 不能反映不能反映 ( , , )Lf x y zds ),(zyxf在区域内各点处的旋转趋势状况在区域内各点处的旋转趋势状况 ( 微观的微观的 )环量面密度环量面密度 设设 M 是场中的一点是场中的一点 , 在点在点 M 处取定处取定 一个方向一个方向 , 过过 M 以以 为法向作一曲面为法向作一曲面 , nn其边界曲线为其边界曲线为 L , L 的正向与的正向与 成右手规则成右手规则, n 的面积为的面积为 SnM L LsdzyxfSS ),(1平

7、均环量面密度平均环量面密度 反映反映: 在点在点 M 附近绕附近绕 ),(zyxfn的旋转趋势的大小的旋转趋势的大小 如果如果 保持在保持在 M 点处以点处以 为法向为法向 , n并且以任意方式收缩为点并且以任意方式收缩为点 M 时时 , 极限极限LMMsdzyxfSS ),(limlim1存在存在 , 则称此极限值为则称此极限值为 在在 M 点处沿点处沿),(zyxfn方向的方向的环量面密度环量面密度 , 记作记作 , 即即 dSd LMMsdzyxfSSdSd ),(limlim1环量面密度的计算方法环量面密度的计算方法 )( ),( , ),( , ),( ),( 1CzyxRzyxQz

8、yxPzyxf利用利用 stokes 公式和积分中值定理公式和积分中值定理LLRdzQdyPdxsdzyxf ),(dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)( SyPxQxRzPzQyRM cos)(cos)(cos)( SdSdM lim cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyR cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyRdSd 环量面密度的计算公式环量面密度的计算公式 :向量场向量场 的旋度的旋度),(zyxf点点 M 处的向量处的向量 , , yPxQxRzPzQyR称为称为 在在 M 点处的旋度点处的旋度 记作记作),(zyxf),( zyxf

9、rot , , ),( yPxQxRzPzQyRzyxfrot即即 说明说明 (1) 旋度也可表示为旋度也可表示为),(),( zyxfzyxfrotRQPzyxkji(2) 环量面密度可以写成环量面密度可以写成nzyxfrotdSd),( 表明表明 在在 M 点处的旋度点处的旋度 ,),(zyxf),( zyxfrot其方向是环量面密度取最大值的方向其方向是环量面密度取最大值的方向 , 其其模模 是环量面密度的最大值是环量面密度的最大值),( zyxfrot(3) Stokes 公式可以写成公式可以写成 Lsdzyxf),(Sdzyxfrot),( dSnzyxfrot),( Lsdzyxf

10、),(4) 旋度的运算性质旋度的运算性质grotfrotgfrot ) ( 1)2)fgradufrotufurot ) ( 3) 0) (grad urot(5) 平面向量场平面向量场 , ),( , ),( ),(0yxQyxPyxf , , ),( yPxQyxfrot00解解 , , 33304rzryrxrotqErot 例例计算位于坐标原点的点电荷计算位于坐标原点的点电荷 q 所产生的电场所产生的电场 电场强度向量场电场强度向量场 的旋度的旋度204rrqE 其中其中 rrzyxr , , , Erot )( )( , )()( , )()( 33333304rxyryxrzxrx

11、zryzrzyq , , ryrxrxryrxrzrzrxrzryryrzq44444403333334 , , 0000r3 无旋场的曲线积分无旋场的曲线积分问题问题平面曲线积分平面曲线积分 与路径无关与路径无关dyyxdxyxPL),(),(的条件的条件 就是就是yPxQ000 , , ),( yPxQyxfrot将平面曲线积分与路径无关的结论推广将平面曲线积分与路径无关的结论推广到空间的曲线积分到空间的曲线积分定义定义设有向量场设有向量场 ),( , ),( , ),( ),(zyxRzyxQzyxPzyxf(1) 如果空间曲线积分如果空间曲线积分 在区域在区域 内与内与Lsdzyxf)

12、,(路径无关路径无关 , 则称向量场则称向量场 在在 内是内是保守场保守场),(zyxf(2) 如果在如果在 内恒有内恒有 , 则称则称 0),( yxfrot),(zyxf在在 内是内是无旋场无旋场(3) 如果存在函数如果存在函数 u(x , y, z) , 使得在使得在 内成立内成立),(),(zyxuzyxf则称则称 在在 内是内是有势场有势场 , u(x , y, z) 称为称为 ),(zyxf向量场向量场 的的势函数势函数),(zyxf定理定理设空间区域设空间区域 是一维单连通区域是一维单连通区域 , 向量场向量场 )( ),( , ),( , ),( ),( 1CzyxRzyxQz

13、yxPzyxf则以下五个结论等价则以下五个结论等价(1) 曲线积分曲线积分 在区域在区域 内与路径无关内与路径无关 Lsdzyxf),(即向量场即向量场 在在 内是内是保守场保守场),(zyxf(2) 对对 内任一分段光滑的闭曲线内任一分段光滑的闭曲线 L , 有有0Lsdzyxf),(3) 在在 内处处成立内处处成立0),( yxfrot即即 为为无旋场无旋场 ),(zyxf(4) 微分形式微分形式 Pdx + Qdy + Rdz 在在 内是全微分式内是全微分式即存在函数即存在函数 u(x , y , z) 使使RdzQdyPdxzyxdu),(函数函数 u(x , y , z) 称为该微分

14、形式称为该微分形式 的一个的一个原函数原函数),(zyxf(5) 在在 内是内是有势场有势场 , 即存在即存在 u(x , y , z) 使使),(),(zyxuzyxf说明说明 同样可以证明同样可以证明),(),( ),(zyxzyxRdzQdyPdxzyxu000是微分形式是微分形式 Pdx + Qdy + Rdz 在在 内的一个原函数内的一个原函数zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu000000),(),(),(),(zyx),(0000zyxM),(001zyxM),(zyxM),(02zyxM定理定理 ( 空间曲线积分的微积分基本定理空间曲线积分的微积分基本定理

15、)一维单连通区域一维单连通区域 上的一个原函数上的一个原函数 , 则有则有如果如果 u(x , y , z) 微分形式微分形式 Pdx + Qdy + Rdz 在在 ),(),(),(),(),( zyxuzyxzyxzyxzyxRdzQdyPdx222111222111解解)cos()cos(),( yzyyzxyzzzxxyzzyxkjizyxfrot222222例例证明向量场证明向量场 )cos(, )cos( , ),(yzyyzx yzzzxxyzzyxf222222在在 R3 上是有势场上是有势场 , 并求一个势函数并求一个势函数)( )cos( , 312222RCyzzzxQx

16、yzP)( )cos(3122RCyzyyzx R , , 000),( zyxf在在 R3 上是一无旋场上是一无旋场 ),( zyxf在在 R3 上是有势场上是有势场 dzyzyyzxdyyzzzxdxxyz)cos()cos( (222222RdzQdyPdxdzyzyyzdzxdyyzzdyzxdxxyz)cos()cos(222222)()()cos()(222222zydxyzdyzdyzxxdyz)sin(yzxyzd22)sin(),(yzxyzzyxu22所以势函数所以势函数用凑微分法求原函数用凑微分法求原函数例例计算计算 ABdzyxzdyzxydxzyxI)()()(222

17、其中其中 A = (0 , 0 , 0) , B = ( 1 , 1 , 1)解解)( , , 31222RCyxzzxyzyxf0222yxzzxyzyxzyxkjifrot 积分与在积分与在 R3 上与路径无关上与路径无关),( zyxf在在 R3 上是一无旋场上是一无旋场 xdydyyzdxydxdxxRdzQdyPdx22ydzxdzdzzzdy2)()()()(xdzydxzdydxd333313131)()(ydzzdyxdzzdx)(yzxzxyzyxd33331yzxzxyzyxzyxu)(),(33331原函数原函数 433311100031)(),(),(yzxzxyzyx

18、I解解例例计算计算 LdzxyzxdyzxdxzxyzI)()(2232332其中其中 L 为为 与与 的交的交 1222222czbyax1czbyax线上自点线上自点 A(a , 0 , 0) 到点到点 B( 0 , 0 , c ) 的优弧段的优弧段)( , , 312232332RCxyzxzxzxyzf03222323xyzxzxzxyzzyxkjifrot 积分与在积分与在 R3 上与路径无关上与路径无关),( zyxf在在 R3 上是一无旋场上是一无旋场 dzxyzxdyzxdxzxyz) ( )(2232332其被积表达式其被积表达式xdzdzyzxdyzxzdxdxxyz2232332 )()()(yzxxzdxzdyzxd3232yzxxzzyxu32),(原函数原函数 0320000)(),(),(yzxxzcaI调和场调和场 如果向量场如果向量场 在区域在区域 , , ),(RQPzyxf 内恒有内恒有 ),( , ),( 00zyxfrotzyxfdiv即即 既是无散