高等数学：6-1 不定积分的基本积分法(1-64)

1、第六章第六章 积积 分分 法法6.1 不定积分的基本积分法不定积分的基本积分法定积分定积分 计算计算 badxxf)(归结为归结为原函数计算原函数计算归结为归结为不定积分不定积分 的计算的计算 dxxf)(问题问题:不定积分如何计算不定积分如何计算 ?10 不定积分的运算性质不定积分的运算性质性质性质 ( 线性运算性质线性运算性质 )不定积分运算是线性运算不定积分运算是线性运算 , 即有即有 dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121利用基本不定积分公式计算不定积分利用基本不定积分公式计算不定积分基本思想基本思想:利用不定积分的运算性质利用不定积分的运算性质 , 将问题分解将

2、问题分解为一些可利用基本积分公式计算的问题为一些可利用基本积分公式计算的问题例例求求 dxxx3362)(解解由于由于8126261312136 xxxx)(原积分原积分 dxxxx)(3161618126 dxxdxxdxdxx3161618126cxxxx 3265672385612676cxxxx 32656712572676例例计算计算 dxxxx422111解解 dxxx)(221111 dxxdxx221111cxxx arcsin)ln(21原积分原积分 dxxxxx2222111120 凑微分法凑微分法复合函数微分法复合函数微分法:dxxxfxdxfxFd)( )()()()(

3、 如果如果, )()( xfxF 将此微分式两边进行不定积分得将此微分式两边进行不定积分得 cxFxdF)()( )()()( )(xdxfdxxxf 则有则有所以有以下不定积分的凑微分公式所以有以下不定积分的凑微分公式: )()()( )(xdxfdxxxf )()(xuduuf (1)说明说明:(1) 公式公式 (1) 的意义在于通过凑微分把计算的意义在于通过凑微分把计算 dxxxf)( )( 的问题转化为积分的问题转化为积分 duuf)(的计算的计算(2) 公式公式 (1) 也称为也称为不定积分的第一换元法不定积分的第一换元法例例计算计算 dxx99503解解 dxx99503 5035

4、035099xdx503 xu duu9950cx 10050321cu 10010050例例计算计算 dxxx112sin解解 )(sinsinxdxdxxx11112xu1 udusincu coscx 1cos例例计算计算 dxxex212解解 )(212212xdex212xu dueuceu dxxex212 )(221221xdex )(22212xdexcex 212例例计算计算 dxax221解解原积分原积分 dxaxax)(1 dxaxaxa)(1121caxaxa )ln(ln21caxaxa ln21例例计算计算 dxxsin1解解 xxd21cos)(cosxucos

5、12uducuu 1121ln dxxx2sinsin dxxsin1 duuu)(111121cxx 1121coscosln例例计算计算 dxchx1解解)(122 xshxchcshx )arctan( xshshxd21)( dxchx1dxxchchx 2例例计算计算 dxxxx)ln(ln41解解原积分原积分 )(ln)ln(lnxdxx41xuln duuu)(41 )()(42121uud2uv 2121vdvcu )arctan(221cx )arctan(ln221cv arctan21例例计算计算 dxxx5252316)ln(解解原积分原积分 )()ln(5252523

6、1216xdxx52 xu duuu63121ln )(lnlnudu63121 )ln(lnudu3131616cu 673171)ln(cx 67523171)ln(例例计算计算 dxxxx2242sincos)tanarctan(解解 原积分原积分 dxxxx)tan(cos)tanarctan(22412)tan()tan()tanarctan( xdxx2212212xutan2 uduu 2121arctan)(arctanarctanuud 21) arctan (uv vvd 21cv 241cx 2241)tanarctan(三角函数的积分法三角函数的积分法例例计算计算 xd

7、xtan解解 dxxxxdxcossintancx cosln)(coscosxdx 1例例计算计算 xdx5sin解解原积分原积分 xdxx sinsin4 )(cos)cos(xdx221xucos duu221)( duuu)(4221cxxx 535132coscoscos )(cossinxxd4cuuu )(535132一般地可计算一般地可计算: xdxn 12cos )(sin)sin(xdxn21xusin duun)(21同理可计算积分同理可计算积分: xdxn 12sin xdxxncoscos2解解例例计算计算, cos xdx2 xdx2sincxx )sin(2212

8、1 dxxxdx2212cossincxx )sin(22121一般地一般地 , 反复利用半角公式可计算反复利用半角公式可计算:, cos xdxn2 xdxn2sin xdx2cos dxx221cos dxx)cos(2121 dxx)cos(2121例例计算计算 cos xdx4解解原积分原积分 dxx2221)cos( xdxxx2412412cos)sin( dxxx)coscos(2221412 dxxxx24141241cos)sin(cxxxx )sin()sin(44181241解解例例计算计算 sincos xdxx ) ( 原积分原积分 )sin()sin( dxxx 2

9、1 c)cos()cos( xx 1121 c)cos()cos( xx 1121同样方法可计算积分同样方法可计算积分:, sinsin xdxx coscos xdxx dxnmxxNMx2型积分的计算方法型积分的计算方法:(1) 判别式判别式 的情形的情形042 nm此时此时222)(mxnmxx dxnmxxNMx2 )()()(22222mxdmxMmNmxM2mxu duuHMu2)(MmNH2 duuHduuM211(2) 判别式判别式 的情形的情形042 nm)()(442222mnmxnmxx 222Rmx )()(4422mnR dxnmxxNMx2 dxRmxNMx222)

10、( )()()(222222mxdRmxMmNmxM2mxu duRuHMu22 duRuHduRuuM22221 2222111)(RuduRduRu 22222221RuRudduRuu)(cRu )ln(2221cRuR )arctan(1)()(RudRuR 2111(3) 判别式判别式 的情形的情形042 nm此时此时 )(212xxxxnmxx 21xxBxxA nmxxNMx 2)(21xxxxNMx dxnmxxNMx2 dxxxBdxxxA2111综上所述可知综上所述可知: 形如形如 的积分总的积分总 dxnmxxNMx2可按上述方法计算可按上述方法计算 例例计算计算 dxx

11、xx5472解解因为因为)(15542 xxxx) (0 即即设设5472 xxx15 xBxA)()()(15515472 xxxBxAxxx 751BABA12 BA , )()()(155 xxBAxBA dxxdxxdxxxx115254721 cxx 152lnlncxx 152)(ln例例计算计算 dxxxx262342解解此时判别式此时判别式 0 dxxxx262342 )()()( 12511142xdxx1 xu duuu25142 duuu25142 2525422ududuuu 2225155125252)()( )(uuduudcuu )arctan()ln(55125

12、22cxxx )arctan()ln(51512622230 不定积分的换元法不定积分的换元法凑微分法凑微分法 (第一换元法第一换元法) )()()( )(tdtfdtttf dxxf)(3)(tx 将上式反过来写将上式反过来写 dxxf)()(tx dtttftdtf)( )()()( )()(xtdttg1 (4)这就是这就是不定积分的换元法不定积分的换元法( 第二换元法第二换元法)定理定理 (不定积分的第二换元法不定积分的第二换元法) 说明说明:设设 f (x) , 均连续均连续 ,)( , )(ttx 且反函数且反函数 )(xt1 存在且连续存在且连续 , 若已知若已知 ctGdttt

13、f)()( )( 则则 cxGdxxf)()(1 (4)换元法换元法 (4) 把积分把积分 的计算转化为的计算转化为 dxxf)(积分积分 的计算的计算 . dttg )(与换元法与换元法 (3) 不同的是不同的是 ,换元法换元法 (4) 中的中的 x = (t)具有更大地灵活性具有更大地灵活性 例例计算计算 dxxa22解解 dxxa22taxsin )cos()sin( dttataa22 cos tdta22 cos dtta2212 c)sin( tta22122txa22xa , sinaxt , cosaxat22 dxxa22 c)1(arcsin22 222xaxaaxa c2

14、1arcsin2 222xaxaxa例例计算计算 dxax221解解令令 , sectax 则则, tansecdtttadx taaxtan2 2 dxax221 tantansec dttatta sec tdt cos dtt1 ttddttt221sinsin coscostusin 21udu11121cuu lntxa22ax 由于由于xat cosxaxt22 sin所以有所以有 dxax2211222221caxxaxx lncaxxcaaxx 221222221ln)(ln11121ctt sinsinln例例计算计算 dxxxx138692解解原积分原积分 )( dxxx1

15、39132令令 2313 ttx0 , sec, tansecdtttdx txtan)(39132 原积分原积分 secsectan tdttt332 tan)(sec2 cttdtt1 tan tdt2t13 x39132 )( x由于由于133 xtcos913312 )(tanxt133 xtarccos dxxxx138692cxxx 133869312arccos例例计算计算 dxax22解解 dxax22ashtx )()( dtachtashta22 tdtcha22 dttcha2212)(2212tchtch ctshta )(22122注意到注意到 , ashtx ach

16、txa 22 taechtshtaxax )(22axaxt22 ln又又222222axaxshtchttsh 所以所以cxaxaxax 2222222ln dxax22ctshta )(22122例例计算计算 )( 1nxxdx解解令令 (倒数变换倒数变换) , tx1 dttdx21 )( 1nxxdx )( 11112nttdtt 11nntdtt )( 111nnttdnc ln ntn11c ln nxn111例例计算计算 dxxx 421解解 dttdx21 令令 , tx1 dxxx 421dtttt)(2421111 dttt 12)(112122 tdtcx 2321131

17、)(ct 232131)(40 分部积分法分部积分法在微分公式在微分公式)()()()()()(xdfxgxdgxfxgxfd 两边积分有两边积分有 )()()()()()(xdfxgxdgxfxgxfd即即 )()()()()()(xdfxgxgxfxdgxf(2)式式 (2) 称为不定积分的称为不定积分的分部积分公式分部积分公式 说明说明:分部积分公式分部积分公式 的意义在于把积分的意义在于把积分 )()(xdgxf的计算问题转化为积分的计算问题转化为积分 的计算问题的计算问题 )()(xdfxg例例计算计算 cosdxxx 解解 cosdxxx ) (sin xdx sinsindxxx

18、x cxxx cossin例例计算计算 dxexx 2解解 xxdexdxex22 )(dxxeexxx22 dxxeexxx22 xxxdeex22 )(dxexeexxxx22 dxexeexxxx222cexeexxxx 222cexxx )(222解解 lndxx lndxxxxx1 cxxx ln 例例 )ln()(dxxx 4322计算计算例例计算计算 lndxx 解解原积分原积分 )()ln(43422 xxdxdxxxxxxxx 44324432222)()ln()(dxxxxxxx )()ln()(4624432222dxxxxxxx 4644322222)ln()(dxxx

19、 422dxxx 44422dxx)( 4412dxxx 4142dxxx 2211)(dxxx 2211)()()(221122xdxx cxx )arctan(22所以有所以有cxxxxxx )arctan()ln()(2126443222 )ln()(dxxx4322例例 ln xdxx23计算计算解解原积分原积分 )(ln 4241xxd )lnln( dxxxxx324241 lnln xdxxxx3242141 )(lnln 4248141xxdxx )ln(ln dxxxxxx34248141 clnln 44243218141xxxxx例例 arcsindxxxx 21计算计算

20、解解原积分原积分 )(arcsin 21xxd )arcsin( dxxxxx222111 arcsincxxx 21例例0, , sin xdxex计算计算解解 sin xdxeIx sin xxde 1 )cossin( dxexxexx 1 cossin xxxdexe 21 )sincos(sin dxexxexexxx 21 sincossin dxexxexexxx 2221 cossin IxexeIxx2221 )cossin( 212221cxxeIx )cossin( cxxeIx 221说明说明:此例表明此例表明: 通过分部积分有时可获得所求通过分部积分有时可获得所求积分

21、满足的方程积分满足的方程 , 解此方程求得积分解此方程求得积分 例例 )sin(ln dxx计算计算解解 )sin(ln dxxI )cos(ln)sin(ln dxxxxxx1 )cos(ln)sin(ln dxxxx )sin(ln()cos(ln)sin(ln dxxxxxxxx1 )sin(ln)cos(ln)sin(ln dxxxxxx )cos(ln)sin(lnIxxxx )cos(ln)sin(ln12cxxxI 所以有所以有 )cos(ln)sin(lncxxxI 2即即例例NnaxdxInn , )(22计算计算解解 )()( 1222222nnnaxdxxnaxxIdx

22、)()( 122222222nnaxaaxnaxx 1222222222nnnaxdxnaaxdxnaxx)()()(122222 nnnInanIaxx)(所以有所以有, , )(212122122221 nInanaxxnaInnn又又 caxaaxdxI)arctan(1221故可根据上式推得故可根据上式推得 , , 32II说明说明:此例表明此例表明: 通过分部积分有时可获得递推通过分部积分有时可获得递推式式 , 通过递推式获得解通过递推式获得解 高等数学研究性小课题高等数学研究性小课题:从微分公式获得积分公式的方法及其应用从微分公式获得积分公式的方法及其应用50 有理函数积分法有理函

23、数积分法如果如果 m n ,则则)( , )()()()(nlxQxPxrxRnl dxxQxPdxxrxxRnl)()()()d( ( r(x)为多项式为多项式 )(Q , )(xxPnm其中其中 分别为分别为 m , n 次实系数多项式次实系数多项式有理函数有理函数:, )()()(xQxPxRnm 当当 m n 时时 , 称为称为有理真分式有理真分式 )()()(xQxPxRnm 于是讨论有理函数的积分于是讨论有理函数的积分 , 只需讨论只需讨论 dxxR)( 有理真分式的积分有理真分式的积分 xxQxPnld)()(关于有理真分式关于有理真分式 有以下有以下部分分式部分分式)()()(

24、xQxPxRnl 分解定理分解定理 定理定理设设 , )( )()()(nmxQxPxRnm 如果如果, )()( )()()( srxxqpxxbxaxaxQn 220其中其中 是正整数是正整数 , , , , , , 各二项式无实根各二项式无实根 ,则则 R(x) 有以下唯一的有以下唯一的部分分式分解部分分式分解:)()()(xQxPxRnm )()(axAaxAaxAa22101 qpxxNxMbxBbxBbxB211221 )()( srxxSxRqpxxNxMqpxxNxM21122222 )()()()( srxxSxRsrxxSxR22222其中其中221122112121SRS

25、RNMNMBBAA, ; , , , ; , , ; , ,都为实的常数都为实的常数 从定理可知从定理可知:计算计算 将面临以下四种类型的积分将面临以下四种类型的积分: xxQxPnmd)()( dxax1(1)( )(11 kdxaxk(2)(3) xqpxxNMxd2(4) xqpxxNMxkd)(2由于由于)()(42222pqpxqpxx )( )(0422222 pqaapx xqpxxNMxkd)(2 xapxNMxkd)(222 dxapxMpNdxapxpxMkk)()()()(222222222pxt dtatMpNdtattMkk)()()(222212凑微分求解凑微分求解

26、递推公式求解递推公式求解例例 )(dxxxx 221122计算计算解解先进行部分分式分解先进行部分分式分解 ,设设2222211221111122)()( xCxBxCxBxAxxx)()()(1112221122 xxCxBxAx)(122 xCxB2211311412xBCBAxBCxBA)()()( 212211CCAxBCBC )(比较等式两边有比较等式两边有01 BA011 BC02211 BCBA2221 BBCC221 CCA解得解得:11111 CBA , , 0222 CB , 222221211111122)()( xxxxxxxx所以有所以有 )(dxxxx 221122

27、 )( dxxxdxxxdxx222121111221131141222xBCBAxBCxBAx)()()(212211CCAxBCBC )( )()( ln 2222211111xxdxdxdxxxx arctan)( ln 1111211222xxxxdx carctan1)ln( ln 1121122xxxx例例 dxxxxx 13223计算计算解解由于由于2113223 )(xxxxx所以所以121132223 xxxxxx dxxxxx 13223 )( 1212xdxdxxdxxxxx) ( 1111212cxxxx 11212lnlncxxxx 11212ln60 可化为有理函数

28、的积分可化为有理函数的积分(1) 三角有理函数的积分三角有理函数的积分例例 )cos)(sin(cossindxxxxx 121计算计算解解因为因为222xxxcossinsin 2222xxsectan 2xttan 212tt 1222 xxcoscos22222xxxcoscossin 21222xxtantan 1222 xsec12122 xtan即令即令2xttan ( 万能变换万能变换 ) 之后之后 , 有有, sin212ttx , cos2211ttx , dttdx212 ) arctan(tx2 )cos)(sin(cossindxxxxx 121所以有所以有 )(dtttttttttt22222221211112211121 22211112ttt dttttt 122 )( 1122ttttdtcxxx )tanln(tantan 12222说明说明: 对于三角有理式对于三角有理式 dxxxR) cos , sin ( 总可通过总可通过 “ 万能变换万能变换” 化为有理函数的积分化为有理函数的积分 dtttt