数学数学归纳法新PPT课件

1、问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：第1页/共30页思考2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？（1）推倒第一块骨牌； （2）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌.第2页/共30页第3页/共30页多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任

2、意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下-递推关系；即第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下-奠基；第4页/共30页思考3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？ （1）始祖姓王； （2）子随父姓. （第1代姓王）（如果第k代姓T，则第k+1代也姓T）第5页/共30页思考4：已知数列an满足: （nN*），那么该数列的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中的每一项，还需增加什么条件？ 11nnnaaa+=+由第k项可推出第k1项. 给出第1项；（1）（2）第6页/共30页思考5：上述证明方法叫做数学归纳法，一般

3、地，用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，其证明步骤如何？（1）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；（2）假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立. 第7页/共30页思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.第8页/共30页证明：1、当n=1时,左=12=1，右=n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+k2+(k+1)2= =右n=k+1时，原不等式成立由1、2知当nN*时，原不等式都成立16

4、)12)(11(1 2)1(6)12)(1( kkkk6)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2 kkkkkkk6)12)(1(3212222 kkkk6)12)(1(3212222 nnnn例1、用数学归纳法证明：第9页/共30页练习：用数学归纳法证明1212121751531311nnnn证明：(1) n=1时，左边= 311那么,(2) 假设n=k（kN*)时等式成立，即右边=1121等式成立。1212121751531311kkkk3212112121751531311kkkk3212112kkkk321kk即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN* 都

5、成立。第10页/共30页这就是说当 时等式成立，所以 时等式成立.1 kn*Nn224621nnn思考1：下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：kn 证明：假设 时，等式成立，126422kkk就是122642kk1212kkk2111kk那么第11页/共30页1)1(1321211nnnn思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?21211211111) 1(1321211kkkk(1)当n=1时,左边=,右边=(2)假设n=k(kN*)时命题成立，那么n=k+1时,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.1)1(

6、1211)2111()3121()211( kkkkk=右边,左边第12页/共30页思考3：下列证法对吗？用数学归纳法证（nN+):1+2+3+ 2n = n(2n+1 )证明：1)左边=1= 2)假设n=k时等式成立,即:1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2+3+ 2k +2(k+1) = k( 2k+1)+2(k+1)=那么，n = k+1 时，1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2+3+ 2k+(2k+1)+ 2(k+1)= k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)=那么，n = k+1 时，证明：1)左边=1+2=3=右边 2)假设n=k时等式成立,即:第13页/

7、共30页(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.证明中的几个注意问题：(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.第14页/共30页 例2 已知数列：试猜想其前n项和Sn的表达式，并数学归纳法证明.1111,14 47 710(32)(31)nn创?+LL31nnSn=+第15页/共30页小结作业 1.数学归纳法

8、的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.第16页/共30页数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确； 10 nn0n （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确 )N(0nkkkn 且且1 kn递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k1中间的变化。第17页/共30页 2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合

9、，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.第18页/共30页(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.练习1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为n=5.证明中需要注意的问题练习2:用数学归纳法证明3nn2.此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3kk2成立的基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k2.故在证明的第一步中,初始值应取1和2两个值.2) 1() 12(3) 12(33) 1(32222221kkkkkk

10、kkkk第19页/共30页(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.第20页/共30页练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.212111)1(1321211nnnn211111)1(211)2111()3121()211 (kkkkk1111 22 3(1)1kkkk第21页/共30页(3)在证明n=

11、k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.学案P74例题1第22页/共30页1.已知: ,则 等于( ) A: B: C: D: 131.2111)( nnnnf) 1( kf1) 1( 31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KKkfC练习：2.学案P74A2.第23页/共30页重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。第24页/共30页)2)(1(6112) 1()2(3) 1(21 nnnnnnnn)(

12、kf12) 1()2(3) 1(21 kkkkk) 1( kf)(kf分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。有几项？ 是什么,它比多出了多少，是首要问题。例3对于nN*用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4kf(k+1)=f(k)+1+2+3+k第25页/共30页证明：设f(n)=(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立12) 1()2(3) 1(21 nnnnn(2)设当nk,时等式成立，即) 2)(1(61)(kkkkf则n=k+1时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k

13、+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)3)(2)(1(61)11)(1(21)2)(1(61kkkkkkkk由（1）（2）可知当nN*时等式都成立。第26页/共30页归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题数学归纳法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。课堂小结第27页/