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文档简介

1、数学分析续论A卷复习资料一. 计算题1. 求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解： ，因此二重极限为.因为与均不存在，故二次极限均不存在。 2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.3. 取为新自变量及为新函数，变换方程。设 （假设出现的导数皆连续）.解：看成是的复合函数如下：。 代人原方程，并将变换为。整理得： 。 4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解： 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: ,约束条件: 。 构造Lagrange函数：。令 解得，故有 由题意知问题的最小值必存在

2、，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。 5. 设,计算.解：由含参积分的求导公式 。 6. 求曲线所围的面积，其中常数.解：利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 则 . 7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为 。 由Stokes公式得 8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧.二. 证明题9.讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.10.设满足：（1）在上连续，（2），（3）当固定时，函数是的严格单

3、减函数。试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。证明：（i）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得 ， 。现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得， 。同理，则必存在使得， 。取，则在邻域内同时成立 ， 。 于是，对邻域内的任意一点，都成立 ， 。 固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得0。 而关于严格单减，从而使0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。（ii）下证隐函数的连续性。设是内的任意一点，记。对任意给定的，作两平行线， 。由上述证明知 ， 。由的连续性，必存在的邻域使得 ， ， 。对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且， 。于是在内存在唯

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