相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

1、相似三角形添加辅助线的方法举例A例1:已知：如图，ZABC中，AB=AC, BD丄AC于D.人求证：BC2=2CD AC./例2已知梯形A3CD中，AD/BC, BC = 3AD9 £是腰A3上的一点，连结CE(1) 如果(7£丄 AB, AB = CD9 BE = 3AE,求 ZB 的度数；(2) 设4?£和四边形AECD的面积分别为&和S,且2S, = 35,试求竺的AE值AF = AD例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中，E是AB的中点， 3 ，连E、F交AC于G.求AG: AC的值.图4-1例4、如图4一5, B为AC的中点，E为BD的中点，则

2、AF： AE=例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于0点，E为AB延 长线上一点，0E交BC于F,若AB二a, BC二b, BE=c,求BF的长.n图47AB _ BD 例“ 已知在ZABC中，AD是ZBAC的平分线.求证：AC = CD.相似三角形添加辅助线的方法举例答案例仁 已知：如图，AABC中，AB=AC, BD丄AC于D.求证： BC2=2CD AC.分析：欲证BC2 = 2CD AC,只需证竺=竺但因为结论中有“2”，无法 2CD BC直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添 加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线

3、段后，再证明三角 形相似.由“2”所放的位置不同，证法也不同.证法一（构造2CD）:如图，在AC截取DE = DC,TBD丄AC 于 D,BD是线段CE的垂直平分线,：BC二BE, A ZCZBEC,又T AB=AC, ZC=ZABCe： ABCEAACB. BC AC ci" BC BC _ AC* 2CD BCBC2=2CD AC.证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE,T AB = AC,CI AB = AC=AE.ZEBC二90° ,又TBD丄AC.I ZEBC二ZBDC二ZEDB二90。, ZE=ZDBC,A AEBCABDC BC

4、_CE 即 BC _2AC9，CDBC CD BCBC2=2CD AC.证法三（构造丄BC）:如图，取BC的中点E,连结AE, 2则 EC=-BC.2又 TAB 二 AC,AE丄BC，ZACE二ZC化 ZAEC=ZBDC=90°A AACEABCD.-BC竺=竺即2取BC中点E,CD BC CD BCBC2=2CD AC.证法四（构造丄BC）:如图2TBD丄AC,BE二EC二EB,ZEDC二 ZC又TAB二AC, A ZABCZC,AAABCAEDC. BC_ACj 艮卩 BC _ AC"cd'ec CD " 11dC 2ABC2=2CD AC.说明：此题

5、充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧.在解题中 方法要灵活，思路要开阔.例2.已知梯形A3CD中，AD/BC, BC = 3AD, E是腰AB上的一点,连结CE(1) 如果(7£丄 AB, AB = CD9 BE = 3AE,求 ZB 的度数；(2) 设期(7£和四边形AECD的面积分别为&和S,且2S. = 35,试求竺的AE值(1)设则 =解法1如图，延长84、CD交于点F AD/BC, BC=3AD9 BF = 3AFAF = 2k, E 为 BF 的 中点又C£丄BC=CF , 天CF = BF:. ABCF为等边三角形 故 4 = 60。

6、解法2如图AD作DF/AB分别交CE、CB于点G、F 则CE丄DF,得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF为等边三角形 故 ZB = Z1 = 6O°解法3如图AD作AF/EC交CD于G交3C的延长线于F作GI/AB,分别交CE、3C于点H、I则CE丄G/,得矩形AEHGBCBEAFHCE:.=CF廿3,又 BC = 3AD /. CF = AD,故G 为 CD、AF 的中点以下同解法1可得；/是等边三角形故 ZB = Z1 = 6O°解法4如图,A D得平行四边形AFCD,且作 AFCD , 交 BC 于 F,作 FGCE , 交 AB 于 GFG 丄 AB读者可自行证

7、得A4BF是等边三角形，故ZB = 60°解法5如图a nCE于点G、H ,得平行四延长CE、04交于点F,作AG/CQ,分别交3C、边形AGCD可证得A为FD的中点AH = 2k ,故 Z1 = 60°得A43G为等边三角形，故ZB = 60°解法6如图（补形法）,读者可自行证明CDF是等边三角形,得 ZB = ZF = 60°（注：此外可用三角形相似.等腰三角形三线合和一、等积法等）(2)设Se=3S ,四边形人=2S解法1 （补形法）如图补成平行四边形ABCF,连结AC,则DF = 2AD=X得,3s + 2sx = x+2x,由Swc=Swf解法

8、2 （补形法）如图，延长84、CQ交于点F,S做9 SAFAD=S，SAFEC=-S + 2S = S，又 S 乂眈=2EF _ S、fbc _ ?BE S 沁 8设 BE=8m,则 EF = 7m , BF = 15m, AF = 5mBE AE = 2m ,：=4AE解法3 (补形法)如图连结AC,作DF/AC交BA延长线于点F 连结FC 则 AE4QSU3C, ik AB = 3AF (1)mKiAECD =S 斗ecBE = S 皿。= S、bceEF S 乂ec S 四边形AMD故 2BE = 3EF = 3(AE+AF) = 3AE+3AF (2) 由(1)、(2)两Wae即窘4

9、解法4 （割补法）如图连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G,如图，过E、A分别作高人、h2,则 CG = AD 且 S四边yAECDS四辺形，S"BG = S 梆形 ABS = 5$BCBG3 s rBC h2 =。立 BC = 25 Swg L-BGIi.2 片 _4 BE_4 故 BE 石而 _M， AE说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题 关键是作辅助线，构造相似三角形.AF = AD例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，3 ，连E、F交AC于G.求AG: AC的值.解法1:延长FE交CB的延长线于H,四边形ABCD是平

10、行四边形，:.ADIIBCZH=ZAFE, ZDAB=ZHBE又 AE二EB,AAEFABEH,即 AF二BH,af=-ad af=-bc af=-ch3,.3,即 4. AD/CH, ZAGF=ZCGH, ZAFG=ZBHE,二 AFGs/CGH.AG: GC=AF:CH, AG: GC=1: 4, AG: AC=1: 5.解法2:如图4一2,延长EF与CD的延长线交于M,由平行四边形ABCD可知,AB/1DC,即 AB/MC,AF = AD:.AF: FD二AE: MD, AG: GC二AE: MC. T3,二 AF: FDh : 2,I AE: MD二 1: 2.AE： MC=1: 4,

11、即 AG： GC=1: 4,AG: ACM: 5例4.如图4一5, B为AC的中点，E为BD的中点，则AF: AE二DAB图45解析：取CF的中点G,连接BG. : B为AC的中点BG: AF=1： 2,且BG/7AF,又E为BD的中点，F为DG的中点二 EF: BGh: 2.故 EF： AFh： 4, AF： AE二4： 3.例5.如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角线AC. BD交于0点，E为AB延 长线上一点，0E交BC于F,若AB二a, BC二b, BE二c,求BF的长.图47解法1:过0点作OM/CB交AB于M,0 是 AC 中点,OMCB,_? t .MB = a:.M是AB

12、的中点，即 2 ,0M是ZABC的中位线，=且 OMBC, ZEFB二ZEOM, ZEBF二ZEMO.BF BE:.ABEFAMOE, OM EM ,BF _ c1,a卄be,b + cBF =即 22,化 d+2j解法2： 如图4-8,延长E0与AD交于点G,则可得 AOGACOF,BF BEBF c/ AG 二 FC二 b-BF, T BFAG, A AG AE .即 b_BF_7,= BF =T ba + 2c：a + 2c.解法3： 延长EO与CD的延长线相交于N,则ABEF与ACNF的对应边成比例,BF _ BE即乔一而.BF = 解得 a + 2c .AB _ BD 例“ 已知在Z

13、ABC中，AD是ZBAC的平分线.求证：AC = CD. 分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线 的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD 为AABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的 平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段， 再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.证法1:如图4一9,过C点作CE/AD,交BA的延长线于E.BD _ BA在ZBCE 中，I DA/CE,DC=E又.CE/AD, Z1 = Z3, Z2=Z4,且AD平分ZBAC,. Z1 = Z2,于是Z3=Z4,BD _ AB:.AC=AE.代入式得 DC = C.分析2 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线.证法2： 如图410,过D作DE/AC交AB于E,则Z2=Z3.09 4-10二 Z3.于是EA二ED.AB _ BD ACCD.分析3 欲证式子左边为AB： AC,而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考 虑将AB转移到与AC平行的位置.证法3:如图411,过B作BEAC,交AD的延长线于E,则Z2二ZE.E图4J1Z1 = Z2,:.Z