数形结合思想在初中数学教学中的尝试与实践

1、数形结合思想在初中数学教学中的尝试与实践松江二中（集团）初级中学 陈殿光【摘要】在课堂教学中，系统地引导学生认识数学的思想与方法，是中学数学教育的一项重要任务，有利于学生深刻地理解数学的本质与精髓；有利于学生更好地理解和掌握数学内容，实现学习的迁移；有利于学生创新能力和思维习惯的形成。本文就基本数学思想方法之数形结合思想浅谈在初中数学教学中的应用。【关键词】初中数学教学 数学思想 数学结合思想 上海市中小学数学课程标准在原来“双基”的基础上，提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 初中数学思想方法许多，但最基本的数学思想方法是：数形结合的思想，分类讨论思想、化

2、归思想、函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的、又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来， 使抽象思维和形象思维结合起来， 实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。本文对数形结合思想在初中数学教学中的应用作一些探讨。一、借“形”理概念概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系本质属性的思维形式。初中数学知

3、识都是以概念为基础的，必须让学生获得清晰明确的数学概念。图形语言是一种视觉语言，是一种特殊的数学语言。它不仅具有符号语言准确、严密、简明的特点，还具有直观、形象、便于观察、记忆和联想等优点。本人在帮助学生理清概念，构建知识结构的教学中借助“形”获得了较好的效果。如：初中第二十二章四边形的复习课教学中，在梳理平行四边形与特殊平行四边形的概念时，本人尝试借助文氏图帮助学生整理了平行四边形与特殊平行四边形之间的关系。 四边形平行四边形矩形菱形正方形又如：在初中第二十一章代数方程的单元复习课的教学中，本人尝试利用知识结构图对代数方程的知识进行了梳理。代数方程有理方程无理方程整式方程分式方程一元一次方程

4、一元二 次方程一元高次方程二元一次方程（组）二元二次方程（组）两边平方或换元法划 归 思 想去分母或换元划 归 思 想划 归 思 想因式分解 降次心理学研究表明：人脑对信息的存储主要有语言和形象两种方式，但用形象形式摄取和存储的信息要比语言形式多得多，所以利用图形语言进行记忆具有符号语言所不能及的优越性。在初中数学的教学中如实数、代数式等相关概念梳理与知识的建构中都可以尝试借助“图形”，这样使原本抽象、杂乱的知识更清晰的展现在学生面前，以此达到更好的教学实效。二、用“形”析问题初中数学应用题教学一直困扰着许多辛苦耕耘的一线数学教师。学生也普遍反映初中应用题灵活多样、联系广泛，思路较难把握。应用

5、题也是初中数学教学中综合性比较强的内容，不仅对于学生的数学基础知识有要求，应用题也能考查学生的思维能力及应变能力，想要让学生对于应用题有更好的解题能力，教师在教学方式上应当更有技巧。在应用题的教学中恰当应用“图形”，这样就能使原本枯燥乏味、固定单一的数字罗列的应用题变得活泼生动，更容易被学生接受，也符合学生的认知规律。如：在行程问题的应用题的教学中，本人尝试用“形”分析问题，帮助学生寻找等量关系。例题：甲乙二人分别从A、B两城同时相向而行，往来于A、B两成之间，甲平均每小时行90千米，经过6小时相遇。这时乙比甲少走180千米，相遇后他们继续前进，到达目的地后，各自按原路返回。问1：A、B两城间

6、的距离是多少千米？问2：二次相遇时距A、B两城的中心点是多少千米？此题为比较复杂的行程问题，如果仅从题目的文字中提取相关信息，寻找等量关系来列方程是比较困难的，为此可以采用“线段图”来帮助学生分析问题，寻找等量关系，化繁为简，利于学生解决问题。又如在学习函数相关问题时经常可以利用函数的图像帮助我们分析问题。例题：许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中较为现实的问题。某款燃气灶旋钮位置从0度到90度，燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度。为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同

7、位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度度的范围是），记录相关数据得到下表：旋钮角度（度）2050708090所用燃气量（升）73678397115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？（2）当旋钮角为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？分析：在解决本题第（2）问的时候如果单凭第（1）问或原题中的“数”来分析问题，势必困难重重，很难突破，并且数据运算量也十分大，此时可以引导学生运用“图形”来帮助分析问题，寻求更好的解题方法。如图为题目已知所给数据所绘制的函数图像，在与学生一起

8、分析时还要注意旋钮角度度的范围是，这一限定条件。通过图像可以很直观的发现最省燃气的时刻就是图像的最低点，从而使遇到的困难迎刃而解。利用“图形”发掘“数据”背后呈现的规律，用“图形”分析问题，可谓是解决这类问题的“利器”。三、以“形”助运算在第六章一次方程（组）和一元一次不等式（组）的教学中，我们可以利用“形”帮助确定不等式组的解集与一元一次方程组的解。如：解不等式组，在求解该不等式组的解集时，我们可以利用数轴，分别画出原不等式组中三个不等式的解集，然后通过寻找其在数轴上的公共部分来确定原不等式组的解集。 如：解二元一次方程组在解一次方程组的时候除了教材上的代入消元法与加减消元法之外，也可以利用

9、“图形”帮助求解。在直角坐标系中分别画出构成方程组的两个方程所对应的函数的图像，两个函数的图像的交点的坐标即为所要求的方程组的解。利用此种方法还可以进一步探究方程组有无实数解，有几个实数解的情况。四、倚“数”定形位数形结合思想中的“数” 一般指代数，而“形”一般指几何，这两者貌似独立，实则在某些情况下可以互相转化。数量问题转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。初中数学教材第二十七章点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系中就是倚“数”定“形位”的典型实例。d与rd>r点在圆外d=r点在圆上0d<r点在圆内d:点心距，r:半径点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系 2.圆与圆的五种位

10、置关系学生在学习圆与圆的位置关系时遇到了位置情况与相应的圆心距d与两圆的半径R、r之间的数量关系都相对比较复杂，无论是由位置关系推知数量关系还是由数量关系推知位置关系，学生都难搞清楚，掌握与应用起来比较困难。位置我在教学中做了这样的“形”不离“数”，“数”不离“形”的尝试，制作了如下图的“数形”图。这样避免了学生去死记硬背圆与圆五种位置关系所对应的数量关系，而且在数量关系的时候又要注意有的地方有绝对值，有的地方还有零等等，这些导致学生掌握与运用的难度加大。利用数轴、关键的几个分界点、五种位置关系汇于“形”（上图），这使得“数”与“形位”的关系直观形象的展现出来，更有利于学生的理解与掌握。由数到形，由形到数,数与形是不可分割的统一体，数形结合，相互对照，相互渗透，相互沟通，相互印证。数学结合思想是基本的数学思想之一，而数学思想方法又是数学的灵魂，是解决问题的武器，和书本上的知识比起来，有更广泛的应用性、实用性。所以，教师在教授知识的同时，要注意数学的思想方法的渗透，这是必不可少的。数学思想方法能锻炼学生的逻辑思维能力，提高教学质量。一旦学生掌握了数学的思想方法，便如一层窗户纸被捅破，以后对数学的学习就会事半功倍，