人教版八年级数学下册《正方形》拓展练习

1、2. （5分）如图，已知正方形C. 7/2D.A. B.C.D.正方形拓展练习、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，平面内三点 A、B、C, AB = 4, AC = 3,以BC为对角线作正方形BDCE,连接AD,则AD的最大值是（）ABCD的边长为4, P是对角线BD上一点，PEXBC于点E, PFLCD于点F,连接AP, EF .给出下列结论：PDf月EC;四边形PECF的周长为8;4APD一定是等腰三角形；AP=EF;EF的最小值为2、历； APXEF,其中正确结论的序号为（）第3页（共29页）3. （5分）如图，在矩形ABCD内有一点F, FB与FC分别平分/ A

2、BC和/ BCD, 点E为矩形ABCD外一点，连接BE, CE.现添加下列条件： EB/CF, CE/BF; BE= CE, BE=BF; BE/CF, CEXBE; BE = CE, CE/ BF,其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. （5分）如图，正方形 ABCD中，AE = AB,直线DE交BC于点F,则/ BED的度数是（A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若5. （5分）如图，在正方形A. 45°B. 30°C

3、. 60°D. 550、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, / CAB的平分线交BD于点E,交BC于点F.若OE = 2,则CF =7. （5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分另I在BC和CD上下歹U结论：BE=DF;/AEB=75° ; CE=2; ® S 正方形ABCD = 2+/j.其中正确答案的序号是 （把你认为正确的都填上）. H5 KC8. （5分）如图，正方形ABCD的边长为2cm, E为CD边上一点，/DAE=30M为AE的中点，过点M作直线分别

4、与 AD、BC相交于点P、Q.若PQ= AE,第2页（共29页）则AP等于9. （5分）如图，正方形ABCD的边长为3cm, E为CD边上一点，/DAE=30° , M为AE的中点，过点M作直线分别与 AD、BC相交于点P、Q.若PQ= AE, 则AP等于 cm.D10. （5分）如图，在4ABC中，/BAC = 45° ,AD是BC边上的高，若BD=3,CD = 1,则AD的长为三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）在四边形 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O的两条 直线分别交边 AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H.【感知】如图，若

5、四边形ABCD是正方形，且AG=BE= CH = DF,则S四边形AEOG=S 正方形 ABCD ；【拓展】如图，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG=±"S矩形ABCD,设AB =a, AD = b, BE=m,求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图,若四边形ABCD是平行四边形，且 AB=3, AD = 5, BE=1, 试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分.12. （10分）如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分/ DBC 交DC于点E,延长BC到点F,使CF = CE,连接DF ,交BE的延长线于

6、点 G.（1）求证： BCEADCF;（2）求CF的长.13. （10分）（1）如图，分别以 ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形 ABDE 和正方形 ACGF.求证 Saaef = Saabc.（2）如图，分别以 ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形 ABDE、ACGF、 BCHI,可得六边形 DEFGHI ,若S正方形abde=17, S正方形acgf = 25, S正方形bchi14. （10分）如图1,点E为正方形ABCD的边AB上一点，EFXEC,且EF =EC,连接AF.(1)求/ EAF的度数；(2)如图2,连接FC交BD于M,交AD于N.求证：BD = AF+2DM

7、.第5页(共29页)15. (10分)在正方形 ABCD中，/C=/D = 90°，点E、F分别是边CD、BC上的中点，点 P 是一动点.记/ DEP = /1, /BFP=/2, /EPF = /a.图1图之|皆用医I(1)如图1,若点P运动到线段AD中点时，/ a=, /1 + /2 =.(2)如图2,若点P在线段AD上运动时，/ 1、/2和/ a之间有何关系？(3)当点P在直线AD上(在线段AD之外且PE与PF不重合)运动时，/ 1、/2和/ a之间又有何关系？说明理由.正方形拓展练习参考答案与试题解析、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，平面内三点 A、

8、B、C, AB = 4, AC = 3,以BC为对角线作正方形BDCE,连接AD,则AD的最大值是（）B. 7【分析】如图将 BDA绕点D顺时针旋转90°得到 CDM .由旋转不变性可知:AB = CM = 4, DA=DM. /ADM = 90° ,推出 ADM是等腰直角三角形，推出ad = Y2am,推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边 2关系求出AM的最大值即可解决问题；【解答】解：如图将 BDA绕点D顺时针旋转90°得到4CDM.由旋转不变性可知：AB = CM = 4,DA=DM. / ADM = 90.ADM是等腰直角三角形，1 . A

9、D=迎AM, 2当AM的值最大时，AD的值最大, AM&AC+CM,AM<7,2 .AM的最大值为7, AD的最大值为包故选：D.【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题 型.2. （5分）如图，已知正方形 ABCD的边长为4, P是对角线BD上一点，PEX BC于点E, PFLCD于点F,连接AP, EF.给出下列结论：PDfEC;四边形PECF的周长为8;4APD一定是等腰三角形；AP=EF;EF 的最小值为2五； APXEF,其中正确结论的序号为（）DCA.B.C.D.【分析】

10、根据正方形的对角线平分对角的性质，得4PDF是等腰直角三角形,在 RtDPF 中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得 DP =近EC.先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长 为2BC,则四边形PECF的周长为8;根据P的任意性可以判断 APD不一定是等腰三角形；由,PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明 AP=EF;当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2/2;证明/ PFH + /HPF = 90° ,贝U APXEF.【解答】解：如图，延长FP交AB与G,连PC,延长AP交EF与H,. GF/ BC, ./ DPF=/ D

11、BC,二.四边形ABCD是正方形 ./ DBC = 45° ./ DPF=/ DBC = 45° , ./ PDF=/ DPF=45° , . PF=EC=DF, 在 RtADPF 中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2, . DP=6EC.故正确； VPEXBC, PFXCD, /BCD = 90° ,一四边形PECF为矩形, 四边形 PECF 的周长=2CE+2PE = 2CE+2BE = 2BC=8,故正确；丁点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，/ ADP = 45度， 当/ PAD = 45度或67.5度或90度时， APD

12、是等腰三角形，除此之外，4APD不是等腰三角形，故错误.二.四边形PECF为矩形， . PC=EF, / PFE=/ ECP,由正方形为轴对称图形， .AP= PC, /BAP=/ECP, . AP= EF, / PFE=/ BAP,故正确；由 EF=PC = AP, 当AP最小时,EF最小,则当APLBD时，即AP得BD=/:x小巧=2/时，EF的最小值等于2/2, 故正确； VGF / BC, ./AGP= 90° , /BAP+/APG=90° , /APG= / HPF,/ PFH+/ HPF = 90° ,API EF,故正确；本题正确的有：；故选：A.

13、【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等 题三角形的性质，勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时 要认真审题.3. （5分）如图，在矩形ABCD内有一点F, FB与FC分别平分/ ABC和/ BCD, 点E为矩形ABCD外一点，连接BE, CE.现添加下列条件： EB/CF, CE/BF; BE= CE, BE=BF; BE/CF, CEXBE; BE =CE, CE/ BF,其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】求出/F=90° , FB= FC,再根据正方形的判定方法逐个判断即可.【解答

14、】解：二四边形ABCD是矩形， ./DCB = /ABC = 90° ,.FB与FC分另1J平分/ ABC和/BCD, /FCB'/CB = 45。，/ FBC，/ABC=45。， ./ FCB=/ FBC = 45° , .CF=BF, /F = 180° 45° 45° =90° , VEB/ CF, CE/ BF,一四边形BFCE是平行四边形，. CF=BF, / F = 90° ,一四边形BFCE是正方形，故正确；. BE= CE, BF=BE, CF = BF,BF=CF = CE=BE,一四边形BFCE是

15、菱形，/ F = 90° ,一四边形BFCE是正方形，故正确；v BE/ CF, CEXBE,CFXCE, ./ FCE=/ E=/F = 90° ,一四边形BFCE是矩形，v BF=CF,一四边形BFCE是正方形，故正确；. CE/BF, / FBC=/FCB=45° , ./ECB=/FBC = 45° , / EBC= / FCB = 45° , / F = 90° , ./ FCE=/ FBE=/ F = 90° ,v BF=CF,一四边形BFCE是正方形，故正确；即正确的个数是4个，故选：D.【点评】本题考查了矩形

16、的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判 定等知识点，能灵活运用判定定理进行推理是解此题的关键.4. （5分）如图，正方形 ABCD中，AE = AB,直线DE交BC于点F,则/ BED 的度数是（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°【分析】先设/ BAE = x0 ,根据正方形性质推出AB = AE=AD, /BAD = 90根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出/ AEB和/AED的度数.【解答】解：设/ BAE=x0 , 二.四边形ABCD是正方形， ./BAD=90° , AB=AD,AE=AB, .

17、AB= AE = AD, ./ABE= /AEB=L (180。-/BAE) =90。-|-x0 , ./DAE=90° - x ./AED=/ADE= (180° /DAE)=二180° (90° x ) =45° 必o x , ./BED=90° :x° +450 + 二x° =135° .22故选：C.【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用， 等腰三角形的性质的运用，正 方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比 较典型，但是难度较大.5. （5分）如图，在正方形 ABC

18、D中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若 AB = AF,则/ BFE=（）B £A. 45°B. 30°C. 600D. 55°【分析】由正方形的性质再结合已知条件可证明 ABF和 ADF是等腰三角形, 再根据等腰三角形的性质、四边形内角和为360°和三角形内角和定理即可求 出/BFD = 135° ,进而可求出/ BFE的度数.【解答】解：二.四边形ABCD是正方形， .AB= AD, /BAD=90° ,AB= AF . AF=AD .ABF和AADF都是等腰三角形，/ 1 = /2, /3= /4, . /BAD+

19、/ 1 + /2+/3+/4= 3600 , .2/2+2/3 = 270° ,. /2+/3=135° , ./ BFE=180° - 135° =45° ,故选：A.第13页（共29页）四边形内角和定【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判断和性质、理以及三角形内角和定理的运用，利用整体思想求出/BFD的度数是解题的关键.、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, / CAB的平分线交BD于点E,交BC于点F.若OE = 2,则CF= 4OG若FC, OG【分析】取AF的中

20、点G,连接OG,根据三角形的中位线得出/FC,根据正方形的性质求出/ OAB、/ ABO、/OCB的度数，求出/ OEA和/ OGF的度数，推出OG = OE即可解决问题.【解答】证明：取AF的中点G,连接OG, .。、G分别是AC、AF的中点,OG/FC （三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， .正方形ABCD,丁. / OAB= / ABO= / OCB = 45. AF 平分 / BAC, ./BAF=/OAF=22.5° , ./GEO=90° - 22.5 =67.5° . GO/ FC, ./AOG=/OCB = 45° ,

21、./OGE=67.5° , ./ GEO=/OGE, .GO= OE, .CF=2OE = 4.故答案为4.【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线， 等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌 握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.7. （5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分另I在BC和CD上下歹U结论：BE=DF;/AEB=75° ; CE=2; ® S 正方形abcd=2+右.其中正确答案的序号是 （把你认为正确的都填【分析】根据三角形的全等的知识可以判断 的

22、正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为1800判断的正误；由 CEF为等腰直角三角形可以判断的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断 的正误.【解答】解：二四边形ABCD是正方形， . AB= AD,.AEF是等边三角形， . AE= AF,在 RtAABE 和 RtAADF 中，, 研二 AFRtAABERtAADF (HL),BE= DF,说法正确；. CE=CF, .ECF是等腰直角三角形， ./CEF=45° , . /AEF=60° , ./AEB= 750 ,一说法正确；如图，CEF为等腰直角三角形，EF = 2, .CE=. 说法错误；v E

23、F=2, .CE=CF = V,设正方形的边长为a,在 RtAADF 中，AD2+DF2=AF2,即 a2+ (a-V2) 2=4,解得2 =返署,则 a2=2+.；，S正方形ABCD = 2+Vs,说法正确，故答案为：.【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等 三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦.8. （5分）如图，正方形ABCD的边长为2cm, E为CD边上一点，/DAE=30° , M为AE的中点，过点M作直线分别与 AD、BC相交于点P、Q.若PQ= AE, 则AP等于三cm或上cm .【分析】根据题意画出图形，过P作

24、PNXBC,交BC于点N,由ABCD为正方 形，得至ij AD = DC=PN,在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出 DE的长，进而利用勾股定理求出 AE的长，根据M为AE中点求出AM的长， 利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应 角相等得到DE = NQ, /DAE = /NPQ = 30° ,再由PN与DC平行，得到/ PFA=/DEA= 60° ,进而得到PM垂直于AE,在直角三角形 APM中，根据 AM的长，利用锐角三角函数定义求出 AP的长，再利用对称性确定出 AP' 的长即可.【解答】解：根据题意画出图形，过 P

25、作PNLBC,交BC于点N, 二.四边形ABCD为正方形， . AD=DC=PN,在 RtADE 中，/ DAE = 30° , AD = 3cm, tan30° =塔，即 DE=jVlcm AD3A匚 Ws . AE=cm,3 . M为AE的中点， .AM =AE= ' cm, 23在 RtAADE 和 RtAPNQ 中，皿。" I.AE-PQRtAADERtAPNQ （HL）, .DE=NQ, / DAE = /NPQ = 30° ,PN/ DC,./ PFA=/ DEA=60 ./ PMF = 90° ,即 PMXAF,在 RtA

26、AMP 中，/ MAP = 30cos30° =回 AP2V3AP=W=孟第17页（共29页）由对称性得至ij AP' = DP = AD AP=3 &=cm, 3 3综上，AP等于3cm或&cm.33故答案为：cm或gcm. 33【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三 角形的判定与性质是解本题的关键.9. （5分）如图，正方形ABCD的边长为3cm, E为CD边上一点，/DAE=30° , M为AE的中点，过点M作直线分别与 AD、BC相交于点P、Q.若PQ= AE, 则AP等于 2或1 cm.【分析】根据题意画出图

27、形，过P作PNXBC,交BC于点N,由ABCD为正方 形，得至ij AD = DC=PN,在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出 DE的长，进而利用勾股定理求出 AE的长，根据M为AE中点求出AM的长， 利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应 角相等得到DE = NQ, /DAE = /NPQ = 30° ,再由PN与DC平行，得到/ PFA=/DEA= 60° ,进而得到PM垂直于AE,在直角三角形 APM中，根据 AM的长，利用锐角三角函数定义求出 AP的长，再利用对称性确定出 AP' 的长即可.【解答】解：根据题意画出图

28、形，过 P作PNLBC,交BC于点N,二.四边形ABCD为正方形， . AD=DC=PN,在 RtADE 中，/ DAE = 30° , AD = 3cm, tan30° =器，即 DE=V5cm,根据勾股定理得：AE=2 3cm, . M为AE的中点， .AM = _AE= :;cm,在 RtAADE 和 RtA PNQ 中，：应*", AE=PQ RtAADERtAPNQ (HL), .DE=NQ, / DAE = /NPQ = 30° ,PN/ DC, ./ PFA=/ DEA=60 ./ PMF = 90° ,即 PMXAFANcos3

29、0»"-= 2cm；AJflAP在 RtAMP 中，/MAP = 30° , cos30° =第23页（共29页）2由对称性得到 AP' =DP = AD-AP=3-2= 1cm,综上，AP等于1cm或2cm.故答案为：1或2.Pr P D【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三 角形的判定与性质是解本题的关键.10. （5分）如图，在4ABC中，/BAC = 45° ,AD是BC边上的高，若BD=3, CD = 1,则AD的长为赤+2 .【分析】作 ABC的外接圆，过圆心。作OELBC于点E,作OFLAD

30、于点F, 连接OA、OB、OC.利用圆周角定理推知 BOC是等腰直角三角形，结合该 三角形的性质求得DE = OF=1;在等腰RtzXBOE中，利用勾股定理得到 OE = DF=2;则在RtzXAOF中，易得AF=J7,进而得到 AD的长.【解答】解：如图，作 ABC的外接圆，过圆心。作OELBC于点E,作OF ，AD 于点 F,连接 OA、OB、OC. ./BAC=45° , ./BOC = 90° .在 RtzXBOC 中，BC = 3+1 = 4, BO= CO=2&.vOE± BC,。为圆心，BE= BC=2, .DE=OF=1.在 RtzXBOE

31、 中，BO = 2&, BE=2, .OE= DF = 2.在 RtzXAOF 中，AO = 2&, OF=1, . AF=近ad=Vt+2.故答案为：中+2.【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知 识的综合运用，解题时注意辅助线的作法，构造直角三角形和矩形是解决问 题的关键.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）在四边形 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O的两条 直线分别交边 AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H.【感知】如图，若四边形ABCD是正方形，且AG=BE= CH = DF,则S四边形 AEOG=

32、 艮 S正方形ABCD；一2【拓展】如图，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG=S矩形ABCD,设AB=a, AD = b, BE=m,求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图,若四边形ABCD是平行四边形，且 AB=3, AD = 5, BE=1, 试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分.E1图图【分析】【感知】如图，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图，过O作ONLAD于N, 0乂，人8于乂，根据图形的面积得到 -mb=曾AG?a,于是得到结论；【探究】如图，过O作KLXAB, PQXAD,则KL = 2OK, PQ

33、=2OQ,根据 平行四边形的面积公式得到 警=亮，根据三角形的面积公式列方程即可得到 结论.【解答】解：【感知】如图，四边形ABCD是正方形, ./OAG=/OBE = 45° , OA=OB, fAG=BE在AAOG 与ABOE 中， ZAOOZBOE AO 二 BO.AOGABOE,S 四边形 AEOG= SaAOB =S正方形ABCD ；故答案为: 【拓展】如图，过O作ONLAD于N, OMLAB于M,' SAOB = S矩形 ABCD , S 四边形 AEOG = S矩形 ABCD ,二 SaAOB = S 四边形 AEOG,' SkAOB= SaBOE+Sk

34、AOE , S 四边形 AEOG= SkAOG+SkAOE ,S BOE= Sa AOG,SaBOE=-LBE?OM=-：m=b=-mb,.弓 mb=G?a,Sa aogAG?ON-AgR a =二 AG?a,2224【探究】如图，过O作KLXAB, PQXAD,则 KL = 2OK, PQ=2OQ,S平行四边形ABCD 二 AB?KL = AD?PQ, .3X2OK = 5X2OQ,SaAOB =平行四边形ABCD , S四边形AEOG = ：S4平行四边形ABCD ,二 SaAOB = S 四边形 AEOG,S BOE= Sa AOG,Sa boe=gBE?OK = 一 22X 1XOK,

35、& aog=AG?OQ,X1XOK = =AG?OQ2OKOQ5AG=-J当AG = CH=-, BE=DF=1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等J分.【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明 Sa BOE = Sa AOG是解决问题的关键.12. （10分）如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分/ DBC 交DC于点E,延长BC到点F,使CF = CE,连接DF ,交BE的延长线于点G.(1)求证： BCEADCF;(2)求CF的长.【分析】（1）,利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS,即

36、可证得4BCEADCF;（2）,由BE平分/ DBC, BD是正方形ABCD的对角线，以匕BCEADCF可 得/DEG=/BEC, / BGD = /BCD = 90° =/BGF.从而得到 DBGA FBG,根据全等三角形的性质可得 BF的长，最后由勾股定理及线段的和差， 即可求得CF的长度.【解答】(1)证明：如图， 在 BCEffiADCF 中，(BC=DC/BCE二/DCF二90“，CECF.-.BCEADCF (SAS).（2）如图，: BE平分/DBC, BD是正方形ABCD的对角线, /EBC避/DBC = 22.5。，由(1)知BCEDCF, ./EBC=/FDC =

37、 22.5° , / DEG=/BEC ./BGD=/BCD = 90° =/BGF.在DBG和AEBG中，BG=BG ,Zbgd=Zbgf.-.DBGAFBG (SAS), .BD=BF, DG=FG,.BF=:, . CF= BF- BC=J2.- 1. 。bd=痛而C 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键.13. （10分）（1）如图，分别以 ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE 和正方形 ACGF,求证 Saaef = Saabc.（2）如图，分别以 ABC的边AB、AC

38、、BC为边向形外作正方形 ABDE、ACGF、BCHI ,可得六边形 DEFGHI ,若S正方形abde=17, S正方形acgf = 25, S正方形bchi= 16,求 S六边形DEFGHI .轧.图【分析】(1)作辅助线，证明 AMCAANF (AAS),得CM = FN根据三角形 面积公式可得结论；(2)同理得：Saaef = Saabc=Sabdi = Sachg ,设 BO = x,则 CO = 4 x,根据勾 股定理列方程得：17-x2=25- (4-x) 2,解得：x= 1,根据面积和可得S六边形 DEFGHI .【解答】证明：(1)如图，过点C作CMLAB,过F作FNLEA与

39、EA的延 长线交于点N, ./CMA=/ANF = 90° , 四边形ABDE和四边形ACGF是正方形， .AB= AE, AC = AF, /BAE=/CAF=90 ./ CAM + /CAN=/ FAN+/CAN = 90 ./ CAM = / FAN,ftAAMCffiAANF 中，f ZCMA=ZFNAAC=AF.AMCAANF (AAS), .CM = FN,.|-ae?fn=1-ab<f,S AEF = Sa ABC.(2)由上题结论得：SAEF = SaABC=SaBDI = SaCHG ,由题意得：AB=VF, AC = 5, BC = 4,过点。作 AOBC,

40、设 BO=x, WJ CO = 4x,在 RtAABO 和 RtAACO 中，AO2 = AB2 - BO2= AC2 - CO2,即 17-x2 = 25- (4- x) 2,解得：x= 1, . AO= 4,S 六边形 DEFGHI =S 正方形 ABDE+S 正方形 BCHI + S 正方形 ACGF + Sa AEF + Sa BDI+Sa CHG+Sa ABC,= 17+25+16+4XiX4X4,2= 90.图【点评】本题考查正方形的性质，三角形和多边形的面积等知识，解题的关键是 理解题意，恰当作辅助线，学会利用面积和求六边形面积，属于中考常考题型.14. (10分)如图1,点E为

41、正方形ABCD的边AB上一点，EFXEC,且EF = EC,连接AF.(1)求/ EAF的度数；(2)如图2,连接FC交BD于M,交AD于N.求证：BD = AF+2DM.【分析】(1)过点F作FMLAB并交AB的延长线于点M,只要证明 EBCA FME (AAS)即可解决问题；(2)过点F作FG/AB交BD于点G.首先证明四边形 ABGF为平行四边形， 再证明FGMDMC (AAS)即可解决问题；【解答】(1)解：过点F作FMLAB并交AB的延长线于点M, 四边形ABCD是正方形，. B=/M=/ CEF = 90° , ./MEF+/CEB=90° , / CEB+/BCE= 90° , ./ MEF = /ECB,v EC=EF,.-.EBCAFME (AAS)FM=BEEM=BCv BC=AB,EM=AB,EM AE=ABAE . AM=BE,FM = A