相似三角形压轴题含复习资料

1、5 / 191、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形 ABCD中，AD/BC，点E在CB的延长线上，联结 DE，交AB于点F ,联结DB ， AFD DBE，且2DE BE CE .(1) 求证：DBE CDE ；(2) 当BD平分 ABC时，求证：四边形 ABCD是菱形.答案：(1)证明：/ DE2 BE CE ,DE BECE DE E E ,（2分） （ 1 分）DBE s CDE（1 分）DBE CDE（ 1 分）（2）/ DBE CDE ,又 DBE AFD , CDE AFD （1 分） AB/DC （1 分）又 AD / BC ,四边形ABCD是平行四边形

2、（1分） AD / BC , ADB1 （1 分）/ DB 平分 ABC , 12 （1 分） ADB 2 - AB AD （1 分）1分）四边形 ABCD是菱形.2、（2010?山东省泰安市） 如图，在 ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点,且满足 AD=AB，/ ADE= / C（1 ）求证：/ AED= / ADC，/ DEC= / B;（2）求证：AB 2=AE -AC2.（本小题满分8分）证明：（1）在ADE 和 ACD 中/ ADE= / C,Z DAE= / DAE/ AED=180 Z DAE Z ADE/ ADC=180 Z ADE Z C Z AED= Z ADC（

3、2 分）vZ AED+ Z DEC=180Z ADB+ Z ADC=180 Z DEC= Z ADB又 v AB=AD Z ADB= Z B Z DEC= Z B（4 分）（2）在厶ADE和厶ACD中由（1 ）知/ ADE= Z C,Z DAE= Z DAE ADE ACD（5 分） AD AC "AE AD即 AD 2=AE-AC（7 分）又 AB=AD AB 2=AE -AC（8 分）（2009泰安）如图， ABC是直角三角形， / ACB=90 ° , CD丄AB于D , E是AC的中点, ED的延长线与CB的延长线交于点 F。（1）求证：FD2=FBFC。（2）若G

4、是BC的中点，连接 GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。【答案】证明：(1 ) E是Rt ACD斜边中点 DE=EA/ A= / 2 / 1 = / 2' Z 1 = / A / FDC= / CDB+ / 1=90° +/ 1，/ FBD= / ACB+ / A=9 0° + / A / FDC= / FBD- F是公共角 FB"A FDC FBFDFDFC FD2FB?FC(2) GD 丄EF理由如下：/ DG是Rt CDB斜边上的中线, DG=GC/ 3= / 4由(1)得/ 4= / 1/ 3= / 1/ 3+ / 5=90°/ 5+ /

5、 1= 90° DG 丄 EF4、( 2010广东珠海)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC,垂足为E,连接DE F为线段DE上一点，且/ AFE=Z B.(1) 求证： ADDA DEC(2) 若 AB= 4,AD= 3 3 ,AE = 3,求 AF 的长.【答案】(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形 AD/ BC AB / CD/ ADF玄 CED/ B+Z C=180°/ AFE+Z AFD=180 Z AFE=Z B Z AFD=Z C ADFA DEC 解：四边形 ABCD是平行四边形 AD/ BC CD=AB=4又 AE丄 BC AE 丄 AD在

6、 Rt ADE中，DE=、AD2 AE2.(3 3)2 32 6/ ADFA DECADAF3、3AF AF= 2.3DECD645、( 2010 广东肇庆)如图 5,Z ACB=90 , AC=BC , BE 丄CE于 E, AD丄 CE于 D, CE与 AB 交于F.(1) 求证： CEBA ADC;(2) 若 AD=9cm , DE = 6cm，求 BE 和 EF 的长.【答案】解：(1)因为/ ACB=90，所以/ BCE+ / ECA=90 .因为 AD丄 CE于 D,所以/ CAD+ / ECA=90 .所以/ BCE= / CAD.因为 BE 丄 CE于 E,所以/ BEC= /

7、 CDA=90 .又因为 AC=BC，所以 CEBA ADC(AAS .(3)因为 CEBA ADC 所以 CE=AD=9cmCD=BE因为 DE = 6cm,所以 CD=CE-DE=3cm.所以 BE=3cm.因为/ BEF= / ADF=90，/ EFB= / DFA,所以 EFBA DFA.所以 .设 EF=xcm，所以 DF=(6-x)cm, 所以 3 = - ,所以 x= 3 cm.AD FD96-x2BC .取AB的中点F，连结FD6> .（2009年潍坊）已知 ABC，延长BC到D，使CD 交AC于点E AF(1 )求竺的值;AC过点F作FM / AC，交BC于点M .Q

8、F为AB的中点1M为BC的中点，FM AC .2由 FM / AC，得 CED MFD , ECDFMD , FMD ECDDC EC 2DM FM 32211EC FMAC AC33231 AEACECAC3AC2AC ACAC311（2） Q AB a, FB AB a2 2p1又 FB EC, EC a213Q EC AC, AC 3EC -a .3 27、（ 2011?东莞市）21.如图（1）, ABC与厶EFD为等腰直角三角形， AC与DE重合，AB=AC=EF=9，/ BAC= / DEF=90o，固定 ABC，将 DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与AB边重合时，旋转中止

9、.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE, DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G , H点，如图（2）题21图（1）问：始终与 AGC相似的三角形有(1)的情形说明理由）(2)设CG=x, BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(3)问：当x为何值时， AGH是等腰三角形.【答案】 解：（HAB , HGA。AC(2)：公 AGCHAB , -HBGC，即 9 /。AB y 981.y= 。x又 BC= . 92929 2 ,0< x< 9 2。 y关于x的函数关系式为(3)当/ GAH= 45°可知x CG是等腰三角形匹9 2。2 2是等腰三

10、角形Oy= 81 0< x < 9 2 < x的底角时，如图当/ GAH= 45在厶HGA和厶AGC中的顶角时，如图2,/ AGH= / CGA，/ GAH= / C=45°, HGA s AGC。/ AG=AH , x CG AC 99 当x. 2或x 9时， AGH是等腰三角形。28、(2009武汉)如图1,在Rt ABC中,BAC 90° AD丄BC于点D，点O是AC边上一点，连接 BO交AD于F，OE丄OB交BC边于点E .(1)求证： ABF COE ；(2) 当O为AC边中点，-AB(3) 当O为AC边中点，必AB2时，如图2,求兰的值；OEn

11、时，请直接写出9匸的值.OE25 / 19图1图2【关键词】相似三角形的判定和性质【答案】解：(1) Q AD丄BC， DAC C 90 Q BAC 90° BAF C .QOE 丄 OB， BOA COE 90°Q BOA ABF 90°， ABF COE. ABF COE ；(2)解法一：作OG丄AC，交AD的延长线于G .Q AC 2AB，O 是 AC 边的中点，AB OC OA .由(1)有 ABF sCOE， ABF COE，BF OE .Q BAD DAC 90° DAB ABD 90°DAC ABD，又 BAC AOG 90

12、76; AB OA. ABCOAG， OG AC 2AB .QOG 丄 OA， AB / OG， ABF sGOF，OF OG OF OF OG， 2 .BF AB OE BF AB解法二：Q BAC 90° AC 2AB, AD 丄 BC 于 D , AD AC2 .BD ABRtA BAD s Rt BCA.设AB 1,则AC2, BC、5, bo 2 ,AD 25, BD5Q BDF BOEBDDF1 AD290° 1 .5 .5BDF BOE ,由（1）BOOE知BFOE,设 OEBF1乜5DFx 10DF .在厶DFB中x21丄2510x，OF OB BF2 2&

13、quot;OFOE（3）OF（3）n .OE9、（2010 ?济宁市）数学课上，李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD的边长为12 , P为边BC延长线上的一点,DP的中点，DP的垂直平分线交边 DC于M，交边AB的延长线 于N 当CP 6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过DE为PE作直线平图1行于BC交DC , AB分别于F , G，如图2 ,则可得:因为DE EP,所以DF FC .可求出 得EM与EN的比值DF DEFC EPEF和EG的值，进而可求（1）请按照小明的思路写出求解过程（2）小东又对此题作了进一步探究,得出了 DP MN的结论.

14、D你认为小东的这个结论正确吗？如果正确,请给予证明；如果不正确，请说明理由（第22题）则 MH CBCD ,MHN90 .DCP 1809090 ,DCPMHN . MNHCMNDME90CDP ,DPC 90DPCMNH . - DPCMNH 二 DP MNCDP ,分22. (1)解：过E作直线平行于 BC交DC , AB分别于点F , G ,DFDEEMEF则-,GFBC12.FCEP，ENEG DEEP , DFFC 分 EF-CP1 63, EG GFEF12 3 15.22EMEF3 1. 分ENEG15 5(2)证明：作MH / BC交AB于点H ,5分10、(2010?湖北省咸

15、宁)24.(本题满分12分)如图，直角梯形 ABCD 中，AB/ DC, DAB 90 , AD 2DC 4 , AB 6 .动点 M以每秒1个单位长的速度，从点 A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从 点C沿折线C-D-A向点A运动.当点 M到达点B时，两点同时停止运动.过点M作直线I/ AD，与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t (秒).(1)当t 0.5时，求线段QM的长；(2) 当Ov tv 2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；CQ(3) 当t> 2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值，若是，试求这RQ个

16、定值；若不是，请说明理由.24 .解：(1)过点C作CF AB于F，则四边形 AFCD为矩形. - CF 4 , AF 2 .此时，Rt AAQM s Rt AACF .-2分D QMCFAMAF .4 - 2M.5 Q O1QM 1 .3分(第 24 题)A(2)v DCA为锐角，故有两种情况： 当 CPQ 90时，点P与点E重合.此时DE CP CD，即t t 2 , t 1.5分 当 PQC 90时，如备用图1,此时 Rt APEQs RtQMA ,EQPEMAQM由(1)知，EQ EM QM4 2t ,而 PE PC CE PC (DCDE) t (2 t) 2t 2 , 4 2t 1

17、. *5. t .2t 223综上所述，t 1或5 . 8分(说明：未综述，不扣分)3(备用图1)PA DA DP 4 (t2)6 t .由(1)得，BF ABAF4 . CF BF . CBF45 . QM MB 6 t . QMPA .四边形AMQP为矩形. PQ /AB .11分CQ(3)为定值. 9分RQ当t > 2时，如备用图2,(备用图2) CRQs CAB.CQ BC CF2 BF24 22 2八-.12分RQ ABAB6311、五、石景山24题：在 ABC中，AB AC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且/ BED 2 CED BAC.(1) 如图1,若/ BAC

18、 90，猜想DB与DC的数量关系为 (2) 如图2,若/ BAC 60，猜想DB与DC的数量关系，并证明你的结论；(3) 若/ BAC，请直接写出 DB与DC的数量关系【参考答案】24.解：(1) DB 2DC DB 2DC证明：过点C作CF / BE交AD的延长线于点F ,在AD上取点G使得CG CF60gg3060201F图(1)/317126032/ AB AC ABE CAG:.CG AE, BE AG/ GCE 6 CED 30 CG EG11 CF CG AG BE22由厶DBE sDCF得-BD 匹 2DC FC DB 2DC(3)结论：DB 2DC .25. (11 漳州)(满

19、分13分)如图，直线y=- 2x + 2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将厶OAB绕点0逆时针方向旋转 90°后得到 OCD .(1 )填空：点C的坐标是(，)，点D的坐标是(，)；(2)设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点 P,使得 BMP是等腰三角形？若存在, 请求出所有满足条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（一2, 0）4分（2）方法一：由（1）可知 CD = OC2+ OD2 = 5, BC= 1又/ 1 = / 5,/ 4 = / 3BMCsDOC BM BC BM =丄"

20、DO = DC 即 2 = 5BM5方法二：设直线 CD的解析式为y= kx+ b由（1 ）得b= 1鉀/曰 b= 12k+ b = 0 解得 k= 12直线CD的解析式为y= 2 x+ 1又/ 1 = / 5,/ BCM = / DCOBMCDOC BM = BC BM =丄DO = DC 即 2 = 5BM5y= 2x+ 2 126过点M作ME丄y轴于点e,则 me=5, be=4y= 2x+1BMME2 + BE2分两种情况讨论：以BM为腰时T BM = 2 5，又点P在y轴上，且BP= BM此时满足条件的点 P有两个，它们是Pi (0,2 + 2 5)、P2 (0,2 5 5)11分过

21、点M作ME丄y轴于点E,vZ BMC = 90°则 BMEBCMBE _ BMBM = BC BE =BC又 BM = BP PE = BE= 45.yP1P2DOAxA X BP = 5此时满足条件的点P 有一个，它是P3 OP = 32八5) 12 分以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交 y轴、BM于点P、F,由(2)得/ BMC = 90° PF / CM F是BM的中点，1 1 BP = 2BC = 2此时满足条件的点P有一个，它是P4 (0 , 2)综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：Pl (0, 2+ 2 5)、P2 (0 , 2-2P3(0,5)、P4

22、(0,32) 13分13.(2010?福建省莆田市)如图 1,在 Rt ABC 中， ACB 90° AC 6, BC 8,点 D 在边AB上运动，DE平分 CDB交边BC于点E, CM BD垂足为M , EN CD，垂 足为N.(1) 当 AD=CD 时，求证：DE / AC ;(2) 探究：AD为何值时， BME与ACNE相似？(3) 探究：AD为何值时，四边形 MEND与 BDE的面积相等?24.(本小题满分12分)(1)证明：Q AD CDDAC DCABDC 2 DAC 1分又 DE是/ BDC的平分线 / BDC=2 / BDE第24题/ DAC= / BDE 2分 DE

23、 / AC 3分(2)解：(I)当厶 BME CNE 时，得 MBE NCE BD=DCDE 平分/ BDC DE 丄 BC , BE=EC.又/ ACB=90 ° DE / AC. 4分匹BC AD=5匹即BDAB珅 WC2 BC2()当 BME ENC 时，得 EBM CEN EN / BD又 EN 丄 CD BD丄CD即CD是厶ABC斜边上的高 6分由三角形面积公式得 AB-CD=AC BC CD= 245二 ADAC2CD218综上，当AD=5或18时,5 BME与厶CNE相似.（3）由角平分线性质易得1SamdeSa denDM ' ME2Q S四边形 MENDSA

24、 BDE11-BD-EM DM - EM 即 DM - BD 8 分22 EM是BD的垂直平分线. ACDE sACBD 9分CDCEDE10分BCCDBDCDBEBEBCBD2BM4BE即CDBMBM45Q cosBCD45BE54/ EDB= / DBE/ EDB= / CDE DBE= / CDE又/ DCE = / BCD由式得CECD2BC258BE398BMBE cosBAD AB 2BM10 2 39104 39395 81011511分12分14、（ 2012莆田市质检）24.（本小题满分12分）如图，在Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=8, BC=6，点D是射线CA

25、上的一个 动点（不与A、C重合）,DE!直线AB于E点，F是BD的中点，过点F作FFU 直线AB于点H,连接EF,设AD= x.（1）（ 3分）若点D在AC边上，求FH的长（用含x的式子表示）；S 4分）若点D在射线CA上, BEF的面积为S,求s与x的函数关 系式，并写出x的取值范围.（2）（ 5 分）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相 交于O点，当DP + FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以 证明.24.解：（1）v ACB900 , AC 8 , BC 6AB方法一：sin ABC 63AB 105v AED900- DE AD si nA3x -

26、5v DEB900, F是BD的中点 EF BFv FHAB EH BH13 FH 丄 DE x3分210方法二：vAEDACB900 ,AA ADE s ABC DEADBCABDEx3 DEx -_2分6 105一2分,AC2 BC282DEB 900, F 是 BD 的中点 二 EFBFv FH AB EH BH FH - DEx 3 分102 ADE s ABC有两种情况: BE10(I)4x5.AE AC 当占1 八、 S SBE23x251FH -(10232x，B2:同理得：FH 丄DE Ax210v BE104xBE543x) SFH1 (1022510 S3x23x, (x

27、0)252(2)猜想：DO3PO -8分证明:作点F关于AB的对:寸称点Fx-7分',连接FF'则FF'当点D在CA延长线上时，如图B图2AB 于 H , EF于O ,交AB于P，此时DP FP的值最小时连接EF .连接DF'交1 'v FH DE , FH F H2 FF DE 又t FF / DE四边形DEF'F是平行四边形一9分DPE 与 F'PH900方法一：如图3,在t DEP FHPDPE中f'phDPEPHDPPFDE二 DP2PF11分 DOPO 2(DOPO)化简得:DO3PO方法二：连接OH如图4: OE OF ,FH F'H OH /EF,厂1且 OH =- EF,-210分.OPOH1 _-11 分PF 'EF ,2方法三：取PB的中点M，连接t FHF'H ,FH-DE2 FF'DE又tFF' / DEOPHFPEs:.DOFM如图5:12分BOFOEOF-10 分DFBF ,PM BMFM/ DP ,op -2FM ,DP4PO DO3PO 四边形DEFF是平行四边形FMCB212分15、（