（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用（二）（学）

1、专题14 导数在研究函数中的应用（二）学一学-基础知识结论1.可导函数的极值（1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点.（2）求可导函数极值的步骤:求导数。求方程的根. 求方程的根.检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.温馨提醒：在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本

2、不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.2.函数的最大值和最小值（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.求在内的极值.将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.温馨提醒：极

3、大（小）值与最大（小）值的区别与联系：极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.3. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：温馨提醒：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函

4、数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤. 学一学-方法规律技巧1求函数的极值，最值极值与极值点在概念上的区别，这是解题的一个易错点;在用导数求函数极值时，要养成求导之后列表的好习惯一个常用的结论：如果函数图象是连续不断的，在开区间内只有一个极值，则该极值就是它的最值例1已知函数， （1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值，无极小值;（2）;（3）不存在符合题意的两点.【解析】（1）的定义域为， 故单调递增；单调递减， 2.利用导数研究函数例2、已