高数导数与微分-课件PPT

1、2021/8/261第二章第二章 倒数与微分倒数与微分2021/8/262 第一节第一节 倒数的概念倒数的概念一. 变速直线运动的速度问题 1.汽车的行驶 在很短的时间内， 我们用平均速度来近似的代替瞬时速度，当 很小时，近似程度就越好, 此时由近似值就过渡到精确值 汽车在t+ 内的行驶路程为 ，在t时刻的速度 v(t) = t0tts) 0(/ )(lim/limttttsts2021/8/263例 已知自由落体运动方程 S=1/2 gt2求（1）落体在 t0 到 t0+ 这段时间内的平均速度； （2）落体在 t = t0 时的瞬时速度； （3）落体在 t =10s 到 t =10.1s 这

2、段时间内的平均速度； （4）落体在 t =10s 时的瞬时速度。t2021/8/264（1） （2）由上式知，t = t0 时的瞬时速度为：（3）当t0 =10, =0.1s时，平均速度为 （4）当 t = 10s时，瞬时速度为 )(21)(2100220ttgtgtttgtSV000)21(lim0gtttgVtttt)/(05.10) 1 . 02110(smggV)/(1010tsmgV2021/8/265二二. 曲线的切线问题曲线的切线问题 与曲线只有一个交点的直线为圆的切线，y=x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义，但在实际中切线只有一条2021/8/266导数的定义导数的定义定

3、义2-1 设函数 y = f(x)在点x0及其邻域有定义，当自变量x在点x0处取得增量 时，相应函数y取得增量 如果 存在，则称函数 y = f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y = f(x)在点x0处的导数，记做 ，即 = x)()(00 xfxxfyxxfxxfxyx)()(000lim)(f0 xxxfxxfxyx)()(000lim)(f0 x2021/8/267比值 反映自变量 时，函数的平均变化率；导数 反映函数在点x0处的瞬时变化率，即函数随自变量变化而变化的快慢程度；若函数y = f(x)在区间（a,b）内每一点都可导，则称函数y = f(x)在区间（a,b）内可导；导函

4、数简称导数xyxxx00)(f0 x2021/8/268求导数的步骤 （1）求增量： （2）算比值： （3）取极限：)()(xfxxfyxxfxxfxy)()(xxfxxfxyx)()(lim02021/8/269常见的导数公式 （常数的导数等于零） 幂函数 0）（ C)()(x1Raaxaaxxxxxxxxxxxxcsccot)(cscsectan)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin222021/8/2610 对数函数 指数函数)(1)(lnlog1)(loga时eaxxexxaxxxxeea)(lna)(a2021/8/2611导数的几何意义 函数 y

5、 = f(x)在点x0处的导数 表示曲线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率k,k = tan = 函数在点M（x0,f(x0)）处的切线方程 函数在点M（x0,f(x0)）的法线方程)(f0 x)(f0 x2021/8/2612例 2-7 求曲线 在点（4 , 2）处的切 线方程和法线方程。例 2-8 曲线 上何处的切线平行于直线y = x + 1。xy xyln2021/8/2613可导的充要条件可导的充要条件 定义2-2 若 存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的左导数左导数，记作 ，即 =xxfxxfxyxx)()(lim0000lim)(f0 x)(f0 x

6、xxfxxfxyxx)()(0000limlim2021/8/2614 同样，如果 存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的右导数右导数，记作 ，即 = 因此，函数y = f(x)在点x0处可导的充要条件是 左右导数存在且相等，即 = xxfxxfxyxx)()(lim0000lim)(f0 x)(f0 xxxfxxfxyx)()(000lim)(f0 x)(f0 x2021/8/2615例 2-9 讨论函数y = f(x) = 在点x=0处的可导性。0,0,xxxxx2021/8/2616可导与连续的的关系可导与连续的的关系定理定理2-1 若函数若函数y = f(x)在点在点x处可导，

7、则它处可导，则它在该点处必连续。在该点处必连续。若函数若函数y = f(x)在点在点x处连续，则它在该点处处连续，则它在该点处不一定可导。不一定可导。2021/8/2617例 2-11 讨论函数y = f(x) = 在点x = 1处的连续性与可导性。连续性 左极限=右极限=函数值可导性 左导数=右导数 1,1,223xxxxx2021/8/2618第二节函数的和、差、积、商求导法则第二节函数的和、差、积、商求导法则一、函数的和、差、积、商的导数一、函数的和、差、积、商的导数定理2-2 （导数的四则运算的法则） 若函数u = u(x),v = v(x)都是 x 的可导函数，则（1） 也是x的可导

8、函数，且（2）u*v也是x的可导函数，且（3） 也是x的可导函数，且特别 vuvvuu）（vuvuv ）（u)0(uvv)0()(2vvvuvuvu)0()1(),()(u2uuuuxuCxC2021/8/2619 （4） （5） 例2-12 求 例2-13 求 例2-14 例2-15 例2-16 nnuuuuuu321321u)u (? nnnnuuuuuuuuu21212121uuu）（7352y23xxxy的导数2lgsin22xxxyyxxy，求3lnsin3yxxy，求sin2yxxeyx，求)cos(sin2021/8/2620例2-17 求y = tan x 的导数；例2-18

9、求y = sec x 的导数；例2-19 求函数 的导数，并求例2-20 求函数 的导数xxxfycos1cos1)()2(f 11xxy2021/8/2621第三节第三节 反函数与复合函数的导数反函数与复合函数的导数一 反函数的导数定理2-3 设 为直接函数， 是它的反函数，如果 在区间I内严格单调、可导，且 ，那么它的反函数 在对应的区间内可导，且有 )(yx)(xfy )(yx0)( y)(xfy )(1)(,1yxfdydxdxdy或2021/8/2622结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2-21 求 的导数例2-22 求 的导数xyarcsinxyarctan2021/

10、8/2623基本初等函数的导数公式 （常数的导数等于零） 幂函数 三角函数 0）（ C)()(x1Raaxaaxxxxxxxxxxxxcsccot)(cscsectan)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin222021/8/2624 反三角函数222211)cot(;11)(arctan;11)(arccos;11)(arcsinxxarcxxxxxx2021/8/2625 对数函数 指数函数)(1)(lnlog1)(loga时eaxxexxaxxxxeea)(lna)(a2021/8/2626二二 复合函数的导数复合函数的导数定理2-4 （复合函数求导法则

11、） 若函数在点x处可导，函数 在对应点u处可导，则复合函数 在点x处可导，且)(xu)(ufy )(xufy )()u(,xfyuyydxdududydxdyxxux ，或或2021/8/2627例2-23 例2-24 例2-25 例2-26 例2-27 dxdyxy，求tanlndxdyeyx，求3dxdyxxy，求212sindxdyxy，求sinlndxdyxy，求32212021/8/2628例2-28 例2-29例2-30 dxdyeyx，求)cos(lnyeyx，求1sinyxnxyn，求sinsin2021/8/2629第四节第四节 隐函数、幂指函数及参数隐函数、幂指函数及参数式

12、函数的导数式函数的导数一 隐函数的导数用自变量x表示y的函数即 ，如y = 3x+1,y = lnx+sinx等，称之为显函数；函数y与自变量x的关系由方程F（x,y）= 0表示的函数称为隐函数，如 3x-y+1=0,xy+x+1=0等。)(xfy 2021/8/2630隐函数的求导法则：方程两边同时对自变量 x 求导，得到一个含 的方程式，从中解出 即可。注：方程两边对 x 求导，是指遇到 x 时，可直接求出其导数；遇到 y 或 y 的函数时，把 y 看成中间变量，按照复合函数的求导法则先对 y 求导，再对 x 求导。 yy2021/8/2631例 2-31 求由方程 所确定的函数 y 对自

13、变量 x 的导数例 2-32 求由方程 所确定的隐函数y 对自变量 x 的导数例 2-33 求曲线 上点（3,-4）处的切线方程和法线方程 0yxexye03275xxyy2522 yx2021/8/2632二 幂指函数的导数形如 的函数称为幂指函数。如 等幂指函数求导方法：1.对数求导法2.指数求导法)0)()()(xfxfyxg其中)(,sinoxxyxyxx2021/8/26331.对数求导法步骤：1）两边取对数2）方程两边同时对X求导，得到一个关于 的方程式，从中解出2.指数求导法yy2021/8/2634例2-34 求函数的 导数例2-35 设例2-36 求函数 的导数xxysiny

14、xyx求,)cos1 (1)4)(3()2)(1(xxxxy2021/8/2635三 参数式函数的导数定理2-5 设函数 由参数方程 所确定，当 都可导，且 ，则由参数方程所确定的函数（参数式函数） 的导数为)(xfy )()(txty)( t)()(tytx与0)( t)(xfy )()(,ttyxydtdxdtdydxdyxtt或2021/8/2636例2-37 求参数方程 的导数例2-38 求曲线 在 处的切线方程和法线方程例2-39 已知参数方程 ，求 。 )sin1(cosxytaxtbycossin4ttexteyttsincosdxdy2021/8/2637第五节第五节 高阶导数

15、高阶导数定义一 函数 的导数 的导数称为 函数 二阶导数，记为定义二 若函数 存在n-1阶导数，并且n-1阶导数可导，那么函数 的n-1阶导数的导数，称为 的n阶导数，记为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)(xfy )(xf )(xfy ).(,),(2222xfdxddxydyxf )(xfy )(xfy )(xfy ).(,),()()()2()()()(xfdxddxydyxfnnnnn2021/8/2638例2-40 求函数y = ax+b 的二阶导数例2-41 设 ，求 例2-42 设 ，求例2-43 求函数 的四阶导数例2-44 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数xxy232y xxey y 653423xxxy422 yxy 2021/8/2639例2-45 求参数方程所确定的函数 的二阶导数 例2-46 求 的n阶导数例2-47 设txtysincos22dxydxysin)(),1ln(nyxy求2021/8/2640第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则一.面积的增量定义2-3 设函数 在点 处可导，则 称为函数