复变函数与积分变换第1章

1、多媒体教学课件曹海涛曹海涛地址：实验楼地址：实验楼A428河海大学常州校区数理部河海大学常州校区数理部2012. 12. 12背景介绍背景介绍 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的看作不能

2、接受的“虚数虚数”。 直到十八世纪，直到十八世纪，J.DJ.DAlembert(1717-1783)Alembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何等人逐步阐明了复数的几何 意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。数论才能顺利建立和发展。 复变函数理论是高等数学复变函数理论是高等数学(

3、 (实函数实函数) )理论理论的延续和发展，它将函数定义域的范围从高等的延续和发展，它将函数定义域的范围从高等数学里的实数域推广到了复数域。数学里的实数域推广到了复数域。复变函数与复变函数与实变函数之间有许多相似之处，但是又有许多实变函数之间有许多相似之处，但是又有许多不同之点。不同之点。 复变函数与积分变换积分变换复变函数复数与复变函数解析函数(可导性)复变函数的积分级数 留数傅里叶变换拉普拉斯变换 广泛的应用：不仅在数学的许多分支有广泛的应用广泛的应用：不仅在数学的许多分支有广泛的应用，也是工科领域中解决流体力学，电磁学，信号学，也是工科领域中解决流体力学，电磁学，信号学，弹性理论等的有力

4、工具。弹性理论等的有力工具。l参考资料：1、复变函数. 西安交大高等数学教研室. 高等教育出版社 1996年5月。2、积分变换 张元林. 高等教育出版社 2003年12月。3、复变函数论 钟玉泉 高等教育出版社。1.1. 复数及其代数运算复数及其代数运算2. 2. 复数的几何表示复数的几何表示3. 3. 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根4. 4. 复平面上的点集复平面上的点集5. 5. 复变函数复变函数6. 6. 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.11.1 复数的概念复数的概念 引入符号引入符号 “ ”, , 规定规定 ， 称称为虚单位为

5、虚单位. . 定义定义1： 复数复数12i1.1. 复数及其代数运算复数及其代数运算iZ的实部Re( ) zxZ的虚部Im( ) zyi,zx iyx yR 复数相等复数相等: : 两复数的实部与虚部分别相等两复数的实部与虚部分别相等, ,即：即： 定义定义2 2: :xiyxiy复数与互为共轭复数xiy复数z=x+iy的共轭复数记为z)Im()Im()Re()Re(212121zzzzzz两种特殊情况：两种特殊情况：z=iy 纯虚数， 当x=0z=x 所有实数，当y=0 0y 两个复数不可以比较大小两个复数不可以比较大小( (实数情况除外实数情况除外) )小问题：小问题： 什么时候相等，它们

6、的虚部有什么关系？什么时候相等，它们的虚部有什么关系？zzz,加法：加法：减法：减法：乘法：乘法：除法除法：111222zxiyzxiy121212()()zzxxiyy121212()()zzxxiyy1212121221()()z zx xy yi x yxy1121221122222222222, (0 )zx xy yx yx yizzxyxy设设小问题：小问题：?,131?,3yxiyxiiizzi122112211231231231231231213212333312121+=2+=+=+=+1(4),1(,0)50,zzzzz zz zzzzzzzz z zz zzz zzz z

7、z zzzzzzzzzzzz zzz1（ ）交换律 ，（ ）结合律 （）（）， （）（）(3)分配律 （）z（ ） 若则中至少有一个为0,反之亦然1zz（ ）11222zzzz（）1 2123z zz z（）1122( 4 )zzzz52Re( )2 Im( )z zzz ziz （）226Re( )Im( )0z zzz（ ）自己验证！自己验证！ 例1： 例2： 111222132,zzzizizz 设， 求1.3 1.3 几个例子几个例子3(34 )(25 ),R e( ), Im ( ),2iizzzzz ziz设求想一想：想一想：复数是否有几何意义？复数是否有几何意义？ 几何上表示什么

8、？还有什么运算我们上面没有提几何上表示什么？还有什么运算我们上面没有提到？到？ Rxxixz,22.2. 复数的几何表示复数的几何表示 2.12.1复平面及复数几何表示复平面及复数几何表示 复数复数z z可以用平面上的点表示。可以用平面上的点表示。 所有复数所对应的点构成的平面称为复平面（见下图）所有复数所对应的点构成的平面称为复平面（见下图）zxiy( , )x y （1） （2）复数复数z z也可以用平面上的向量表示。也可以用平面上的向量表示。 zxiyOP zx iy xy|rzxy实轴实轴虚轴虚轴此平面称为复此平面称为复平面或平面或z z平面平面oP 以后点以后点z z或向量或向量 均

9、可以指某一对应的复数均可以指某一对应的复数z z。今后甚至不。今后甚至不加以区别。且容易验证两个复数的加减运算，与所对应的向量的加减运加以区别。且容易验证两个复数的加减运算，与所对应的向量的加减运算一致。（见后图）另外含有复数的方程或不等式就可以表示平面上的算一致。（见后图）另外含有复数的方程或不等式就可以表示平面上的某图形。某图形。OP2.2.2 2 复数的模，辐角及其性质复数的模，辐角及其性质 复数复数z z的模的模：即向量即向量 长度，记作长度，记作： 复数复数z z的辐角的辐角：以正实轴为始边，以表示以正实轴为始边，以表示z z 的向量的向量 为终边旋转的角的弧度称为为终边旋转的角的弧

10、度称为 z z的辐角。记作：的辐角。记作：OP 22| zrxyOP )(zArg且有：xyzArgtg)(注意注意：任何一个任何一个 的辐角的辐角是是多值的。辐角：多值的。辐角：0z)(2)(0为任意整数kkzArgz z的幅角主值：的幅角主值：a rc ta n(,)(,)2a rga rc ta n(,)3(,),)yxyxxyyzxyxxyyxyx在 1 、 4 象 限ya r c t a n在 第象 限x在 第象 限在 正 负轴2（在 负轴arg20, 1, 2.Argzzkk ,()arg(0z 所以也可写成：所以也可写成：2221112122212121212,|(2)| |(3

11、)| |,| |,| |(4)| |,|(5)| |(6)| |xyzzzzzzxyxzyzzzz zzzzzzzzzzzzz(1)|z|=2z1zxoy21zz 1z12zz （三角不等式）（三角不等式）小问题：小问题：上面的性质如何证明？复数运算对代数不等式证上面的性质如何证明？复数运算对代数不等式证 明的优越性？明的优越性？ 的几何意义？的几何意义？|21zz 复数复数z z的三角表达式的三角表达式： 指数表达式指数表达式：(cossin )zriizre根据极坐标与直角坐标的关系，复数根据极坐标与直角坐标的关系，复数Z Z还可以表示成以还可以表示成以下两种形式：下两种形式：Euler公

12、式：sincosiei1. 和和 也可以唯一的确定一个复数。也可以唯一的确定一个复数。2.复数的这几种表示方法可以相互转换，以适应复数的这几种表示方法可以相互转换，以适应不同的问题需要，这一点需要记住。不同的问题需要，这一点需要记住。r2.4 2.4 几个例子几个例子例例3. 若若, 2,122 ,sincos55iii1111122221 22(cossin),(cossin),zzrizriz zz求例例1 1. 用复数形式的方程或不等式表示平面图形用复数形式的方程或不等式表示平面图形：11222(1)|2(2)|2 | |2 |(3)| Im() |4(4)zizizizxiyzxiy1

13、用方程表示过z与的直线想一想：想一想：1.1.平面上的椭圆，抛物线，双曲线你能用复数平面上的椭圆，抛物线，双曲线你能用复数方程表示吗？方程表示吗？2.2. 例例3 3的启示？的启示？复数的球面表示扩充复平面。 关于复数 是指该复数的模趋 于无穷。NOZP定理定理1 1.两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。复数乘积的幅角等于它们幅角的和。 （证）（证）定理定理2 2.两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商两个复数商的幅角等于被除数与除数幅角的差。的幅角等于被除数与除数幅角的差。3.3. 复数的乘幂和方根复数的乘幂和方根3.1 3.1 乘积与商乘积与商关于以

14、上两个定理的解释几何意义，请看下图关于以上两个定理的解释几何意义，请看下图。 几何意义：几何意义：2z1z1 2z z22121zz？ 1.由此可以看出向量的旋转或拉伸都可以转化成复数的相应运由此可以看出向量的旋转或拉伸都可以转化成复数的相应运算。即：几何问题转化成代数运算。算。即：几何问题转化成代数运算。 2.2.上面两个定理可以推广到多个复数的情况。上面两个定理可以推广到多个复数的情况。1212121211121222(cos()sin()(cos()sin()z zr rizrizr11z 22zi例例 1 1 .已知正三角形的两个顶点为 和 求它的另一个顶点。3z3z1z2z33 (1

15、)复数的乘幂：复数的乘幂：(cossin)nninnzr ernin b.指出复数 的模，幅角及幅角主值 。 例例2 2. a.计算 。3.2 3.2 幂与根幂与根5)1(i6( 13 ) i c.推导一下 的公式。c o s 3.)2, 1, 0(2)arg()()()(,|;sincos)sin(cos, 1kkznzArgzArgzArgzzninirnnnn公式：公式：性质：性质：zwnwn定义定义：称满足方程称满足方程 的复数的复数 称为称为 的的 次方根，记作次方根，记作 或或 。nzwnz11122(cossin)0,2argnnkkwzrinnkz 其中公式：公式：ZW W有无

16、穷个值，其中只有有无穷个值，其中只有n n个根是互不相同的，可个根是互不相同的，可取取k=0,k=0,.n-1.n-1得到得到W W0 0，W W1 1WWn-1n-1。注意：注意：例例2 2：a.求 的根. b. 求41 i380z w0w1w2w3824.1.4.1.一些概念一些概念邻域邻域 ：平面上以 为中心, (任意的正数)为半径的圆: 内部的点的集合称为 的邻域邻域, ,而称 由不等式 所确定的点集为 的去心邻域去心邻域.内点内点：设 为一平面点集, 为 中任意一点. 如果存在 的一个邻域, 且该邻域内的所有点都属于 , 则称 为 内点。内点。开集开集：如果 内的每个点都是它的内点,

17、 则称 为开集开集。E0z0|zz0z00 |z z 0zE0zE0zEEE4. 4. 复平面上的点集复平面上的点集0z 边界点边界点: 如果点 的任一邻域内既有属于E 的点，也 有不属于E 的点，则称 为E的边界点。边界边界：集E 的全部边界点所组成的点集,称为集E的边界.连通集连通集: 设E是开集，如果对于E 内的任何两点，都可用 折线连接起来，且该折线上的点都属于 E ，则称开 集 E 是连通的。开区域开区域: 连通的开集称为开区域或区域。闭区域闭区域 : 开区域连同它的边界一起构成的集合称为闭区域有界集、无界集有界集、无界集 : 如果集 E可以包含在原点的一个邻域 内，则为有界集，否则

18、为无界集。0z0zl圆盘:|z-z0|=r为有界闭区域l圆环 :r1|z-z0| 0为无界(开)区域l角形域0argz1组成的点集为为无界区域l 22516|2()39zixyzi无 界 闭 区 域1|z|1且 Imz不 是 区 域2 b. 若任取若任取 且且 不同时取到端点不同时取到端点 时有时有 则称该曲线为则称该曲线为简单曲线或无重点简单曲线或无重点 曲线曲线， 的简单曲线称为的简单曲线称为简单闭曲线简单闭曲线。 4.2 连续曲线连续曲线：定义：定义：a. 设设x(t)及及y(t)是闭区间是闭区间 , 上连续的两个实函数，则由上连续的两个实函数，则由 方程方程 或由复数方程或由复数方程

19、(或简记为或简记为 )所决定的点集所决定的点集C称为复平面上的一条称为复平面上的一条 连续曲线。连续曲线。()()()x xtty yt ( )( ) ()z xtiy tt ( )zz t12, , t t 1212,ttt t12( )( )z tz t( )( )zzz(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)光滑曲线光滑曲线：设曲线设曲线C的方程为的方程为 且在且在 上，上， 连续且不全为零，则称曲线连续且不全为零，则称曲线C为光为光 滑曲线。由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲滑曲线。由几段光滑曲线衔接而成的曲线称

20、为分段光滑曲 线。线。连通域连通域： 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 D, 如果在其中任作一条简如果在其中任作一条简单闭曲线单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D, 就称就称D为为单连通域单连通域, 一个区一个区域如果不是单连通域域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.( )( )()zx tiy tt ,d xd yd td t , 例例2.单连通域多连通域DD边界边界定义定义：设：设 是一个给定的复数集，如果有是一个给定的复数集，如果有一法则一法则 ，对于每一个数，对于每一个数 ，总有确定，总有确定的复数的复数 和它对应。则称和它对应。则称 是定义在是定义在

21、上上的复变函数，记作的复变函数，记作 ，数集，数集 叫做这叫做这个函数的定义域个函数的定义域DfDzwfD)(zfwD5. 复变函数复变函数1.注意注意：由于复数：由于复数z有多种表示形式，所以函数也有：有多种表示形式，所以函数也有： w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y);或 w=f(z)=u(r, )+iv(x, );例例1： 函数函数 分别将扇形分别将扇形区域区域 映照成映照成 平面的什么区平面的什么区域？域？ izwzwzw,220 ,04rwzzw1zRz |w 函数 分别将下列曲线映照成w平面的什么图像？zw1w1)1(4132412222yxxxyyx定义：定义：设设 定义在

22、定义在z z平面的点集平面的点集D D上，函数上，函数 值的集合为值的集合为G G，如果在，如果在G G中任取一点中任取一点w,w,通过通过 法则法则 ，总有确定的，总有确定的 z z与之对应，与之对应，w w 与与z z的这种对应关系记作的这种对应关系记作 ， 称为原函数称为原函数 的反函数。的反函数。)(zfw1( )( )zwzfw或()w f z定义定义：设：设 ， , 并称其为 的复合函数复合函数 )(hfw1hG 221,hg zzDGGG其值域为，且则有 ，( ( )wf g zzD( )( )wf hhg z与6. 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性6.1.函数极限函

23、数极限定义定义： 设函数设函数w=f(z)在在 的某的某去心邻域去心邻域内有定义。如果内有定义。如果有一确定的数有一确定的数A存在存在, 对于任意给定的对于任意给定的 ，相应的有，相应的有一正一正 数数 ,使得当使得当 时有时有则称则称A为为f(z)当当z趋向于趋向于 时的时的极限极限, 记作记作当当 时时, f(z)A 或或0zz0z|( )|f zA0z00 |zz00lim( )zzf zAxyv( )f z0zzuA注意：注意：z趋趋于于z0的方式的方式是任意的是任意的 例例1.证明若 则 0limzzfzA 0lim | |zzfzA 例例2. 证明函数证明函数10zfzez在时 极

24、 限 不 存 在（反过来成立吗？）(说明复变函数极限不存在的方法：常常是取特殊说明复变函数极限不存在的方法：常常是取特殊路径得到极限值不同即可。这和高数中二元函数极路径得到极限值不同即可。这和高数中二元函数极限类似。限类似。)0lim| ( )| 0zzf zA6.26.2复变函数极限定理复变函数极限定理 定理定理1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=a+ib, z0=x0+iy0, byxvayxuAzfyxyxyxyxzz),(lim),(lim)(lim),(),(),(),(00000则证明：见书或者黑板。例例3.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例例4.0)(时的极限在求zzzzf例例5.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf)0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000zgB