函数周期性研究

1、函数周期性研究(附详细证明)内容简介一:有关周期性的讨论二:由对称性得出周期性的常用结论三:函数对称性的其它讨论四重要结论五练习结论1若函数同时关于直线, 对称则函数的周期结论2若函数同时关于点, 对称则函数的周期结论3若函数同时关于直线 对称, 又关于点对称 则函数的周期详细内容 函数周期的定义: 如果 那么为函数的周期一:有关周期性的讨论设为非零常数,若对于定义域内的任意恒有下列条件之一成立(1) (2) (3) (4) (5) 以上函数是周期函数,它们的周期都是, 下面分别给予证明.(1) 则有 所以的周期为 (2) 迭代递推得 所以的周期为 (3)迭代递推得 所以的周期为 (4)迭代推

2、理得 所以的周期为 (5)迭代推理得化简得 所以的周期为 二:由对称性得出周期性的常用结论结论1若函数同时关于直线, 对称则函数的周期设:, 证明:同理所以有 所以的周期为 结论2若函数同时关于点, 对称则函数的周期 设:, 证明: 同理由 于是有 所以的周期为 结论3若函数同时关于直线 对称, 又关于点对称 则函数的周期设:, 证明: 于是有 迭代推理 所以的周期为 三:函数对称性的其它讨论f(x)若f(a-x)=f(b+x)则f(x)关于对称f(x)若f(a-x)+f(a+x)=2b则f(x)关于点(a,b)对称f(x)若f(a+x)=f(a-x)则f(x)关于直线x=a对称f(x)若f(

3、a+x)=-f(b-x)则f(x)关于点为中心对称f(x)若f(a+x)=-f(a-x)则f(x)关于点(a,0)为中心对称四重要结论1、，则是以为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、 若函数，则是以为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足

4、f(x+a)= (xR，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。10、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11、函数的图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数；12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0)

5、,则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR，T0),则f()=0. 若的图象关于五练习直线和对称，则的一个周期为 A. B. C. D. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时， . （2007天津，7）在上定义的函数是偶函数，且，若在 区间上是减函数，则 A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数（2005天津，16）设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线 对称，则 . （2006

6、山东，6）已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 A. B. C. D. 已知偶函数满足，且当时，则的值等于 A. B. C. D. （2006广东佛山）设为R上的奇函数，且，若， ，则的取值范围是 . 函数对于任意实数满足条件，若，则等于 A. B. C. D. （山东临沂）已知定义在R上的函数满足下列三个条件： 对于任意的，都有； 对于任意的，都有； 函数的图象关于轴对称。 则下列结论正确的是 A. B. C. D. （江苏盐城）定义在上的偶函数满足，且在 上是增函数，下面是关于的判断： 是周期函数； 的图象关于直线对称； 在上是增函数； 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。（2

7、005广东，19，12分）设函数在上满足， ，且在闭区间上只有 试判断函数的奇偶性； 试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。 函数的图象为，关于直线对称的图象为，将向左平移2个单位后得到图象，则对应函数为 A. B. C. D. 函数满足是偶函数，又，为奇函数，则 . 答案： D； ； B； 0； B； D； 或 D； A； ； 非奇非偶函数； 802个根； A； 2003. 例1（05.福建12）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A6B7C4D5例2. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 例3. 已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值。例4.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 （ ）A B C D例5. （天津卷05）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _例6（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 （ ） A.0B.1C.3D.5 四、