2024年重庆八中中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年重庆八中中考数学一模试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）﹣6的倒数是（）A．6 B．﹣6 C． D．﹣2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面得到的视图是（）A． B． C． D．3．（4分）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为50450000万元，将数50450000用科学记数法表示为（）A．50.45×106 B．0.5045×108 C．5.045×107 D．5.045×1064．（4分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（）A．53° B．45° C．43° D．33°5．（4分）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（）A．4045 B．4046 C．4048 D．40506．（4分）设n为正整数且，则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（4分）如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，点D是⊙O上一点，连接BD，若∠BDP＝α，则∠C等于（）A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α8．（4分）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝111 B．（1+x）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．1+（1+x）+（1+x）2＝1119．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，作∠DAE的平分线交CD于点F，若F为CD的中点（）A． B． C． D．10．（4分）按顺序排列的8个单项式a，b，c，d，﹣a，﹣b，﹣d中，任选m（m≥2）（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为﹣1的单项式）相乘，计算得单项式M，计算得单项式N，最后计算M﹣N，可选互不相邻的b，﹣a，得M＝abc，在剩下的单项式a，c，d，﹣d中可选c，d相乘，此时M﹣N＝abc﹣cd，…．下列说法中正确的个数是（）①存在“积差操作”，使得M﹣N为五次二项式；②共有3种“积差操作”，使得M﹣N＝ad﹣bc；③共有12种“积差操作”，使得M﹣N＝0．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上11．（4分）计算：﹣14+|﹣3|＝．12．（4分）已知反比例函数与一次函数y＝kx﹣2的图象交于点A（﹣1，3），则k的值为．13．（4分）正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为．14．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，，0，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB边上的中点，BD的长为半径作弧BC．则图中阴影部分的面积为．16．（4分）如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，有AB＝AD，AC＝AE，BE交于点F，则∠DFE的度数为．17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）计算：（1）a（a﹣4）+（3a﹣2）（a+1）；（2）．20．（10分）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规；（只保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，连接DA，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系解：DA∥BC，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴．∵l是AC的垂直平分线，∴．∵DC＝AB，∴．∴∠ADB＝∠ABD．∴．∴AD∥BC．21．（10分）某校组织了一场历史知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：七年级学生的竞赛成绩为：69，75，75，88，88，91，94八年级等级C的学生成绩为：84，88，89．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：学生平均数中位数众数方差七年级84.788b87.12八年级84.7a9183.12根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校七年级有600名学生参赛，八年级有500名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有多少人？22．（10分）某书店准备购进甲和乙两种书，已知每本甲比每本乙的进价少10元，用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍．（1）求甲和乙这两种书每本的进价分别是多少元？（2）若书店购进乙的数量比甲的数量的2倍还要多5本，且甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AD＝BE＝1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→C→E方向运动，设点P的运动时间为t秒，△ABP的面积记为y1．（1）请直接写出y1关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数y1和y2的图象，并写出y1的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出y1＝y2时对应的t的取值．24．（10分）如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E﹣A﹣C；②E﹣D﹣C．经勘测，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．（参考数据：，）（1）求DE的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，其中B（﹣1，0），OA＝7OB，BC，．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点M为线段OC（不含端点O，C）上一点，连接AP，CP，求点M的坐标及△ACP面积的最大值；（3）如图2，将该抛物线沿射线AC方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点G为新抛物线的顶点，连接BG，过点B作BH∥FG交新抛物线于点H，连接FH．在新抛物线上确定一点N，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）△ABC和△DEC是以点C为公共顶点的等腰三角形，其中BA＝BC，DC＝DE，连接AE．（1）如图1，当∠ABC＝90°，点E在BC的延长线上时，连接FB．若AC＝3，CD＝；（2）如图2，点F为AE中点，连接FB，FB交AC于点G．点H是AC上一点，连接BH．延长BH，求证：AH＝HC；（3）如图3，当∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上时，使得EN＝AC．延长AE至点M，使得EM＝，连接MN．若AE＝6，当MN的长度取最小值时

2024年重庆八中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）﹣6的倒数是（）A．6 B．﹣6 C． D．﹣【解答】解：﹣6的倒数是﹣．故选：D．2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面得到的视图是（）A． B． C． D．【解答】解：俯视图有2列，从左到右小正方形的个数是2，4，故选：C．3．（4分）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为50450000万元，将数50450000用科学记数法表示为（）A．50.45×106 B．0.5045×108 C．5.045×107 D．5.045×106【解答】解：50450000＝5.045×107．故选：C．4．（4分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（）A．53° B．45° C．43° D．33°【解答】解：如图，∵直尺的对边平行，∴∠1+∠3＝180°，∵∠7＝47°，∴∠3＝133°，∵∠3＝∠3+90°，∴∠2＝43°，故选：C．5．（4分）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（）A．4045 B．4046 C．4048 D．4050【解答】解：由所给图形可知，第①个图案中用的正方形个数为：4＝1×8+2；第②个图案中用的正方形个数为：6＝7×2+2；第③个图案中用的正方形个数为：2＝3×2+7；…，所以第n个图案中用的正方形个数为（2n+2）个，当n＝2024时，5n+2＝2×2024+8＝4050（个），即第2024个图案中用的正方形个数为4050个．故选：D．6．（4分）设n为正整数且，则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：原式＝﹣1，∵49＜63＜64，∴7＜＜5，∴6＜﹣1＜4，则n＝6，故选：B．7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，点D是⊙O上一点，连接BD，若∠BDP＝α，则∠C等于（）A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α【解答】解：连接OP，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OP⊥PC，∴∠OPC＝90°，∵∠POB＝2∠PDB＝2α，∴∠C＝90°﹣6α．故选：D．8．（4分）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝111 B．（1+x）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．1+（1+x）+（1+x）2＝111【解答】解：∵一个主干长出x个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，∴共长出x2个小分支．根据题意得：1+x+x5＝111．故选：C．9．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，作∠DAE的平分线交CD于点F，若F为CD的中点（）A． B． C． D．【解答】解：过点F作FH⊥AE，连接EF，∵F为CD中点，∴DF＝CF＝，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∵AF是角平分线，∴DF＝HF＝CF，∴Rt△ADF≌Rt△AHF（HL），∴AD＝AH＝6，同理可得Rt△EFH≌Rt△EFC，∴EH＝CH，设CE＝x，则AE＝1+x，∴13+（1﹣x）2＝（6+x）2，解得x＝，∴BE＝1﹣＝．故选：C．10．（4分）按顺序排列的8个单项式a，b，c，d，﹣a，﹣b，﹣d中，任选m（m≥2）（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为﹣1的单项式）相乘，计算得单项式M，计算得单项式N，最后计算M﹣N，可选互不相邻的b，﹣a，得M＝abc，在剩下的单项式a，c，d，﹣d中可选c，d相乘，此时M﹣N＝abc﹣cd，…．下列说法中正确的个数是（）①存在“积差操作”，使得M﹣N为五次二项式；②共有3种“积差操作”，使得M﹣N＝ad﹣bc；③共有12种“积差操作”，使得M﹣N＝0．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①存在“积差操作”，使得M﹣N为五次二项式说法正确、﹣b相乘得单项式M、c、d、﹣a，则M﹣N＝﹣ab﹣abc2d是五次二项式；②共有3种“积差操作”，使得M﹣N＝ad﹣bc说法错误、N＝（﹣a）•d、N＝a•（﹣d）、N＝（﹣a）•d、N＝a•（﹣d）共有8种；③共有12种“积差操作”，使得M﹣N＝0说法正确、N＝（﹣a）•b、N＝a•（﹣b）、N＝（﹣a）•c、N＝a•（﹣c）、N＝（﹣a）•d、N＝a•（﹣d）、N＝（﹣b）•c、N＝b•（﹣c）、N＝（﹣b）•d、N＝b•（﹣d）、N＝（﹣c）•d、N＝c•（﹣d）共12种，综上所述，已知说法中正确的个数是2．故选：C．二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上11．（4分）计算：﹣14+|﹣3|＝2．【解答】解：﹣14+|﹣7|＝﹣1+3＝2，故答案为：2．12．（4分）已知反比例函数与一次函数y＝kx﹣2的图象交于点A（﹣1，3），则k的值为﹣5．【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝kx﹣2的图象交于点A（﹣2，∴3＝﹣k﹣2，∴k＝﹣2．故答案为：﹣5．13．（4分）正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为3．【解答】解：设正n边形的每一个外角为2x，则它相邻的内角为x，2x+x＝180，解得：x＝60，4x＝120，则n＝360÷120＝3．故答案为：3．14．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，，0，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是．【解答】解：列表如下：﹣202﹣8（﹣2，）（﹣2，0）（﹣7，2）（，﹣2）（，3）（，8）0（0，﹣2）（0，）（0，2）3（2，﹣2）（7，）（4，0）共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有：（﹣2，（，2），﹣8），），共6种，∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是＝．故答案为：．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB边上的中点，BD的长为半径作弧BC．则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：如图，连接CD，∵Rt△ABC，点D是AB的中点，∴DA＝DB＝DC，∵∠A＝60°＝∠DCA，∴∠BDC＝2∠A＝120°，在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝＝5AC＝2，∴扇形BDC的半径为2，∴S阴影部分＝S扇形DBC﹣S△BDC＝S扇形DBC﹣S△ABC＝﹣××2×＝﹣．故答案为：﹣．16．（4分）如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，有AB＝AD，AC＝AE，BE交于点F，则∠DFE的度数为140°．【解答】解：设AB交CD于点G，∵∠BAD＝∠CAE＝40°，∴∠BAE＝∠DAC＝40°+∠BAC，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠D，∴∠BFD＝∠BGD﹣∠ABE＝∠BGD﹣∠D＝∠BAD＝40°，∴∠DFE＝180°﹣∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是8．【解答】解：，解①得：x＞﹣4；解②得：，∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：，∵有解且最多有7个整数解，∴﹣1＜＜3，解得：﹣4≤a＜6，∴整数a为：﹣4，﹣3，﹣7，0，1，7，3，4，5，6，7，，去分母，得a＝3﹣3y+7（y﹣1），去括号，得a＝4﹣5y+7y﹣3，合并同类项，得a＝2y﹣4，解得y＝，∵分式方程有整数解，∴是整数，且，∴a为偶数，且a≠﹣7，∴整数a为：﹣4，0，5，4，6，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣4+0+2+8+6＝8，故答案为：8．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为4437；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除9369．【解答】解：①∵是“跳跃数“，∴43+10m+7＝6（4+m+3+7），解得m＝4，∴这个数为4437；②设满足条件的“跳跃数”的最大值是，∴90+c+10b+d＝8（9+b+c+d），∴b＝﹣9，∵b，c，d是0～5中的整数，∴c+d＝15，b＝3，∴满足条件的“跳跃数”的最大值是，∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数，且930+c﹣（300+10c+d）＝630﹣9c﹣d＝8（90﹣c）﹣（2c+d），∴2c+d是5的倍数，∵c+d＝15，∴c+15的7的倍数，∴c最大为6，∴d＝6，∴满足条件的“跳跃数”的最大值是9369；故答案为：9369．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）计算：（1）a（a﹣4）+（3a﹣2）（a+1）；（2）．【解答】解：（1）a（a﹣4）+（3a﹣5）（a+1）＝a2﹣3a+3a2+2a﹣2a﹣2＝5a2﹣3a﹣8；（2）＝÷＝÷＝•＝＝．20．（10分）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规；（只保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，连接DA，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系解：DA∥BC，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵l是AC的垂直平分线，∴AD＝CD．∵DC＝AB，∴AD＝AB．∴∠ADB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠ADB．∴AD∥BC．【解答】解：（1）如图，BD．（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵l是AC的垂直平分线，∴AD＝CD．∵DC＝AB，∴AD＝AB．∴∠ADB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠ADB．∴AD∥BC．故答案为：∠ABD＝∠CBD；AD＝CD；∠CBD＝∠ADB．21．（10分）某校组织了一场历史知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：七年级学生的竞赛成绩为：69，75，75，88，88，91，94八年级等级C的学生成绩为：84，88，89．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：学生平均数中位数众数方差七年级84.788b87.12八年级84.7a9183.12根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝88.5，b＝88，m＝30；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校七年级有600名学生参赛，八年级有500名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有多少人？【解答】解：（1）八年级A、B组的频数和为10×（10%+20%）＝3，所以将八年级10名学生的成绩按从大到小排序后，第5个数和第7个数在C组，89，则其中位数a＝＝88.5，根据七年级成绩可知88分的最多有8人，所以众数为b＝88，七年级C组的人数为3人，∴m%＝3÷10×100%＝30%，所以m＝30；故答案为：88.8，88；（2）八年级的成绩更好，理由如下：七、八年级的平均数相同，所以八年级的更好（答案不唯一）；（3）600×+500×，答：估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有380人．22．（10分）某书店准备购进甲和乙两种书，已知每本甲比每本乙的进价少10元，用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍．（1）求甲和乙这两种书每本的进价分别是多少元？（2）若书店购进乙的数量比甲的数量的2倍还要多5本，且甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元【解答】解：（1）设甲种书每本的进价是x元，则乙种书每本的进价是（x+10）元，由题意得：＝×2，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，∴x+10＝40，答：甲种书每本的进价是30元，乙种书每本的进价是40元；（2）设购进甲种书m本，则购进乙种书（2m+5）本，由题意得：，解得：648≤m≤650，∵m为正整数，∴m＝648，649，当m＝648时，3m+5＝2×648+4＝1301；当m＝649时，2m+5＝4×649+5＝1303；当m＝650时，2m+6＝2×650+5＝1305；∴书店有8种购买方案：①购进甲种书648本，乙种书1301本，乙种书1303本，乙种书1305本．23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AD＝BE＝1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→C→E方向运动，设点P的运动时间为t秒，△ABP的面积记为y1．（1）请直接写出y1关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数y1和y2的图象，并写出y1的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出y1＝y2时对应的t的取值．【解答】解：当点P在线段DC上时，即0≤t≤3，过点P作PF⊥AB，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴∠A＝45°，∴AF＝PF＝，AB＝4，DP＝t，则AP＝1+t，∴PF＝，∴y1＝4×＝4t+2，当点P在线段CE上，即3＜t≤7，过点P作PH⊥AB，如图，则BP＝8﹣（1+t）＝3﹣t，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴∠B＝45°，∴PH＝BH＝＝，∴y1＝×＝﹣6t+14，∴y1＝；（2）如图所示：当6≤t≤3时，y1随t的增大而增大，当8＜t≤6时，y1随t的增大而减小；（3）由图象可知，当出y3＝y2时，t＝2或2．24．（10分）如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E﹣A﹣C；②E﹣D﹣C．经勘测，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．（参考数据：，）（1）求DE的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【解答】解：（1）过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，∴∠EFA＝90°，由题意得：∠B＝∠D＝90°，∴四边形EFBD是矩形，∴EF＝BD，BF＝DE，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝＝10（千米），∵CD＝20千米，∴EF＝BD＝BC+CD＝30（千米），在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，∴AF＝EF•tan30°＝30×＝10，∴DE＝BF＝AF+AB＝10+10≈27（千米），∴DE的长度约为27千米；（2）他应该选择线路②，理由：在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，∴AE＝7AF＝20（千米），在Rt△ABC中，BC＝10千米，∴AC＝＝＝10，∴线路①的总路程＝AE+AC＝20+10，线路②的总路程＝ED+CD＝10+10+20≈47.3（千米），∵47.8千米＜48.7千米，∴他应该选择线路②．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，其中B（﹣1，0），OA＝7OB，BC，．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点M为线段OC（不含端点O，C）上一点，连接AP，CP，求点M的坐标及△ACP面积的最大值；（3）如图2，将该抛物线沿射线AC方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点G为新抛物线的顶点，连接BG，过点B作BH∥FG交新抛物线于点H，连接FH．在新抛物线上确定一点N，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【解答】解：（1）∵B（﹣1，0），∴OB＝3，∵OA＝7OB，∴A（﹣7，4），∵，∴＝，∴OC＝，∴C（0，），将A、B、C三点代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+5x+；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+，∴﹣7k+＝0，解得k＝，∴直线AC的解析式为y＝x+，过P点作PQ∥y轴交AC于点Q，设P（t，t2+7t+），则Q（t，），∴PQ＝t+t2+4t+）＝﹣t2﹣t，∴S△ACP＝×7×（﹣t8﹣t）＝﹣）2+，∴当t＝﹣时，△ACP的面积有最大值，﹣），设直线PB的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴直线PB的解析式为y＝x+，∴M（0，）；（3）设抛物线沿x轴正半轴方向平移2m个单位，则沿y轴正方形平移m个单位，∴平移后的函数解析式为y＝（x+4﹣2m）3﹣+m，∵经过点B，∴4＝（﹣4+4﹣2m）4﹣+m，解得m＝6（舍）或m＝，∴平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）3﹣2，当y＝0时，（x﹣1）7﹣2＝0，解得x＝﹣5或x＝3，∴F（3，7），∵G是顶点，∴G（1，﹣2），∴直线GF的解析式为y＝x﹣8，∵BH∥FG，∴直线HB的解析式为y＝x+1，当x+1＝（x﹣1）8﹣2时，解得x＝5或x＝﹣2，∴H（5，6），过点G作x轴的垂线与HF的延长线交于K点，与x轴交于L点，过点C作x轴的平行线CT，∵直线BH与y轴的交点（3，1），∴∠HBF＝45°，∵LF＝2，GL＝4，∴∠BFG＝45°，∴∠BFE＝∠HBF+∠BHF＝∠FBG+∠BHF，∵∠NCA＝∠FBG+∠BHF，∴∠NCA＝∠BFE，∵直线HF的解析式为y＝3x﹣9，∴K（2，﹣6），∵△LKF∽△EKG，∴＝，即＝，∴KE＝3EG，∵GK＝4，∵GE3+（3GE）2＝GK6，∴EG＝，∴EK＝，∵KF＝2，∴FE＝，∴tan∠GFE＝，当N点在C点上方时，∵TC∥AB，∴∠NCT＝∠CAB，∵tan∠CAB＝，∴∠ACT＝∠GFE，∴∠NCT＝45°，设N（n，（n﹣1）2﹣2），∴﹣n＝（n﹣1）2﹣3﹣，解得n＝（舍）或n＝﹣，∴N（﹣，+）；当N点在C点下方时，设NT与直线AC交于S点，∴S（﹣，﹣﹣），∴SC＝，∵××＝×NR，∴NR＝3，∵tan∠NCR＝7，∴CR＝，设R（x，x+），∴x4+x7＝2，解得x＝，∴R（，+），∴直线NR的解析式为y＝﹣5x﹣+，设N点关于直线AC的对称点为N'（n，﹣7n﹣+），∵CN＝CN'，∴4＝，解得n＝或n＝﹣，∴N'（，﹣+）