一阶微分方程解法

1、110.2 一阶微分方程一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 一阶方程的初值问题的数学模型为 00( , , ) 0 xxF x y yyy 根据方程本身的特点，一阶方程又可分为：( , , ) 0F x y y 一阶微分方程是最简单的方程. 求解的方法主要是采用初等解法, 即把微分方程的求解问题化为积分问题.2一一. 变量可分离的方程变量可分离的方程 形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程, 称为变量已分离的方程.形如 y= f(x)g(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离的方程. 设 g(y) 0, 则方程 可写成变量已分离的方程 ( )( )dyf x dxg y 若函

2、数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分, 得 ( )( )dyf x dxcg y就为变量可分离方程的通解. 其中c为任意常数. 3例例2 2 求方程 y= 2xy 的通解.12dyxdxy 解解 分离变量, 得两边积分，得于是原方程的通解为2lnlnyxc 2xyce 例例3 3 求方程cos sincos sinxydyyxdx 的特解.满足初始条件 解解 分离变量, 得 sinsincoscosyxdydxyx 两边积分，得lncoslncoslnyxc 于是原方程的通解为coscosycx 04xy 4又将初始条件 故满足初始条件的特解为04xy 代入通解中, 得 22c 22c

3、oscosyx 例例4 已知需求价格弹性为 = - -1/Q2, 且当 Q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q).解解 由需求价格弹性的定义, 有 21p dQQ dpQ这是变量可分离的方程,移项化简，得两边积分,得1Q dQdpp 211lnln2Qpc 5即2121Qpc e 又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为212100Qpe 二二. 可化为变量可分离的方程可化为变量可分离的方程1. 齐次方程的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称形如( )yyfx 齐次方程.引入新的变换就可将齐次方程化为变量

4、可分离的方程. ,yuyuxx 即6( )duxuf udx 所以1( )dudxf uux 分离变量, 得 若 u- - f(u)0, 两端积分, 得 1ln( )dudxcf uux ( )duf uuxce 于是, 得 将变量还原, 便可得原方程的通解.例例5 5 求方程2dyyydxxx 的通解. dyduxudxdx因为解解 令,yuyuxx 即代入原方程, 得 则得dyduxudxdx2duxudx7分离变量, 得 2dudxxu 两端积分, 得 ln2dudxcxulnuxc于是yux 将代入上式, 并化简得方程的通解为2(ln)yxxc 例例6 求方程的通解.(lnln)dyx

5、yyxdx 解解 将方程恒等变形 lndyyydxxx 为 ,yuyuxx 令即则得dyduxudxdx8 lnduxuuudx代入原方程, 得 (ln1)dudxuux 分离变量, 得 两端积分, 得 ln(ln1)lnlnuxc ln1ucx 即 1cxyxe yux 将代入上式, 并化简得方程的通解为9三三. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 形如 y+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程.若 q(x) = 0 , 则称方程 y+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程若 q(x) 0 , 则称方程 y+ p(x)y = q(x)为一阶非齐次线性微分方程.1.一阶齐

6、次线性微分方程的通解 方程 y+ p(x)y = 0 是变量可分离的方程, 其通解为 ( )p x dxyce 其中c为任意常数. 102.一阶非齐次线性微分方程的通解的解, 但其中的 c 为 x 的待定函数. 将 y与y代入方程 y+ p(x)y = q(x), 并整理, 得一阶非齐次线性微分方程 y+ p(x)y = q(x)是齐次方程的一般情况. 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如( )( )p x dxyc x e ( )( )( )( )( )p x dxp x dxycx ec x ep x因 ( )( )( )p x dxcxq x e 两端积分, 得( )( )( )p x

7、dxc xq x edxc 11于是, 一阶非齐次线性微分方程的通解为 ( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc 注注1 1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式. 它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而成的. 这也是线性微分方程解的一个性质解的一个性质. 注注2 2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为待定函数c(x), 使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x), 从而得到非齐次线性方程通解的方法称为 “常数变易常数变易法法”. 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.12例例7 7 求方程3(1)2(1)xdyxyexdx 解解 将方程改写为

8、 的通解. 22(1)1xdyyexdxx 先求齐方程的通解 201dyydxx 分离变量, 得 21dydxyx 两端积分并整理, 得齐方程的通解 2(1)yc x用常数变易法求非齐次线性方程的通解 2( )(1)yc xx令2( )(1)( )2(1)ycxxc xx两端求导, 得 13( )xc xec故原方程的通解为 y = (ex + c) (x+1)2 将 y与y代入方程, 并整理, 得( )xcxe 两端积分, 得 例例8 8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及满足初始条件 y|x=1 = / 2 的特解. 解解 将方程改写为 2cotsindxxy

9、ydy 所以由非齐次线性方程的通解公式, 得( )( )( )p y dyp y dyxeq y edyc 2cotcot sinydyydyeyedyc 14 2lnsinlnsin sinyyey edyc 21sin sinsinyydycy sin cosyyc将初始条件 x = 1, y = /2 代入上式, 得 c = 1故满足初始条件的特解为 x = siny(1- -cosy)153.贝努里方程 (n0,1)的方程称为贝努里方程. ( )( )ndyp x yq x ydx 这种方程，虽然不是线性的，但是采用变量变换的方法，就可将其化为一阶线性方程. 事实上, 在方程的两端同除

10、以 , 得 ny 形如 1( )( )nndyyp x yq xdx利用微分的性质 , 方程也可写成 111( )( )1nndyp x yq xndx 1nzy 令 , 将方程化为线性方程16(1) ( )( )dzn p x zq xdx 求出此方程的通解，并将变量代回 ，便可得到贝努里方程的通解. 1 nzy例例9 9 求方程 y= xy + x3y2 的通解. 解解 将方程改写为 32dyxyx ydx 12,dzzyyzdx 令即 3,dzxzxdx 代入方程得所以由非齐次线性方程的通解公式, 得173xdxxdxzex edx 22322xxex edxc 2222xcex22222(2)xxeexc 1,zy 将代入上式得原方程的通解为22212xycex 18* *例例1010 设可微函数 f(x) 满足 322( )( )1( )xf xdxf xx fxx 解解 为了求 f(x) 在等式两端同时求导, 得 32( )( )( )f xfxx fxx 求 f(x).这是关于未知函数 f(x)的一阶方程，且 f(2)=1 令 y = f(x) ，得 3dxxyxdyy 23,nzx 这是的贝努里方程令代入上式得22dzzydyy 所以