二次函数图象的几何变换

1、二次函数图象的几何变换二次函数图象的几何变换知识点拨知识点拨（1）具体步骤：一、二次函数图象的平移变换先利用配方法把二次函数化成y a(xh) k的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数y ax的图像，将抛物线y ax平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：222（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称y ax2bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h k关于x轴对称后，得到的解析式是y ax hk；222. 关

2、于y轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h k关于y轴对称后，得到的解析式是y ax h k；223. 关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h k关于原点对称后，得到的解析式是y ax hk；4. 关于顶点对称b2y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bxc；2a22y ax h k关于顶点对称后，得到的解析式是y ax h k2222n对称5. 关于点m，y ax h k关于点m， n对称后，得到的解析式是y ax h 2m 2n k22根据对称的性质，显然无论作何种对称变换

3、，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式1一、二次函数图象的平移变换【例1】 函数y 3(x 2)21的图象可由函数y 3x2的图象平移得到，那么平移的步骤是： （）a.右移两个单位，下移一个单位b.右移两个单位，上移一个单位c.左移两个单位，下移一个单位d.左移两个单位，上移一个单位【例2】 函数y 2(x 1)21的图象可由函数y 2(x 2)23的图象平移得到，那么平移

4、的步骤是（）a.右移三个单位，下移四个单位b.右移三个单位，上移四个单位c.左移三个单位，下移四个单位d.左移四个单位，上移四个单位22【例3】 二次函数y 2x 4x 1的图象如何移动就得到y 2x的图象（）例题精讲例题精讲a.向左移动1个单位，向上移动3个单位.b.向右移动1个单位，向上移动3个单位.c.向左移动1个单位，向下移动3个单位.d.向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】 将函数y x2 x的图象向右平移aa 0个单位，得到函数y x23x2的图象，则a的值为（）a1b2c3d4【例5】 把抛物线y ax2bxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析

5、式是y x23x5，则a bc _2n11【例6】 对于每个非零自然数n，抛物线y x2与x轴交于an、bn两点，以anbn表示xnn1nn1这两点间的距离，则a1b1 a2b2 a2009b2009的值是（）2009200820102009abcd2008200920092010【例7】 把抛物线y x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为ay x 13cy x 1322by x 13dy x 1322【例8】 将抛物线y 2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）ay 2x 122by 2x 12cy 2x21dy 2x21【例9】 将抛物线y 3x向上平移2个

6、单位，得到抛物线的解析式是（）d.y 3x2 2【例10】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线y 2x24x，则平移前抛物线的解析式为_a.y 3x22b.y 3x2c.y 3(x 2)2【例11】已知二次函数y 3x 6x 5，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x轴对称； （2）图象关于y轴对称； （3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称22【例12】如图，abcd中，ab4，点d的坐标是(0，8)，以点c为顶点的抛物线y ax2bxc经过x轴上的点a，b 求点a，b，c的坐标 若抛物线向上平移后恰好经过点d，求平移后抛物线的解析式dcoab4【例13】

7、抛物线y ax25x 4a与x轴相交于点a、b，且过点c5， 求a的值和该抛物线顶点p的坐标 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式二、二次函数图象的对称变换22【例14】函数y x与y x的图象关于_对称，也可以认为y x2是函数y x2的图象绕_旋转得到【例15】已知二次函数y x22x1，求：关于x轴对称的二次函数解析式；关于y轴对称的二次函数解析式；关于原点对称的二次函数解析式【例16】在平面直角坐标系中， 先将抛物线y x2 x2关于x轴作轴对称变换， 再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为ay x

8、2 x2by x2 x2【例17】已知二次函数y ax2 4ax 4a 1的图象是c10成中心对称的图象c2的函数解析式； 求c1关于r1， 设曲线c1、c2与y轴的交点分别为a， b，当ab 18时，求a的值【例18】已知抛物线y x26x5，求 关于y轴对称的抛物线的表达式；3cy x2 x2dy x2 x2 关于x轴对称的抛物线的表达式； 关于原点对称的抛物线的表达式【例19】设曲线c为函数y ax2bx ca 0的图象，c关于y轴对称的曲线为c1，c1关于x轴对称的曲线为c2，则曲线c2的函数解析式为_【例20】对于任意两个二次函数：y1 a1x2b1x c1，y2 a2x2b2x c

9、2a1a2 0，当a1 a2时，0，b1， 0，记过三点的二我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线， 现有abm，a1，次函数抛物线为“cymaonb”（“”中填写相应三个点的字母） ymymxaobxaobx图1图2图31，abm abn（图 1） 若已知m0，请通过计算判断cabm与cabn是否为全等抛物线； 在图 2 中，以a、b、m三点为顶点，画出平行四边形n，求抛物线cabm的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且 若已知m0，能与cabm全等的抛物线解析式n，当m、n满足什么条件时，存在抛物线cabm？根据以上的探究结果，判 若已知mm，断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与cabm全等的抛物线 若存在， 请写出所有满足条件的抛物线“c”；若不存在，请说明理由【例21】已知：抛物线f : y (x 2)25试写出把抛物线f向左平行移动2个单位后，所得的新抛