二次函数知识点及其应用的总结

1、二次函数知识点总结二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念一、二次函数的概念形如y ax2bx c（a，b，c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数，其中x，是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而，而b， c可以为零可以为零x x 可以取全体可以取全体实数实数二、二次函数的一般表达式二、二次函数的一般表达式1 1、一般式：一般式：y ax2bx c（a，b，c为常数为常数，a 0） ；2 2、b4acb2顶点式：顶点式：y a(x h) k（a，h，k为常数为

2、常数，a 0） 其中其中h，；k 2a4a23 3、两根式：两根式：y a(x x1)(x x2)(其中a 0,x1,x2是y=ax2bx c与x轴交点的横坐标 )注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，写成交点式，只有抛物线与只有抛物线与x轴有交点，轴有交点，即即b24ac 0时，时，抛物线的解析式才可以用抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. .三、二次函数三、二次函数y ax2bxc的图像

3、性质的图像性质( (轴对称图形轴对称图形) )1. 当a 0时，抛物线开口向上，b4acb2b对称轴为x ，顶点坐标为，2a4a2a当x bb时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；2a2a4acb2b当 x 时，y有最小值4a2a2. 当a 0时，抛物线开口向下，b4acb2b对称轴为x ，顶点坐标为，2a4a2a当x bb时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；2a2a4acb2b当 x 时，y有最大值4a2a四、二次函数的图像与各项系数之间的关系四、二次函数的图像与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数y ax2bxc中，a作为二次项系数，显然a 0

4、当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a 0的前提下，当b 0时，当b 0时，当b 0时，b 0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab 0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab 0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2ab 0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab 0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab 0，即抛物线对称轴在y轴的左侧2a 在a

5、 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，当b 0时，当b 0时，总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 3. 常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a， b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的五、二次函数与一元二次方程：五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程a

6、x2bx c 0是二次函数y ax2bxc当函数值y 0时的特殊情况.图像与x轴的交点个数：0，bx2， 0(x1 x2)，其中的 当 b24ac 0时，图像与x轴交于两点ax1，x1，x2是一元二次方程ax2bx c 0a 0的两根x1，x2和的一半恰好是对称轴的横坐标. 当 0时，图像与x轴只有一个交点； 当 0时，图像与x轴没有交点.1当a 0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0；2当a 0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 02. 抛物线y ax2bxc的图像与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图像与x轴的交

7、点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值； 根据图象的位置判断二次函数y ax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。六、二次函数的几个特殊的基本形式六、二次函数的几个特殊的基本形式1.1. 二次函数基本形式：二次函数基本形式：y ax2的性质：的性质：结论：结论：a a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符

8、号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴向上向上性质性质x 0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；x 0时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x 0时，时，y有最小值有最小值0 x 0时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x 0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；x 0时，时，y有最大值有最大值0a 00， 0y轴轴a 0向下向下0， 0y轴轴总结：总结：3.3.y ax2c的性质：的性质：y=2 x2+2y=2 x2y=2 x2-4结论：上加下减。结论：上加下减。总结：总结：a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴向上向上性质性质x

9、0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；x 0时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x 0时，时，y有最小值有最小值ca 00， cy轴轴a 0向下向下0， cy轴轴x 0时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x 0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；x 0时，时，y有最大值有最大值c4.4.y ax h的性质：的性质：2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2结论：左加右减。结论：左加右减。总结：总结：a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴向上向上性质性质x h时，时，y随随x的增大而增大

10、；的增大而增大；x h时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x h时，时，y有最小值有最小值0 x h时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x h时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；x h时，时，y有最大值有最大值0a 0h， 0h， 0x=hx=ha 0向下向下x=hx=h4.4.y ax h k的性质：的性质：y= 2 x2y=2(x-4)22y=2(x-4)2-3总结：总结：a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴向上向上性质性质x h时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；x h时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x h时，时，y有最小值有最小值kx h时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；x h时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；x h时，时，y有最大值有最大值ka 0h， kx=hx=ha 0向下向下h，