(2)刚体的运动

1、CAICAI使用说明使用说明1、斜体文字 表示有备注供查看2、加下划线的变色文字 表示有超链接3、 表示返回至链接来处4、 表示到上一张幻灯片5、 表示到下一张幻灯片6、 表示到首页中学物理奥赛解题研究第二专题 刚体运动学初步解题知识与方法研究一、刚体作平面运动时，刚体上任意两点的速度、加速度在两点连线方向垂直投影二、两始终相互接触的刚体作平面运动时，两刚体上的两接触点的速度、加速度在接触点处的法线方向的垂直投影三、速度瞬心位置的运动 如图，设某时刻刚体绕A的角速度为 ，A一、刚体作平面运动时，某刚体平面上任意两点的速度、加速度在连线方向上垂直投影的关系两端点乘以 ，ABr得()BABAABA

2、BAABvrrrvrcos0cosB ABBA ABAv rv r即证明：xoyABABrAvBvABAv()AABr如图,coscosBBAAvv()BAABAvrv则coscosBBAAvv解题知识与方法研究1、速度投影的关系A两点的加速度在两点连线方向的垂直投影并不总是相等！A 、 B 两点的加速度在A 、 B连线方向的投影相等吗？ABBv2、加速度投影的关系xoyABABrAaBaAB 如下图： 刚体上A、B两点的加速度在AB方向的垂直投影不相等.A、B两点在连线方向上的速度分量的大小的变化率总是相等.BAaaAB，在连线上的垂直投影是否相等？研究问题什么情况下A、B两点的加速度在两点

3、连线方向的垂直投影相等？ 如图两条位于同一竖直平面的水平轨道，相距h，两个物体通过绕过小定滑轮O的不可伸长的轻绳相连，A在下轨道以匀速率v运动，在绳子与轨道成30角的瞬时，绳BO段的中点处有一挂在绳上的小水滴P（与绳相对静止）脱离绳子. 设绳长远大于滑轮的直径. 求： （1）水滴P脱离绳子时速度的大小和方向； （2）水滴落至下轨道时所需的时间.300BPvPOAh解第（1）问解决了，就知道了水滴做抛体运动的初速度，第（2）问就容易解决了！ 水滴脱离绳子的速度就是此时绳上P点速度.vP 由于拉紧的绳上各点的速度沿绳长方向的分量都相等，所以/PvvPBOPvvOB又有（1）vPvPvBvBvB/B

4、vv你能不能大致估计P点的速度方向?！例1300ABPvvBPOAhvPvPvPvBvB/12PBBOPvvvOB00/3tan30tan303BBvvvv36Pvv所以22/PPPvvvPv 与绳的夹角为/arctanPPvv（2）水滴作斜下抛运动.001/sin30cos304PPPvvvv2211112242Pvhvtgttgt 由解得：2(16)4gtvvgh 取正解21(16).4tvvghg 于是而223133612vvv进而得到P点速度大小为3arctan61Pv2Pv 题后总结关键在于应用了平面运动的刚体上两点速度在连线方向投影相等的性质！其速度的竖直向下的分量为/PvvPBO

5、PvvOBBvv原解如图， A点的速度.AvL因为=,2 长为L的杆AO用铰链固定在O点，以角速度 围绕O点匀速转动，在O点的正上方有一个定滑轮B，一轻绳绕过B滑轮一端固定在杆的A端，另一端悬挂一个的重物M（图1）, O 、B之间的距离为h.求当AB绳与竖直方向成 角时： （1）重物M的运动速度； （2）重物M的加速度.BAOLhM所以cossin.sinsin.hLMv cosMAvv于是（1）sinsinLhOAB有对三角形sinhLLsin .h例2MvL表面错误在于认为绳总不伸长，所以绳上各点沿绳方向的速度、加速度垂直投影均相等！ 将此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向两个分量.

6、BAOLhMLMvcos()naa沿BA方向的分量是这就是M上升的加速度.根本错误在于认为 仅仅反映的是A点离开滑轮（即绳伸长）的速率的变化快慢！a（2）2naL 因为杆作匀角速度转动，所以A点相对于O点只有向心加速度2( cos)L2222=sinLh？ 思 考你认为这个结果对不对？为什么？sinsin.hLnaaa新解BAOhMrvvnaraa=vLcos()rnaa22( sin )vv22=cosv( cos)na22sin=1nhaL考虑以B为原点，BO为极轴的极坐标系.A点的总加速度即为 .na其径向分量为而222()rvdBAadtBA所以2MrvaaBA对ABO，由余弦定理得2

7、222cosLBAhBAh222sin=1nvhaLBA式中：2222sin=(1)hvL由此解出222cossinBAhLh2=MvaBAsinsin.hLcossin.L2naLBAOhMvvnaraa=vL代入化简整理后即得222coscos1 .cossinMhahhLh 题后思考对（1）得到的vM求导数确定aM，验证上述新解的结果.L1v2v1图AB1v2v3图AB1v2v2图BA二、两始终相互接触的刚体作平面运动时，两刚体上的两接触点的速度、加速度在接触点处的法线方向的垂直投影1、速度的投影简单证明：如果两刚体上述分速度不相等两刚体的接触点经过小量时间后沿法向将有不同的位移在法向上

8、两刚体压缩（与刚体概念不符）在法向上两刚体分离(与始终接触假定不符)上述两接触点的速度在法向的投影相等.2、加速度的投影 如图1： 两刚体上的A、B两接触点的加速度在法向的垂直投影不相等.上述两接触点的加速度在法向的投影并非总是相等！21AB图11 如图2： 两刚体上的A、B两接触点的加速度在法向的垂直投影相等.上述两接触点在法向的速度分量的大小的变化率总是相等.vv2图ABaa 研究问题什么情况下A、B两接触点的加速度在法向的垂直投影相等？ 如图所示，AB杆的A端以匀速v沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一固定的半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为 时，求：（1）杆的角速度及杆

9、上的与半圆周接触的点C的速度；（2）杆与圆周的切点C的速度大小. vABC ，R解C 杆上的C点的速度在圆半径R方向的投影为零，C点速度沿杆长方向.1v2v如图，正交分解A点速度：12vvv则C点速度大小为1cos .Cvvv以C为基点，则A点绕C点以速度v2转动.角速度为2=vACC是不是前面说的“两平面光滑曲线的交点”？能不能直接判断在地面参照系中C点速度的方向？sincotvRsintan.vR（1）（2） 例3R0v尝试让杆转动一角度 由如图的几何关系可知，当杆转动时，圆周上C点转过的角度等于等于杆转过的角度.所以C转动的角速度为CvRR进而sintan .vsintanvRRCvAB

10、sintan.vR（2）vABC ，RC1v2vO2 ，注意到图中于是0.dddtdt或者：|ddt|ddt .求C、C的加速度，并比较其在半径R 方向的投影的大小.题后思考1、平面运动刚体的瞬心可能在刚体内也可能在刚体外（或者说在刚体扩展部位上）纯滚动的轮子：MooMoMovvv 0ovMovABAvBvM滑动的杆：.ABABvvM过 、 分别作 、 的垂线，其交点便为瞬心三、速度瞬心（简称瞬心、又称瞬时转动中心）的运动性质瞬心在刚体上.瞬心在刚体外.定义：平面运动刚体上的瞬时速度为零的点.2、速度瞬心位置（瞬心在定系中瞬时所占据的“座位”）一般会变动刚体作定轴转动的平面运动时，瞬心即固定轴

11、, 瞬心位置不动.上图滚动的轮子，瞬心不断变更位置，轨迹为平行斜面的直线.3、瞬心速度为零但加速度不一定为零上图滑动杆的各时刻瞬心的位置变更的迹线为四分之一圆周(自己证明) .瞬心位置变动的速度不是瞬心的速度.ABAvBvM滑动的杆纯滚动的轮子M瞬心的加速度不是瞬心位置变动的加速度.oo上图中纯滚动的轮子瞬心加速度MMooaaa上图中滑杆的瞬心加速度xyMMMaaa0v()()()nMoMooaaa. 0)()MAxAxMByByaaaa(MAxMByaa 0oa()Moa()nMoaxyyMaxMaMAxa=MBya=oaMo证明 （1）ov,MoR瞬心相对圆心 的速度为 对上式求导，便有

12、,odvdRdtdt（2）即得.oaRR所以MMMaaa22切心瞬心M相对圆心转动的向心加速度为2oMavR心，Ma心Ma切式中，MRa切，=()0.oRv 参照系的速度为相对静止222() .oovaR0=.Maa切所以（此即为圆周上任一点绕圆心转动的切线加速度） 对任何在静止参考系K中于平面上作变速纯滚动的圆柱体（设其半径为R, 某时刻其圆心速度为vo、加速度为ao）. 证明：（1）圆周上的点绕圆心转动的切向加速度为ao ；（2）瞬心相对圆心转动的总加速度等于 （3）瞬心在静止参照系K中的加速度大小为 ,方向指向圆心.2ovR222() ooavR；例5oaMoovRMa心Ma切Ma（3）

13、 瞬心在静止参照系K中的加速度MMoaaa +,oMaa 切由于所以2.oMMvRaa 心大小为方向指向圆心.()oMMaaa切心+ 半径为r的圆环A沿着半径为R的固定圆环B的外侧作纯滚动，A的环心o绕着B的环心作圆周运动的角速度记为 , 角加速度记为 . 试求： （1）A环绕着环心o转动的角速度 ; （2）A环瞬心M对地的加速度aM .解（1）由此便得.Rrr（2） A环环心o对地及瞬心M相对o的加速度情况如图(b) .oa心oa切Ma切Ma心RrBAoM图(b) RBAoM图(a) ovr环心o的角速度、速度情况如图(a) .o对环B的中心，().ovRr有o对瞬心M，.ovr又有MoMaaa 于是MMaa 心切()()ooMMaaaa切心切心()()oMoMaaaa心心切切 例62()RRrr，oa切：方向：大小：()Rr，Ma切：方向：大小：oa心：方向：大小：2().RrMa心：方向：大小：2r，()()()()MoMooMMoMoMMMaaaaaaaaaaaaa 切心切心心心切切心切 最终得到Ma：2()RRrr大小：， 方向：向上.oa心oa切Ma切Ma心RrBAoM图(b) 向下.向上.向右.向左.drdt()dRrrdtr(),RrdRrrrdt 方向：大小：Ma心：Ma切：即得22()rRr22()()RrrRrr