2012上数学实验班高等代数A答案

1、2012年春季学期20111251D.若存在正交矩阵T,使得TAT B,则B A题号一-二二三四五六七总分得分咼等代数期末考试试卷（A卷）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：阅卷人得分1.若向量组1、填空题（共5小题，每小题3分，共15 分）1, 2, 3线性相关，则向量组 1 2 2, 2 2 3,22 1线性相关7阅卷人得分、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、 六元齐次线性方程组x1 2x2 3x3 4x4 5x5 0的解空间的维数是( A ).A.5B.1C.3D.42、=(X1,X2,X3) R3,下列变换是线性

2、变换的是(D )A.()=(X12,0,0)B.()=(X1,X2)C.()=(0,X3,x2)D.()=(O,X2,X1)X13、设i Pn(i 1,2, ,s,s 1),则下列命题为真的是(D ).dim (W1 +W2)=dimWdim W2 dim(W W2).3、若L（V）且有唯一的特征值,则2的特征值是2,若 2=E,2W1与W2都是线性空间 V的子空间，则则的特征值是1或者-1.4、 两个n n型数字矩阵A与B相似的充要条件是E A与E B 等价5、 R2中定义 （1, 2）,（b1,b2）的内积为1 2(、55A.如果整个向量组1, 2, i1, i, i1, S的线性相关，则

3、该向量组的任意部分向量组一定也线性相关B.如果有一个向量j （1 i S）不是其余向量的线性组合，那么该向量组线性无关C.如果向量组1, 2, S线性相关，那么其中有零向量D.如果1, 2成比例，贝U 1, 2线性相关4.在 Rx4,定义(f (X), g(x)f(x)g(x)dx ,则 f(x)1,g（x） X的夹角为（D).阅卷人得分A.B.C.D.24365、A是n阶实对称矩阵，下列命题不成立的是（D ）.A. A的特征值都是实数B. 存在正交矩阵T,使得TAT为对角形C. n元实二次型XAX正定的充要条件是A的特征根都大于零 三、判断题，正确的打 错误的打×（共5小题，每小题

4、2 分，共10分）1、 相似矩阵有相同的最小多项式，最小多项式相同的矩阵相似（×）2、 如果存在Xi P,（i 1,2, S）使得X1 1 X2 2 XS S 0,那么向量组线性相关.（×）3、秩相等的两个矩阵相似.（×）4、 实对称矩阵在实数域R上一定有n个特征根（重根按重数计算）.（）5、对称变换的乘积也是对称变换.（×）阅卷人得分计算（共3小题，共26 分）1, 2, 3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ If(22 3)1 , f( 12)3,求 f(X1 1 X2 2 X3 3)解由假设得1 f( 13) f( 1) f( 3)1 f

5、(22 3) f( 2) 2f (3),3 f(12) f( 1) f( 2)1、（6分）V是数域P上一个3维线性空间,由此可以解得f（ 1）4， f（ 2）7 ， f( 3)3，f (XIIx2 2x3 3)Xl f( 1) X2 f( 2) X3f( 3) 4X7x2 3x3 .2、（ 10分）用正交线性替换化下列二次型为标准形:2X12 x22 3x32 4x1x24 x2 x3 ；解设原二次型（均记为f ）对应矩阵为A ,则120A222 .E A(023相应特征向量为1 (2,1,2),2它们已两两正交，单位化:11(2,3T 1Q221令X TY ,其中122 ,3212特征值为1

6、2，21，35 ；2)(1)(5)，(2,2,1)， 3 (1, 2,2).111, 2)， 1 -(2,2,1), 1 (1,2,2).33' 2 2 2贝 U f XAX 2y1y25y31 0 00 0 0解A0 1 00 0 0E + S,设B0 0 13 11AB =BA,(E + S)B=B(E +S), 得 SB = BS.00 0abC0SB000a1b1Cl0311 a2b2C23a a1a2 3bab C 00 03c CCBSa1b1C100 03 G cc1 ,a2b2C231 13 C2C2C2C-C 0由对应兀1素相等，得3aa1 a23c23bb1 b2C

7、23cC1C2C2整理得3c2 3a aa2C2 3bbb2方程组（1）的系数矩阵秩为2,解空间可维数为令b1 ,其余为0,得 C23 :I a 3;令a11 ,其余为0,得C20,a13 ；令b11,其余为0,得C21,a 1 ;令a?1,其余为0,得C20,a13;令b21,其余为0,得C21,a 1 ;a5.00 bia1 a23)1，与A可交换的矩阵为aB a1a2bb1b00 ,其中,C23、（10 分）设 A100010,求P33中全体与A可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基312一组基由上面得到:bb1b2b2C1C23c与A可交换，即00 ；CC2(1)C2可经 b, a1,

8、 bi, a2, b2表示，其31013000，100301301阅卷人得分五、（8分）证明证1）由于0 V ,所以V1非空。再证V1对两种运算封闭。X1,X2V1,即（X1,）（X2,） 0 ,那么（X1X2,）（X1,）（X2,） 0,从而X1X2V1.另外（kx1,）（kx2,）0,所以kX1V1.从而V是V的一个子空间。2）由于0是线性无关的，将它扩充成V的一组正交基为，2丄，n ,这时，因为（）0 （ i 2,3,L In ）,所以 i V1 （ i 2,3,L I n ）.只要证明i2相似,其中i1i2L in是 1,2,L,n的一个排列n)(1,n)任意V1 ,都可由2,L In

9、线性表出，那么V1的维数就是n 1.实际上，k1k22 Lkn n ,(1)那么（，)K(,)k2(2,) Lkn(n,),但是（，)0 (i，),(i 2,3,L ,n ),(1,2,L In ),故所以&（,)0 ,由于0,所以k10 ,代入式（1）,即有k1k22 Lkn n ,由的任意性，得证。i2,L ,in)(il i2 丄i2所以相似。in阅卷人得分阅卷人得分六、（16分）n维欧式空间,0是V中一固定向量120020221解令其原矩阵为A ,那么111120r3g(1 2),2E A020r1r30 202211 20七、（10分）求下列复系数矩阵的若尔当标准形:1）证明：V1x（x, ） 0,x V是V的一子空间2）证明：V1的维数等于n 1in X.1 XSi n QX0,0,0, 02Br3 r2