数学分析第二学期期末考试题及答案

1、1 / 31 / 3 数学分析第二学期考试题一、 单项选择题 （从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4 分，共 32 分）1、 函数)(xf在a,b 上可积的必要条件是（ b ）a、连续 b、有界 c 、无间断点 d、有原函数2、函数)(xf是奇函数，且在-a,a 上可积，则（ b ）a、aaadxxfdxxf0)(2)( b、0)(aadxxfc、aaadxxfdxxf0)(2)( d、)(2)(afdxxfaa3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ a ）a、 b、 c、0sin xdx d 、4、级数收敛是部分和有界且0limnna的（ c ）a 、充分条件 b 、必

2、要条件 c 、充分必要条件 d 、无关条件5、下列各积分中可以直接运用牛顿- 莱布尼兹公式求值的是（ a ） a、10arcsinxdx b、 c、 d、6、下面结论错误的是（ b ）a、若)(xf在,ba上可积，则)(xf在,ba上必有界；b、若)(xf在),(ba内连续，则)(dxxfba存在；c、 若)(xf在,ba上可积，则)(xf在,ba上必可积；d、 若)(xf在,ba上单调有界，则)(xf在,ba上必可积。7、下列命题正确的是（ d ）a、在 a，b 绝对收敛必一致收敛b、在 a，b 一致收敛必绝对收敛c、 若0|)(|limxann，则在 a，b 必绝对收敛d、在 a，b 条件

3、收敛必收敛8、的和函数为（ c ）a、xe b、xsin c、)1ln(x d、xcos2 / 32 / 3 二、 计算题 ： （每小题 7 分，共 28 分）9、914)(dxxf，求202)12(dxxxf。10、计算。11、计算的和函数，并求。12、计算三、讨论题和应用： （每小题10 分，共 20 分）13、讨论的敛散性14、抛物线xy22把圆822yx分成两部分，求这两部分面积之比。四、 证明题 ： （每小题 10 分，共 20 分）15、设 f(x)是以 t 为周期的函数，且在0 ，t 上可积，证明ttaadxxfdxxf0)()(16、设)(xf在a，b 连续，证明00)(sin

4、2)(sindxxfdxxxf，并求参考答案一、 1、 b 2、 b3、a4、c5 、c6、d7、d8、c9、c10、c 二 、 1 、2022202) 12()12(21)12(xdxfdxxxf（ 3 分 ） 令122xu，912022)(21)12(duufdxxxf（3 分）2、=4)1arctan(lim)1 ()1(11lim002aaaaxxdx（6 分）3、 解：令)(xf=， 由于级数的收敛域)1 , 1（ 2 分） ，)(xf=，)(xf= （2 分） ， 令1x，得4、解：两边对x求导02232xxxzzzz（3 分） （2 分） （1 分）5、解： （5 分） （1 分

5、）由于x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2） （ 3 分）3 / 33 / 3 三、 1、解、000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxyyxfx（2 分）000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxxyxfy(4 分）1)0 ,0(),0(lim)0, 0(02yfyfxyzxxy1)0 ,0()0 ,(lim)0, 0(02xfxfyxzyyx（ 6 分）2、解：由于xnxnnnnn221sin2|sin2)1( |lim（3 分） ，即1sin22x级数绝对收敛1sin22x条件收敛，1sin22x级数发散（ 7 分）所以原级数发散（2分）四、 证明题 （每小题10 分，共 20 分）1、证明：因为)(1xf在 a，b 上可积，故在a， b 上有界，即0m，使得),()(1baxmxf， （ 3 分）从而)(|)(|)(12axmdttfxfxa一般来说，若对n有（ 5 分）则)()!1()()(1nnabmxfnn，所以)(xfn在a，b 上一致收敛于 0（2 分）aatatdttfttdttfttxdxxf00)()()()(（2） （4 分）将式（ 2）代入（ 1）得证（ 2 分）2、 ， ， （7 分）则012yxyeyxeyzyxzxyxyx（3 分）3、 证明