课程论文：弹塑性力学广义变分原理

1、弹塑性力学中的广义变分原理课程论文题目：广义变分原理在结构力学中的应用姓名：储迅易专业：工程力学学号：131310040008老师：邵国建河海大学力学与材料学院2014年4月1日2弹塑性力学中的广义变分原理课程论文摘要：把一个力学问题用变分法化为求泛函极值的问题，就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。本文在总结部分课程内容的基础上，运用广义变分原理探讨了结构力学中柱体扭转问题。关键字：变分法 弹性力学变分原理 柱体的扭转问题 1

2、 概述变分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner变分原理。我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我

3、国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。2 变分法变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终

4、寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。在函数论中，自变量对应着另一变量，则变量称为自变量的函数。假如自变函数对应着另一个函数，则称为泛函。泛函是函数的函数，是函数的广义函数。自变函数的变分所引起的泛函的增量，即：类似地，其可展开为线性项和非线性项 其中L是对的线性泛函项，而是非线性泛函项，是的同阶或高阶微量，当时，同时也趋近于零，这时泛函的增量等于的线性部分，叫做泛函的变分，用来表示。 所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分来说是线性的。求泛函在边界条件下的极值。=0的条件是： 这个方程称为欧拉方程，就是说，泛函极值的积分方程转换成欧拉方程微分方程。3 弹性力学中的

5、变分原理3.1广义势能泛函和广义余能泛函关于位移和应变（两类变量）的广义势能泛函：在该泛函中位移和应变是独立的自变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件，从而使得与变分原理相对应的数值计算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。关于位移和应力(包括边界上的约束力)的两类变量广义势能泛函：用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner）：两类变量广义变分原理）弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函取驻值。二类变量广义余能泛函：对于线弹性体有二类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应该使得上述二类变量的广义余能取驻值。三类变量的广义势能泛函：也称该H

6、-Z泛函，是由胡海昌1954年和鹫津一郎1955年分别提出来。 在三类变量的广义势能中有三类自变函数,它们都是独立的。三类变量的广义势能原理（胡-鹫津变分原理）：弹性力学的精确解应使上述的广义势能取驻值。三类变量的广义余能原理：在三类变量的广义余能中有三类自变函数,它们都是独立的。三类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应使上述的广义余能取驻值。由三类变量的广义余能原理也可以得到弹性力学的所有方程和边界条件。3.2各种变分原理综述变分原理连续条件应力-应变关系平衡条件应变能形式应变余能形式最小势能原理先补反最小余能原理反补先两类变量广义变分原理(余能)反补反三类变量广义变分原理(势能)反反反注

7、: 先指先决条件，补指补充条件，反指反应的规律。4 待定边界泛函的变分问题4.1 泛函为的边界待定的变分原理设泛函泛函的积分限及都可以是待定的，也可以一个为已给，而另一个为待定的。在一般情形下，端点不是独立的，它可以沿某一已给曲线如 （4-1）而移动。于是，有极值条件从上式很容易看到，满足欧拉方程还不能使达到零，除非在端点上还满足补充条件 （4-2）所以，欧拉方程 （4-3）只有在始点定点条件， （4-4）终点待定条件（4-1）式和补充条件（4-2）式在一起时，泛函的极值问题，才有充分和必要的条件求解。在这三个条件中，有两个条件可用来决定待定积分常数和，第三个条件用来决定待定的端点坐标。补充条

8、件（4-2）式是一个函数的斜率和已知端点曲线的斜率之间的关系，我们称（4-2）式为交换条件（或贯截条件）。一般说来，满足定点条件（4-4）式的欧拉方程（4-3）式的解中，尚有一个积分常数未定，或可以写成。在利用了待定端点条件(4-1)式和补充条件（4-2）式之后，总能确定与这两个待定量，而在这样决定的一条曲线上，泛函必为极值。如果边界点也是待定的，也可以假定它能沿着一条曲线上移动，则在这一待定始点上有下面的交接条件4.2 泛函的边界待定的变分原理问题设泛函上限是待定的，变分为按之间关系不同，有下列各种情况：（1）都是独立的这是最一般情况，由给出欧拉方程， （4-5）同时给出处的边界条件， （4

9、-6）于是可以利用欧拉方程（4-5）式，和极值曲线通过固定点的条件和处的边界条件（4-6）式这三个边界条件，来决定本题的极值曲线和的待定值。（2）边界点可以沿某一曲线任意移动给出相同的欧拉方程， （4-7）同时给出处的补充边界条件 （4-8）这也代表极值曲线和已给端点曲线之间的交接条件。当从欧拉方程（4-7）式求解极值曲线时，它必须满足：在处通过固定点；在点满足；在点满足交接条件（4-8）式。（3）边界点可以沿某一曲面任意移动由给出欧拉方程， （4-9）同样，也给出了极值曲线和曲面的交接条件 （4-10）当从（4-9）式中解出极值曲线时，其端点条件为：在处通过固定点；在点满足；在点满足交接条件

10、（4-10）式。不论那种情况，在待定端点上有三个独立的边界条件必须得到满足，在这个变分问题中，欧拉方程式（4-9）式有四个积分常数，其中两个由的固定边界条件决定，还有两个积分常数和值共有三个待定量由（4-10）两式与等三个处的边界条件决定的。当然，如果点也是可以移动的待定边界，其处理过程与上面所讨论的完全相似，这里就不再重复。4.3 泛函的边界待定的变分原理问题对泛函的极值问题，如果假定已给不变，边界条件为待定的情况，如果边界已给，为固定边界，且有而为待定的问题，这时的变分可以写成如果都是独立的，给出欧拉方程：补充边界条件：补充边界条件和固定边界条件加在一起，可以决定由解欧拉方程的极值曲线中的

11、五个待定量。一般说来，并不都是独立的，它们可能有各种各样的联系。（1）点可以在曲线 （4-11）上任意移动，于是有得 时，给出欧拉方程和有关边界条件 （4-12） （4-13）求解欧拉方程时，在端，仍有三个条件（4-11）式和（4-12）、（4-13）式。（2）点可以在曲线 （4-14）上任意移动，而且点上的极值曲线的端点斜率为的另一函数 （4-15）这里应该注意，并不一定等于，也包括了的情况，于是有消去得当时给出欧拉方程和边界条件 （4-16）所以，求解欧拉方程时，在端，仍有三个条件，即（4-14）、（4-15）和（4-16）式。（3）在点上，也可以存在着某一种之间的关系 （4-17）于是，

12、之间有关系设，则有把（4-60）式代入（4-46）式中，得当给出欧拉方程（4-47）式和有关端点条件 （4-18） （4-19）这指出求解欧拉方程时，在端仍有三个条件，即（4-17）式、(4-18)式及（4-19）式。5变分原理在结构力学中的应用柱体的扭转5.1 柱体扭转的基本方程图5.1柱体扭转5.1.1变形假设 柱体扭转时，其横截面在原平面上的投影只有刚体转动、但允许有轴向的自由翘曲。如果取轴向为轴，横截面为平面，为单位长度的转角，为某个横截面的转角。在平面内某一点在变形前后的位置分别为图5.2横截面变形其中为该点变形前的角度，为该点转过的角度。因此位移场为这里为自由翘曲函数，由此对应的应

13、变为 对应的变形协调条件为 5.1.2 平衡方程根据广义Hook定律，由于从而有， 因此应力平衡方程只剩一个 5.1.3 边界条件柱体两端边界上应用圣维南原理，有 其中为作用在柱体上的扭矩。 柱体两个侧面自由, 没有任何载荷, 那么应力边界条件为 其中为侧面的外法线方向。5.2 柱体扭转的应力函数解法根据应力平衡方程可以引进应力函数，也就是说假设 这样的和自动满足平衡方程。变形协调条件再结合弹性本构关系得到 把用应力函数表示的应力代入该方程得到 也就是说, 应力函数应该满足Poisson方程。由于柱体侧面是自由，根据应力边界条件其中为侧面边界(横截面的边界)的外法线方向 图5.3外法线分量的计

14、算用应力函数表示的边界条件为 由此得到沿着边界应力函数为常数 更进一步, 如果横截面是单连通区域，可以令边界上 而不影响分析结果。图5.4多连通区域如果横截面是多连通区域，那么可以令外边界上应力函数为零而在内部每个边界上应力函数满足 该边界条件和应力函数所必须满足的泊松方程构成了微分方程的边值问题.当边界比较简单时(如圆和矩形截面), 可以直接求解。在两个端面上的力等效边界条件为应用Green公式得到 式中为内边界所围成的面积（这里注意内边界的走向）。对于单连通区域情况下 其中我们称为扭转刚度。5.3 柱体扭转的最小余能定理扭转问题对应的应变余能 用应力函数表示的应变余能为 为了去除刚体位移,

15、假设一个端面(比如)处固定，另外一个侧面转过的角度为，那么在另外一个端面上转动所对应的余能为 对于横截面是单连通区域情况下，外力余能为 所以总的余能为 根据最小余能定理,弹性力学的精确解要求要求总余能取最小值。现在总余能是关于应力函数的泛函, 总余能泛函的变分为 应用格林公式得到所以有 由余能泛函取极小值()可以得到用应力函数表示的平衡方程为 这和我们前面用平衡条件得到的方程。6、总结通过学习本课程，我了解到变分原理是工程力学一个重要的组成部分，是力学分析中重要数学工具之一。广义变分原理在弹塑性力学中应用非常广泛的。然而随着研究的不断深入，各种更为精确和更为符合实际的计算模型及理论也在被不断的提出。所以这就要求我们也要不断的更新我的知识库及知识面，跟上科学发展的脚步，为今后的