刚体 定轴转动

1、3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础The model of a rigid body 刚体模型刚体模型 Rigid body（刚体）（刚体） : an ideal model 刚体是一种理想模型：刚体是在任何外力作用下任意两点间刚体是一种理想模型：刚体是在任何外力作用下任意两点间均不发生位移，形状大小均不发生改变的物体。均不发生位移，形状大小均不发生改变的物体。The distance between two points in a rigid body maintains constant forever. Thus the

2、body has a perfectly definite, unchanged shape and size .3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础2 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动1.刚体的平动刚体的平动：若刚体中：若刚体中所有点的运动轨迹都保持所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的行于它们的初始位置间的连线连线.3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础32.刚体的转动刚

3、体的转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 .*3.刚体的平面运动刚体的平面运动3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础4 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。动，这

4、种运动称之为转动。该直线称为该直线称为转轴。转轴。 3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 若转动轴固定不动，即既不能改若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为变方向又不能平移，这个转轴为固固定轴定轴，这种转动称为，这种转动称为定轴转动定轴转动。 我们只讨论定轴转动。我们只讨论定轴转动。OZ 若转轴的方向或位置在运动若转轴的方向或位置在运动过程中变化，这个轴在某个时过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的刻的位置称为该时刻的转动瞬转动瞬轴。轴。 3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3

5、 3章章 刚体力学基础刚体力学基础7刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述1.1.角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度刚体在一段时间内转过的角度刚体在一段时间内转过的角度(即末时刻与初始时刻即末时刻与初始时刻的角位置之差的角位置之差)21称为称为角位移角位移t平均角速度平均角速度：转动平面转动平面角速度角速度：0dlimdttt 3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础8t 在在t时间内，角速度的改变量时间内，角速度的改变量与与t之比称为之比称为该段时间内刚体的该段时间内刚体的平均角加速度平均角加速度 当当t0时，平均角加速

6、度的极限称为瞬时角时，平均角加速度的极限称为瞬时角加速度，简称加速度，简称角加速度角加速度20dlim(rad /s )dttt 3 31 1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础92.2.角量与线量的关系角量与线量的关系viir 当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元i到转到转轴的距离为轴的距离为ri.则该质元的线速度为则该质元的线速度为切向加速度和法向加速度分别为切向加速度和法向加速度分别为iiar2iniar 刚体上各质元的角量刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速即角位移、角速度、角加速度度)相同

7、，而各质元的线量相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加即线位移、线速度、线加速度速度)大小与质元到转轴的距离成大小与质元到转轴的距离成正比正比FrM FdFsinFrM r rFrzPF轴轴The torque with respect to z axis is the Z-component of , Mz , briefly labeled as M MIf the force acting on a rigid body i s l o c a t e d i n t h e p l a n e perpendicular to the axis, the torque with

8、respect to point o is defined as F3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础11作用于质点的力对惯性系中作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即矢积，即FrMM 的方向垂直于的方向垂直于r和和F所决定的平所决定的平面，指向用右手法则确定。面，指向用右手法则确定。yzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFM在直角坐标系中，表示式为在直角坐标系中，表示式为3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴

9、转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础12绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的的合外力矩合外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. . ddizMJJt二二 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础13 刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与其到转轴的距离的平方的乘积之和是刚体转动时惯其到转轴的距离的平方的乘积之和是刚体转动时惯性大小的量度性大小的量

10、度转动惯量的单位：转动惯量的单位：千克千克米米2 2（kgmkgm2 2）对于单个质点对于单个质点 2Jmr质点系质点系 2i iJmr22ddmmJrmrV若物体质量连续分布若物体质量连续分布三三 转动惯量转动惯量The rotational inertial of a body can be found byExperimental method; Calculation method.oMmx高度与时间高度与时间质量离散分布的物体质量离散分布的物体:2iirmI（5-15）（会计算简单分离物体的（会计算简单分离物体的I） If the mass distribution of a bod

11、y is known, its rotational inertial may be calculated as follows: 1r3r2r1m2m3maxisExample: rmrmrmI3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础16解解 (1)(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直转轴通过棒的中心并与棒垂直22dddJxmxx例例3.13.1如图所示，求质量为如图所示，求质量为m，长为，长为l的均匀细棒的均匀细棒的转动惯量：的转动惯量：(1)(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)(2)转轴通过棒

12、一端并与棒垂直转轴通过棒一端并与棒垂直. .mlddmx3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础1722221dd12llJJxxml整个棒对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为转动惯量为2201d3lJxxml由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同量不同.3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础1

13、8解解(1)(1) 在环上任在环上任取一质元，其质量取一质元，其质量为为d dm，距离为，距离为R，则该质元对转轴的则该质元对转轴的转动惯量为转动惯量为2ddJRm例例3.23.2设质量为设质量为m，半径为，半径为R的细圆环和均匀圆盘分的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量圆盘的转动惯量. .3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础19考虑到所有质元到转轴的距离均为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对，所以细圆环对中心轴的转动惯量

14、为中心轴的转动惯量为222dddmmJJRmRmmR(2)(2)求质量为求质量为m，半径为，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量的圆盘对中心轴的转动惯量2d2d ,dd2dmSr rmSr rR 如图23dd2dJrmrr 3201d2d2RJJrrmR Applying the Law of rotation 转动定律的应用（转动定律的应用（important!)基本步骤基本步骤（1）隔离法选择研究对象；）隔离法选择研究对象；（2）受力分析和运动情况分析；）受力分析和运动情况分析；（3）对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理；）对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理；（4）建立角量与线量的关系，求解方程

15、；）建立角量与线量的关系，求解方程；（5）结果分析及讨论。）结果分析及讨论。3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础21例例3.43.4转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t0时角速时角速度为度为 . .此后飞轮经历制动过程，阻力矩此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小的大小与角速度与角速度的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为大于零为大于零的常数的常数) )，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？0

16、013解解(1)(1) ，故由转动定律有，故由转动定律有 2Mk 22kkJJ 即013四四 转动定律的应用转动定律的应用209kJ 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础22(2)(2)ddMJJt2ddkJtt0 0时，时， ，两边积分，两边积分0001t320ddktJ 013故当故当 时，制动经历的时间为时，制动经历的时间为02.Jtk例如图例如图2.37(a)所示，质量均为所示，质量均为m的两物体的两物体A，B. A放在倾角为放在倾角为的的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻

17、绳与B相连相连.定滑轮是半径为定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力求绳中张力 和和 及物体的加速度及物体的加速度a(轮轴光滑轮轴光滑).1T2T1sinATmgma解物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得2BmgTma1122,.TTTT又对定滑轮，由转动定律得21T RT RI由于绳不可伸长，所以ABaaR212ImR又联立式，得12+3sin5Tmg2(1-sin)5ABaag23+2sin5Tmg3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转

18、动的转动定律第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础25竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？Example : As shown in below figure, the body A is connected to the body B by the light rope which is through two uniform solid cylinder（圆柱体）（圆柱体） with a mass m and a radius r. The body A has a mass of m and the ma

19、ss of B is 2m.There is not relative motion between the rope and cylinder. Find the tension force between the solid cylinders with . mrImAB2mm,rm,rT=?解：（解：（1）研究对象：）研究对象：A、B和两圆柱体；和两圆柱体；（2）受离分析如图：）受离分析如图：TAABmg2mgTATBTTBA向上运动，有加向上运动，有加速度速度aA;B向下运向下运动，加速度动，加速度aB,圆圆柱体顺时针转动。柱体顺时针转动。（3）可有下列方程：）可有下列方程：raama

20、TTIrTTIrTTmaTmgBAAAABBB)()(22311mgT （5）解方程组可得）解方程组可得Example :如图，长为如图，长为L质量为质量为m的匀质棒，可绕其通过的匀质棒，可绕其通过端点的光滑轴在竖直平面内转动。求棒从水平位置转到端点的光滑轴在竖直平面内转动。求棒从水平位置转到图中位置的角加速度（图中位置的角加速度（ ）。）。231mLI mg解：（解：（1）研究对象：棒；）研究对象：棒；（2）受重力作用，可）受重力作用，可证明重力对转轴的力矩证明重力对转轴的力矩为：为：cosLmgM21（3）由转动定理，可得：）由转动定理，可得：LcosgmLcosLmg 3 33 3 刚体

21、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础29一一 转动动能转动动能2222211111()222nnki ii iiiEm rm rJ刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半与角速度平方乘积的一半. . 刚体绕定轴转动时的动能，称为刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能转动动能3 33 3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础Kinetic energy and work in rotational motionKinetic Energy

22、 of Rotation A moving body has the kinetic energy. What is the kinetic energy of a rotating body?Windmill（风车）风车）风力发电，水轮机等风力发电，水轮机等That is 2kI21E (转动动能转动动能)(对比质点平动动能对比质点平动动能)2kmV21E axisI3 33 3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础32ddddiiii iiWFsF rMd()ddiWMM21dWM力矩的功力矩的功二二 力矩的功力矩的功 ddddWPMMtt力

23、矩的功率力矩的功率3 33 3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础3321222111d22MJJ三三 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理ddddddddMJJJJtt 合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量 .2211ddMJ 3 33 3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础4、刚体的势能、刚体的势能 ciiiPmgygymE其中其中m为刚体的总质量为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度。为刚体质心的高度。 质量分

24、布均匀而有一质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心的位置为它的几何中心。心。OXY miMCCviyCy3 33 3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础35vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细