2006年考研数学三真题及答案

1、精品文档精细；挑选；2006 年考研数学三真题一、填空题（ 16 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ）(1)。【答案】。【解析】【方法一】记因为且故。【方法二】而无穷小量 ，为有界变量，则原式。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学 函数、极限、连续 极限的四则运算(2) 设函数在的某领域内可导，且则。【答案】。【解析】本题主要考查复合函数求导。由知。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学 一元函数微分学 复合函数的导数精品文档精细；挑选；(3) 设函数可微， 且则在点处的全微分。【答案】。【解析】因为, 所以。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学 多元函数微积分学 偏导数、

2、全微分(4) 设矩阵， 为二阶单位矩阵， 矩阵满足，则_。【答案】 2。【解析】因为，所以。综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数 行列式 行列式的概念和基本性质线性代数 矩阵矩阵的线性运算(5) 设随机变量与 相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_。【答案】 。【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简精品文档精细；挑选；单函数的分布。事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出。综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论 多维随机变量的分布 二维随机变量的分布(6) 设总体的概率密度为为总体的随机简单样本，其样本方差为则_。【答案】。【解析】。综上所述，本题正确答案是

3、。【考点】概率论 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 (均值)、方差、标准差及其性质二、选择题（ 714 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(a)(b)(c)(c)【答案】 a。精品文档精细；挑选；【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是a。【考点】高等数学 一元函数微分学 导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8) 设函数在处连续，且

4、则(a)且存在(b)且存在(c)且存在(d)且存在【答案】 c。【解析】 由且则由于在处连续，且从而精品文档精细；挑选；由于上式中只有从大于零一边趋于零，则由上式可得。综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学 函数、极限、连续 函数连续的概念高等数学 一元函数微分学 导数的概念(9) 若级数收敛，则级数(a)收敛(b)收敛(a)收敛(a)收敛【答案】 d。【解析】由收敛知收敛，所以级数收敛。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学 无穷级数 收敛级数的和的概念(10) 非 齐 次 线 性 微 分 方 程有 两 个 不 同 的 解为任意常数，则该方程的通解是(a)(b)(c)(d)【答案

5、】 b。【解析】 由于是对应其次线性微分方程的非零解，所以它的通解是故原方程的通解为精品文档精细；挑选；。综上所述，本题正确答案是b。【考点】高等数学 常微分方程与差分方程非齐次线性微分方程性质及解的结构(11) 设与均为可微函数，且。 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(a) 若，则(b)若，则(c)若，则(d) 若，则【答案】 d。【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。作拉格朗日函数并记对应的参数 的值为则即消去得：整理得：因为, 若则。综上所述，本题正确答案是d 精品文档精细；挑选；【考点】高等数学 多元函数微积分学 二元函数的极限(12) 设均为维

6、列向量，是矩阵，下列选项正确的是(a) 若线性相关，则线性相关(b)若线性相关，则线性无关(c)若线性无关，则线性相关(d) 若线性无关，则线性无关【答案】 a。【解析】【方法一】因为线性相关，故存在不全为零的数使得从而有即由于不全为 0 而是上式成立，说明线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有那么因为线性相关，有从而故线性相关。综上所述，本题正确答案是a 【考点】线性代数 向量 向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩精品文档精细；挑选；(13) 设为三阶矩阵，将的第 2 行加到第 1 行的，再将的第 1 列的倍加到第 2 列得，记，则(a)(b)(c)(d)【答案】 b。【解析】按

7、已知条件，用初等矩阵描述有所以。综上所述，本题正确答案是b 【考点】线性代数 矩阵矩阵的线性运算(14) 设随机变量服从正态分布服从正态分布且则必有(a)(a)(c)(d)【答案】 a。【解析】由于与 的分布不同，不能直接判断和的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。随机变量且其概率密度函数为偶函数，故精品文档精细；挑选；同理, 因为是单调增函数，当时，即所以即。综上所述，本题正确答案是a 【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布 正态分布及应用三、解答题（ 1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）(15) （本题满分 7 分）设求(i)(ii)【解析】

8、本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。(i) 在求时 为固定的正数，则, 等价无穷小的替换则。(ii)=精品文档精细；挑选；等价无穷小替换洛必达法则。【考点】高等数学 函数、极限、连续 无穷小量的比较、洛必达法则(16) （本题满分 7 分）计 算 二 重 积 分其 中是 由 直 线所围成的平面区域。【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。积分区域如左图， 因为根号下的函数为关于的一次函数，先后 积分较容易，所以：。【考点】高等数学 多元函数微积分学 二重积分的计算(17) （本题满分 10 分）证 明 ： 当时 ，. 【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。精品文档精细

9、；挑选；设则则在上单调减，从而有因此，在上单调增，当时，即。【考点】高等数学 函数、极限、连续 基本初等函数的性质(18) （本题满分 8 分）在坐 标 平 面 上 ， 连 续 曲 线过 点其 上 任 意 点处 的 切 线 斜 率 与 直 线的 斜 率 之 差 等 于常数。(i) 求 的方程；(ii) 当 与直线所围成的平面图形的面积为时，确定 的值。【解析】本题需要利用导数的几何意义建立微分方程，用定积分计算图形的面积。(i) 设曲线的方程为则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中代入通解公式得又所以故曲线 的方程为。(ii)与直线所围成平面图形如下图所示，所以：精品文档精细；挑选；故。【考点

10、】高等数学 函数、极限、连续 基本初等函数的性质高等数学 常微分方程与差分方程 一阶线性微分方程(19) 求幂级数的收敛域及和函数。【解析】因为幂级数缺项，按函数项技术收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数。记则所以即时，所给幂级数收敛；当时,所给幂级数发散；当时，所给幂级数为均收敛，故所给幂级数的收敛域在内，, 而,所以又于是同理精品文档精细；挑选；又所以故由于所给幂级数在处都收敛，且在处连续，所以在成立，即。【考点】高等数学 无穷级数 理幂级数及其收敛域、幂级数的和函数(20) （本题满分 13 分）设四维向量组问 为何值时，线性相关？当线性相关时，求其

11、一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。【解析】本题考查求极大线性无关组并把其他向量用极大线性无关组线性表出的方法。个 维向量线性相关记于是当或时，线性相关，精品文档精细；挑选；当时，为的一个极大线性无关组，且当时，对施以初等行变换，有由于为的一个极大线性无关组，且故为的一个极大线性无关组，且。【考点】线性代数 向量向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组(21) （本题满分 13 分）设 三 阶 实 对 称 矩 阵的 各 行 元 素 之 和 均 为3 ， 向 量是线性方程组的两个解。(i) 求的特征值与特征向量；(ii) 求正交矩阵和对角矩阵，使

12、得; (iii) 求及其中为三阶单位矩阵。【解析】本题中未知，故用定义法求解。(i) 因为矩阵的各行元素之和均为即有所以 是矩阵的特征值，是 属于 的特征向量。又故是矩阵属于的两个线性无关的精品文档精细；挑选；特征向量。因此矩阵的特征值是. 的特征向量为其中为常数；的特征向量为其中是不全为 0 的常数。(ii) 因为不正交，故需要正交化，单位化那么令得(iii) 由前面知有即, 又所以。【考点】线性代数 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和精品文档精细；挑选；特征向量的概念、性质、计算(22) （本题满分 13 分）设随机变量的概率密度为其他令为二维随机变量的分布函数，求：(i)的概率密度(i

13、i)(iii). 【解析】(i) 设 的分布函数为则当时，当时，,当时，, ; 当时，故 的概率密度为其他(ii)精品文档精细；挑选；, , 故。(iii), , 【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布 二维连续型随机变量的概率密度、分布函数概率论与数理统计 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望(均值)、协方差(23) （本题满分 13 分）设总体的概率密度为其他其中 是未知参数为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于的个数，求：(i)的矩估计；(ii)的最大似然估计。【解析】未知参数仅一个所以矩估计的关键在于找出总体的矩，似然估计的关键在于写出似然函数。(i)令解得精品文档精细；挑选

14、；所以参数的矩估计为其中。(ii) 似然函数为取对数，得两边对求导，得显然最大，所以的最大似然估计为。【考点】概率论与数理统计参数估计 矩估计法最大似然估计法精品文档精细；挑选；精品文档精细；挑选；凡 事 发生 ， 必 有 利 我 ！ 因 为 凡 事都 是 我 赋 予 它 意 义 ， 它 才 对 我有 意 义。 而 我的 思 维 模 式 已 经 调 整 成“ 赋 予所 有 事 情 对 我 有 利 的 意 义 ” 了 。什 么 叫做 说 话 的 高 手 ？ 说 的 人家 舒 服 、 感 动 ， 同 时 愿 意 按 你 说 的 做 。这 就 是语 言 的 魅 力 。你 对 爱的 定 义 是 什 么 ？ 通 过