因式分解典型例题

1、因式分解典型例题例 1 多项式 x2 +ax+b 因式分解为 (x+1)(x-2) ，求 a+b 的值分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式中的对应项系数是相等 的，从而可以求出 a和b，于是问题便得到解决.2解 由题意得： x +ax+b=(x+1)(x-2) ，所以22x +ax+b=x -x-2 ，从而得出a=-1 ， b=-2 ，所以a+b=(-1)+(-2)=-3点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种重要方法例 2 因式分解 6a2b+4ab2-2ab 分析 此多项式的各项都有因式2ab，提取2ab即可.解 6a 2b+4ab2-2ab=2

2、ab(3a+2b-1) 点评 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首先，所提公因式应是各 项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积， 即提取的公因式应是多项式各项的 最高 公 因式，否则达不到因式分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积.如果原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能丢掉.本例题中，各项的公因式有 2， a， b， 2a， 2b， ab， 2ab 等.其中 2ab 是它们的最高公因式， 故提取2ab.作为因式分解后的一个因式，另一个因式则是分别用6a2b, 4a

3、b2和-2ab除以2ab所得的商式代数和，其中-2ab十2ab=-1，这个-1不能丢.例 3 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y.分析 将-x-y变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式x+y，提取x+y即可.解 m(x+y)+n(x+y)-x-y=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)=(x+y)(m+n-1).点评 注意添、去括号法则.例 4 因式分解 64x6-1 .分析64x 6可变形为(8x3)2，或变形为(4x2)3,而1既可看作12，也可看作13，这样，本题可 先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分解.解 方法一63264x6-1=(8x 3) 2-133=(8

4、x 3+1)(8x 3-1)33=(2x) 3+1(2x)3-122=(2x+1)(4x 2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)方法二62364x6-1=(4x 2) 3-1242=(4x 2-1)(16x 4+4x2+1)422=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)222=(2x+1)(2x-1)(4x2+1)2-(2x)22 2=(2x+1)(2x-1)(4x+2x+1)(4x -2x+1)点评 在分解因式时，尽管采用的方法不同，但结果应是相同的本题的两种解法，显然第一种方法比较简单.挪因式分解2卉卜分析从表面上看.本题中的两项都不是完全立方，但如杲先提取系数2

5、或扌，则形式便发生了变化°= -(8m3+n3)44=-(2m + n)(4m2 -2mn +n3).点评 分解因式时，应首先考虑各项有没有公因式，如果有公因式，一定先提公因式，然后再考虑能否用其它方法继续分解本题如果先提2,应如何分解？例 6 因式分解(x+y) 2-6(x+y)+9 .分析 可将x+y当作一个整体，此多项式便是关于这个整体的二次三项式，显然它可用完全平方公式分解.解(x+y)2-6(x+y)+92 2=(x+y) -2 x 3X (x+y)+3=(x+y-3) 2.点评在运用公式分解因式时，一定要掌握公式的特点，尤其要注意完全平方公式中一次项 系数的特点.例7 因

6、式分解x2+6x-7 .分析 这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解.解方法一2 2 2x +6x-7=x +6x+9-9-7=(x+3)-16 =(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1) 方法二 x 2+6x-7=(x+7)(x-1)M +TX叫配方法用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为使二次项系数转化为点评方法项系数不是1,则提取这个系数，项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的.要考虑的是十字相

7、乘后的代数和应是一次项.例8 因式分解3x2-7x-6 .分析本题二次项系数不是 1 ,如果用配方法分解, 减一次项系数一半的平方； 如果用十字相乘法分解, 到十字相乘后的代数和应是中间项(即一次项)1 (如果二次1);其关键是，加上紧接着减去一次在用十字相乘法分解二次三项式时，主则应首先提取二次项系数 3,然后再加、 既要考虑好首尾两项的分解， 更要考虑解方法3x -7x - 6 = 3 x - tx - 2 3=749 49 1=3 x3-x + - - 2 336 36十;卜=(3x +2)(z -3).方法二 3x 2-7x-6=(3x+2)(x-3)3k +2点评用十字相乘法分解因式

8、，在排列算式时，应想到同行不应有公因式(如本题二次项所 分出的3x与常数项所分出的3不能放在同行，只能与分解出的另一个因式2放在同行)这是因为，如果同行有公因式，此公因式在开始分解时就应提出掌握这一点会简化操作过2程从上述两例可以明显看出，在有理数范围内分解二次三项式ax+bx+c用十字相乘法比较方便，但随着数的范围的扩大，就看出配方法的重要了.于是便出现这样的问题：在分解二次三项式 ax2+bx+c时，何时用公式法？何时用十字相乘法？何时用配方法？我们可用 b2-4ac的结果来判别：b2-4ac=0时，用完全平方公式分解；b2-4ac >0且是一个完全平方数时，用十字相乘法分解；b2-

9、4ac > 0但不是完全平方数时，用配方法分解； b2-4ac v0时，在有理数范围内和将来学到的实数范围内都不能分解.至于为什么可用 b2-4ac的结果来作上述判断，这个问题在今后的学习中会得到解决.例 9 因式分解 2ax-10ay+5by-bx .分析 用分组分解法可将一、二两项和四、三两项分别作为一组，这样不仅每组可分解， 而且确保继续分解.解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x_5y)_b(x_5y)=(x-5y)(2a-b).点评 本题还可以一、四两项一组，二、三两项一组，但不能一、三项和二、四项分

10、组，可见分组要恰当.分组是否恰当，以能否达到因式分解的目的为标准.所以，分组后各组系数成比例则是恰当分组的重要条件.例10因式分解：(1) x2-2xy+y 2-1(2) x2-2y-y 2-1分析 这两小题都不能平均分组， 因为平均分组后，各组系数不可能成比例， 从而达不到因 式分解的目的，但经过观察可知，如果将( 1)题前三项和第四项分组，将(2)题第一项和 后三项分组，则可先用完全平方公式继而用平方差公式将其分解.解 (1) x2-2xy+y 2-12 2=(x -2xy+y )-12=(x-y)-1=(x-y+1)(x-y-1)“ 、 2 2 2 2(2) x -2y-y -1=x -

11、y -2y-12 2=x -(y +2y+1)2 2=x -(y+1)=(x+y+1)(x-y-1)点评在分解四项式时，也应首先考虑是否有公因式， 如果有，要先提公因式然后再考虑分 组，在分组时，又有两两分组、一三分组和三一分组三种不同分法，这就需要做到具体问题具体分析对某些特殊的四项式也可直接用完全立方公式分解，即a3± 3a2b+3ab2土 b3=(a ±3b) 对五项式或五项以上的多项式也采用分组分解法.例 11 因式分解 x2+4xy+3y2+x+3y 分析本题的前三项可以分解为(x+y)(x+3y)，其中(x+3y)正好与后两项完全一样，所以本 题作三二分组，问题

12、便得到解决.解 x 2+4xy+3y2+x+3y2 2=(x +4xy+3y )+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1).例12因式分解：22(1) a +2ab+b +2a+2b+1,22(2) a +2ab+b +2a+2b-3 ,2 2(3) a +3ab+2b +2a+b-3 .分析 这三道题都不能平均分组，经观察，它们都可以三二一分组，分组后，(1)题可经过两次完全平方公式分解，(2)题可经过一次公式和一次十字相乘分解，而(3)题则可经过两次十字相乘分解.解 (1) a2+2ab+b2+2a+2b+12 2=(a +2ab+b )+(2a+2b

13、)+12 2=(a+b) +2(a+b)+仁(a+b+1).2 2(2) a +2ab+b +2a+2b-32 2=(a +2ab+b )+(2a+2b)-32=(a+b) +2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1).3b)-12 2(3) a +3ab+2b +2a+b-32 2=(a +3ab+2b )+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3).(sT、+ 3例 13 已知 4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求证：2 22x +3xy+y -x-y=0分析要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式.若分解后的因式中有一

14、个 值为零，则原多项式的值为零.经过分组分解，可知2x2 +3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若x+y或2x+y-1为零，则原多项式的值为零为达此目的，就要从条件入手.证明 因为4x2+4xy+y2-4x-2y+仁0，所以2(2x+y) -2(2x+y)+1=0 ,2(2x+y-1)=0.所以2x+y-仁0 .又因为2 22x +3xy+y -x-y=(x+y)(2x+y-1)而2x+y-仁0 ,所以2 22x +3xy+y -x-y=0 .22.-例14已知3x -4xy-7y +13x-37y+m能分解成两个一次因式的乘积，求m的值.并将此多项式分解因式.分析根据因式分解的

15、概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是三项式，而原多项式的前三项可分解为(3x-7y)(x+y),于是可设原多项式分解为 (3x-7y+a)(x+y+b)，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决.解 设 3x2 -4xy-7y 2+13x-37y+m =(3x-7y)+a(x+y)+b2 2=3x -4xy-7y +(a+3b)x+(a-7b)y+ab.对应项系数相等，所以a + 3b = 13,(1)a-7b = -37,(2)ab = m.k由(1) (2)解得 a=-2 , b=5.将 a=-2 , b=5 代入(3)，得 m=-10.所以 3x 2-4xy-

16、7y 2+13x-37y+m2 2=3x -4xy-7y +13x-37y-10 =(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5).例 15 已知 | x-3y-1| +x2+4y2=4xy，求 x 与 y 的值.分析在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质.本题已有一个明显的非负数，即| x-3y-1|,而另一个非负数可由因式分解得到.于是问题能够解决.解 因为 | x-3y-1| +x2+4y2=4xy，所以2 2| x-3y-1| +x -4xy+4y =0即2| x-3y-1| +(x

17、-2y) =0所以x - 3y - 1 = 0,= 0.解这个方程组，得x=-2 , y=-1 .例16因式分解：443(1) x +4y ;(2) x +5x-6 .分析这两个多项式既无公因式可提，也不能直接用公式或直接分组分解经过观察：(1)题若加上4x2y2，随之减去4x2y2，这样既保证多项式的值不变，又可先用完全平方公式继而 用平方差公式分解.(2)题如果将5x拆成-x+6x便可分组分解.或者，将-6拆成-1-5也可 分组分解.解 (1) x4+4y4=x4+4x2y +4y4-4x 2y22 2 2 2=(x +2y ) -(2xy)2 2 2 2=(x +2xy+2y )(x -2xy+2y )./、33(2) x +5x-6=x -x+6x-63=(x -x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)2=(x-1)(x+x+6)点评 若将-6拆成-1-5，应如何分解？例17已知x2-2xy-3y 2=5,求整数x和y的值.分析原式左端可分解为两个一次因式的乘积，由题意可知，这两个因式都表示整数，这样只能是一个因式为1 (或-1 ),而另一个因式为 5 (或-5 ).于是便可列出方程组求出 x和y 的值.解 因为x2-2xy-3y