因子分析法基本原理

1、1因子分析法基本原理在对某一个问题进行论证分析时，采集大量多变量的数据能为我们的研究分 析提供更为丰富的信息和增加分析的精确度。然而，这种方法不仅需要巨大的工 作量，并且可能会因为变量之间存在相关性而增加了我们研究问题的复杂性。因子分析法就是从研究变量内部相关的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。这样我们就可以对原始的数据进行分类归并，将相关比较密切的变量分别归类，归出多个综合指标， 这些综合指标互不相关，即它们所综合的信息互相不重叠。这些综合指标就称为 因子或公共因子。因子分析法的基本思想是将观测变量进行分类，将相关性较高，即联系比较紧密

2、的分在同一类中，而不同类变量之间的相关性则较低，那么每一类变量实际 上就代表了一个基本结构，即公共因子。对于所研究的问题就是试图用最少个数 的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分 量。这样，就能相对容易地以较少的几个因子反映原资料的大部分信息，从而达到浓缩数据，以小见大，抓住问题本质和核心的目的。因子分析法的核心是对若干综合指标进行因子分析并提取公共因子， 再以每 个因子的方差贡献率作为权数与该因子的得分乘数之和构造得分函数。 因子分析 法的数学表示为矩阵：X =AF B，即：k =81 人+口12 f2 +口13 f3 十八 Sk fk + PlX2=C(21

3、f1十。22 f2 中。23 f3 十 。2 k fk + f2“ X3 =口31 fl+口32 f2 +口33 彳3 +C(3k fk + 3(k < P) (1 式)Xp =： pifi Sp2f2 i：p3f3；S，pkfk ：p模型中，向量X Xi, X2，X3,，Xp是可观测 随机向量，即原始观测变量F fi,f2,f3,，fk 是X Xi,X2,X3, ,Xp的公共因子，即各个原观测变量的表达式中 共同出现的因子，是相互独立的不可观测的理论变量。 公共因子的具体含义必须 结合实际研究问题来界定。A : j是公共因子F fi, f2,f3,，fk的系数，称为因子载荷矩阵，>

4、;j (i=1,2,.,p;j=1,2,.,k)称为因子载荷，是第i个原有变量在第j个因子上的负荷，或可将:ij看作第i个变量在第j公共因子上的权重。:j是Xi与fj 的协方差，也是Xi与fj的相关系数，表示Xi对fj的依赖程度或相关程度。:-j的绝 对值越大，表明公共因子fj对于Xi的载荷量越大。B亠，-是 X Xi，X2，X3,，Xp的特殊因子，是不能被前k个公共因子包含的部分，这种因子也 是不可观测的。各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是相互独立 的。2.模型的统计意义因子载荷矩阵A中有两个统计量对因子分析结果的经济解释十分重要，即变 量共同度和公共因子的方差贡献。(1) 变

5、量共同度的统计意义k变量共同度是因子载荷矩阵A的第i行的元素的平方和。记为：h：八打(其j 4中：i=1,2,p )。它衡量全部公共因子对Xi的方差所做出的贡献，反映全部公共因子对变量Xi的影响。hi2越大，表明X对于F每一分量的依赖程度大。对1式两边取方差，得：kP22222Var (xj= :Nar(fj :2Var(f2)：ikVar(fj Var (: J 八:j 亠二扎(2式)j Ai Ak如果h：八*的结果接近Var (Xi)，且'i2非常小，则因子分析的效果就比较好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质就好。(2) 公共因子的方差贡献的统计意义P22因子载荷矩阵中各列元素的平方和记为：g jij(其中：i j=1,2,.,k)。g j称为公共因子Ff1, f2,f3,，fk对XX1,X2,X3'，Xp的方差贡献，表示第j个公共因子fi对于X的每一个分量Xi(i=1,2,.,p)所提供的方差的总和，是衡量 公共因子相对重要性的指标。对2式进行变换，得：kP222-2- 2Var (xj ngVar ( fj 叱i2Var ( f2)亠一：ikVar ( fQ Var (肾)=為 g；亠.1j丄i 2g ；越大，表明公共因子F仇，f2, f3,，fk对X Xi, X2, X3 - , Xp的贡献越大，