第三章流体静力学

1、流流 体体 力力 学学顾伯勤 主编研 究 生 教 材 退 出中国科学文化出版社第三章 流体静力学 作用于流体上的力 静止流场中的应力 静止流体的基本微分方程 重力场中静止流体的压力，静止流体 对物面的作用力 重力场中静止气体的压力分布 非惯性坐标系中的静止流体 表面张力与毛细现象 流体静压力的测量原理 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节退 出返 回第三章 流体静力学 退 出返 回 第一节 作用于流体上的力 第第1页页 流体静力学研究处于静止状态的流体（简称静止流体）应遵循的规律，它主要讨论静止流体的压力以及静止流体与它的边界之间的作用力。当流体处于静止状态时，流体内部没有相对运动

2、，根据牛顿内摩擦定律，静止流体的切应力为零，显然，这时流体也不呈现粘性。因此流体静力学所得出的结论对理想流体（ ）或实际流体（ ）都是适用的。 00一、表面力与流体应力通过与流体表面接触而作用于接触表面上的力称为表面力，又称面积力或接触力。作用于流体单位面积上的表面力称为流体应力。如图3.1所示，流场中任取一体积为 、表面积为A的流体微团。外法线单位向量为 的面积A上受到外界作用的表面力为 ，当A缩小为一个点时，A表面上的流体应力 为n 图 3.1 作用于流体上的力AFPn作用于流体上的力分为两类，即表面力与体积力。nPnpAnAnPp0lim（3.1）n第三章 流体静力学 退 出返 回第一节

3、 作用于流体上的力 第第2页页外界作用于该流体微团上的表面力为 。流体应力不仅与点的位置有关，而且与通过该点的截面方位有关，也就是说，通过一点可以有不同的流体应力。例如在直角坐标系中，某点的应力 分别为通过该点外法线单位向量为 截面上的应力。AnAdpzyxppp,kji,二、体积力与单位质量的体积力直接作用于流体体积上的力称为体积力。这种力的作用与该流体微团周围有无流体无关。体积力又称质量力。流体力学中经常采用的是单位质量的体积力，用 表示。如作用于 体积上的体积力为 ， 体积中的流体密度为 ，则fFFf0lim（3.2）外界作用于该团流体上的体积力为 。绝大多数流体力学问题中，流体是处于重

4、力场中，令 为重力加速度，则dfggf （3.3）第三章 流体静力学 退 出返 回 第二节 静止流场中的应力 第第1页页静止流体保持恒定的变形，不存在任何方向的变形速率，所以没有用以抵抗不断变形的切向应力，流体表面的作用力只有法向应力。由于流体除承受很小的表面张力外，不能承受拉应力，所以法向应力只能是压应力，于是静止流体的应力只有法向的压应力。取微元四面体建立力的平衡方程，可以得到结论：通过一点的各个截面上的压应力的值都是相等的，于是静止流体的应力可表示为式中 定义为静止流体的压力( )，它就是经典热力学中的平衡态压力。在流体力学中，压力是空间位置点与时间的函数，即 。pnnpp0p),(tz

5、yxpp （3.4）第三章 流体静力学 退 出返 回 第三节 静止流体的基本微分方程 第第1页页一、静止流体基本微分方程如图3.1所示，静止流体中任意流体微团 所受的合力为零，即式中 为作用于微元体积 上的合力。因为 是任意的，被积函数 是连续的，所以要满足上式，只可能 处处为零。于是有0d)(ddddpApAAAnfnfpf)(pfd)(pf)(pffp（3.5）式（3.5）即为静止流体基本微分方程。流场中任取一段微元线段点 积式（3.5），则有式中 表示沿 线段的压力增量。在直角坐标系中ldlf ddppdldzfyfxfpzyxdddd（3.6）（3.7）重力场中， ，即 ，这里z为某一

6、参考水平面铅垂方向上的坐标值， 为重力加速度的数值，于是（3.7）式变为：gfffzyx, 0, 0zgddlfgzgpdd（3.8）第三章 流体静力学 退 出返 回 第第2页页第三节 静止流体的基本微分方程 （3.8）式中含有两个变量函数 和 ，但只有一个微分方程，所以（3.8）式本身是不封闭的，为此必须引入补充假定。对于密度相同的不可压缩流体充满的流场（简称不可压流场），可引入 。对于可压缩流体，则引入正压流场假定。二、正压流场流场中流体密度只是压力的单值函数，即 ，则这种流场称为正压流场，正压流场具有以下主要性质：pconst)(p（1） 流场中存在压力函数 ， 定义为 ；（2） ；（3

7、） 等压面就是等密度面。完全气体均温场（ ）和标准大气场为流体力学中常见的正压流场。)(p)(p)(dpppppddconstp第三章 流体静力学 退 出返 回 第第3页页第三节 静止流体的基本微分方程 三、静止流体的基本特征由静止流体基本微分方程 可得到静止流场的基本特性：（1） 静止流场中质量力必满足 ，否则流场不会处于静止。（2） 质量力有势的静止流场必是正压或不可压流场，其等压面必是等势面。如有几种不同密度流体组成的流场，其交界面（又称自由面）必是等压面。（3） 重力场（ ）中的静止流体，除具有上述性质外，不同介质形成的自由面必是水平面。同一介质连通的水平面必是等压面。 fp0ffgf

8、第三章 流体静力学 退 出返 回 第第1页页第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力 一、压力公式重力场是最典型的质量力场。在重力场中， ，若使直角坐标轴 与地面的外法线重合，则重力场可写成由（3.8）式严格说来，式中 可以是 的函数，但当所讨论的问题的时间和空间范围不大时， 可视为常数。液体的可压缩性很小，如果在整个流场中压力差别不是非常大，则可视液体为不可压缩流体，即 。积分式（3.9）可得式中 ，它可以是时间 的函数。 gfzgkfzgpddgtzyx,gconstgzpp000zppt（3.9）（3.10）例题例题3.1 有一差压测压管，连接方式如图3.2所示。测得 值，

9、且已知测压管内两种流体的密度分别为 和 ，求1-1和2-2截面上压力差 的值。 cba,0121pp 第三章 流体静力学 退 出返 回 第第2页页解解：因同一介质连通的水平面为等压面，作3-3和4-4水平面，由（3.10）式可得 合并上两式即可得到gcpgapp14013 图3.2 差压测压管22113344acbgbpp024)(0121abggcpp01二、重力场中静止流体对物面的作用力和力矩在实际工程问题中，往往需要确定液体与固体接触面之间的作用力。既然静止液体中的压力分布规律已经知道，则流场边界面上的压力分布规律也是已知的，故不难确定固体任意边界面A上所受的力为AgzpApAAd)(d

10、0nnF（3.11）第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力式中A为物体与流体的接触面； 为物面外法线方向单位向量； 为物体表面所受的流体压力； 为流体压力对参考点 的力矩； 为参考点到物面点的向径； 为参考点 到合力作用线 上任意一点的向径，如图3.3所示，合力作用线上的任意一点都可称为压力中心，但通常把该线与物面的交点 称为压力中心。 第三章 流体静力学 退 出返 回 第第3页页 图 3.3 压力中心 cc固体任意边界面A上所受的力矩为AgzpApAoAood)(d0nrnrMoMF如果 ，则压力中心即固体任意边界面A上所受力的合力作用线的位置可由下式确定0oMFocMFrc

11、ronpoMoorocroccc（3.12）（3.13）第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第4页页（一）竖放平壁面上所受的力流场的某部分边界为竖放平壁面，如图3.4所示，试确定面积A上所承受的由于静液引起的作用力。为讨论方便起见，将坐标原点放在自由面上，并使 轴与竖面相垂直，于是竖面的法线 与 一致。由公式（3.11），液体作用在面积A上的合力为即xniAgzpaAd)(nFAghpaAd)(iAaxAhgApFd（3.14）可见，作用力由两部分组成：一部分是气压对壁面的作用力 ，另一部分是液体对壁面的作用力 。 ApaAAhgd上述分析

12、同样适合于求液体内部任意放置的竖平面上的作用力。例题例题3.2 若在液体流场中有竖壁面 ，如图3.5所示，试求此壁面所承受来自液体的作用力。)(1212yyhhA第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第5页页AghpApaAAd)(diiFhyghhypAaAddddii21212121ddddyyhhyyhhayhhgyhpii)(2)(2122121212hhyyghhyypaii解解:（二）平放平壁面上所受的力流场的某部分边界为平放平壁面，试确定面积A上所承受的由于静液引起的作用力。为讨论方便起见，将坐标原点放在自由面上，壁面单位法线向

13、量 与 重合（即壁面上部有液体），如图3.6(a)所示，则液体作用在深度为 的平面A上的合力为即nkHAgzpaAd)(nFAgHpa)(kAgHpFaz)(（3.15）第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第6页页 pahzyxnHFnpaFH(a) 壁面向上 (b) 壁面向下 图3.6 平放平壁面所受的力 o可见，作用力由两部分组成：一部分是气压对壁面的作用力 ，另一部分是液体对壁面的作用力 ，它相当于面积A上所承受的液体总重。若壁面法线向量 与 相反，如图3.6(b)所示，则液体作用于面积A上的力为即ApagHAnkAgzpaAd)(n

14、FAgHpa)( kAgHpFaz)(可见，作用力方向向上（指向作用面）。（三）任意曲面上所受的力若流场的某部分边界壁面为曲面，如图3.7所示，试确定面积A上所承受的力。第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力如图3.7(a)所示，若将坐标原点放在自由表面上，则压力公式可写成 。由于曲面上各点的法线向量并不相同，故应对每个微元面积进行分析。在曲面上任取微元面积 ，其法向单位向量为 ，式中， ， ， 。第三章 流体静力学 退 出返 回 第第7页页ghppaAdzyxnnnkjin),cos(xnxn),cos(ynyn),cos(znzn微元面受力为由几何关系可知，微元面 在坐标面

15、上的投影为 ， ， 。于是受力公式可写成AzpAypAxpApd),cos(d),cos(d),cos(ddnknjninFAdAxAxd),cos(dnAyAyd),cos(dnAzAzd),cos(dnzyxApApApddddkjiFzzyyxxApFApFApFdd,dd,dd即整个曲面 上的受力可由上式积分求得AAAxaxxAghpApFd)(dAAyayyAghpApFd)(dAAzazzAghpApFd)(d（3.18）（3.17）（3.16）第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第8页页 (a) (b) (c) (d) nAp

16、ahzyxhpaxAzhxx1pah1h2Azxpa Ahh图3.7 曲面受力oooA式中 为曲面各点的深度。由式（3.16）、（3.17）可见，水平方向的力与式（3.14）的形式一样，但积分域为曲面分别在两个竖坐标面上的投影。因此曲面的侧向受力与竖放平壁面侧向受力相同，只是把曲面在侧面上的投影作为竖平壁面处理。若曲面如图3.7(b)所示，有一部分曲面在竖坐标面上有正反两个投影，而它们又处于同一水平面上，它们的作用力大小相等，方向相反，故可相互抵消。 h式（3.18）虽然与式（3.15）形式相同，但是式中 为变量。 h第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退

17、 出返 回 第第9页页式（3.18）又可写成显然，上式右侧第一项为气压对曲面的作用，第二项为曲面上液体的总重量。例题例题3.3 试求图3.7(c)中单位宽度的斜面所承受的作用力 ，斜面方程为),(yxhh AzazyxyxhgApFdd),(zFxxhhhh/ )(1121（3.19）解解：若曲面如图3.7(d)所示，上下两部分曲面在 平面上的投影面方向相反。但是同一垂线上的压力并不相等，所以对于有相重投影的那部分曲面上的力应分别积分112111210011)(2dd)(1xhhgxpyxxxhhhgxpFaxaz xyd dAhgApAhgApFAzaAzaz式中， 为下部曲面A的深度， 为

18、上部曲面 的深度， 和 分别为下部曲面及上部曲面在 坐标面上的投影。 h h AzAzAxoy第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第10页页若 ，则上式可写成可见，上式为上、下曲面之间所包含的液体重量。（四）物体浮力浸于液体中的物体所受到的液体对它的作用力的合力即为物体的浮力。物体表面也是曲面，浸于液体中的物体表面为封闭曲面，如图3.8(a)所示，作用在封闭曲面上的合力为zzAA zAzAhhgFzd) ( AxaAxxAghpApFd)(dAyaAyyAghpApFd)(dAzaAzzAghpApFd)(d由于物面为封闭曲面，物面在竖坐标

19、面上的两个投影面大小相等方向相反，且深度相等，故侧向合力为零， 即 。 0, 0yxFF第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第11页页由于物面为封闭曲面，物面在水平面上的两个投影面积数值相等，方向相反。但在同一条垂线上的上下两个表面上的压力差为 ， 故)(12hhgzAazAazAghpAghpFd)(d)(2121bzAAgAhhgd )()(1221或bpah2 h1zyxon1n2zyxo paAwAd (a) (b)图3.8 物体的浮力式中A1和A2分别为朝上和朝下的物体表面， 为浸于液体中的物体的体积。故物体的浮力等于与物体同体积

20、的液体的重量。（3.20）bzA第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第12页页对于部分浸没于液体的物体，如图3.8(b)所示，显然它所受到的水平方向的合力为零，如同完全浸没的物体一样。它所受到的垂直于水平面方向的合力为式中Aw为湿表面，Ad为干表面。右侧第二项 与 等价，式中 为Ad在水平面上的投影面，由于积分在投影面 上进行，而在该投影面上 ，故该项可改写为于是式（3.21）可写成zAazAazApAghpFdwdd)(zAaApddzAaApzdzAzA0hzAazAazAaAghpApApzzdd )(ddzAazAazAghpAgh

21、pFzw)d(d)(d )(gAghpzAAazw（3.21）（3.22）式中 组成了物体浸没部分体积 的封闭曲面。可见，对于部分浸没的物体，其浮力仍然等于和被浸没的那部分物体同体积的液体的重量。zwAA第四节 重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第1页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 无论液体或气体，在静止状态都应满足重力场中的平衡方程（3.8）对于气体而言，在整个流场中 const，故p、 均为待定函数。为求解函数p、 ，尚须补充一个方程。在许多实际问题中，气体流场中的压力与密度往往具有确定的关系，即p与 互为函数关系， 。具有这种关系的

22、流场称为正压流场。正压流场中最有代表意义的流场为指数律流场，即zgpdd)(pp cpn（3.23）式中c，n为常数。例如，完全气体的均温流场，即在整个流场中温度为常数的流场，满足 ，这就是一种指数规律正压流场，相当于n=1。下面将讨论满足指数律的正压流场中的规律。 const/p第三章 流体静力学 退 出返 回 第第2页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 一、正压流场中的静止气体基本方程由式（3.8）及正压条件（3.23）构成，由该两式消去 可得积分上式可得式中C1为常数，它由具体问题的边界条件来确定。若已知z=0处压力为p0，密度为 ，即 ，于是正压条件中的c可写成 ，利用此条件可得到

23、nnczgpp/1/1dd1/1/ )1(1Ccgzpnnnnn00000)(,)(zzppnpc00/nnpnnC/ )1(011（3.24）（3.25）代入式（3.25）可得)1/(00011nnpzgnnpp（3.26）第三章 流体静力学 退 出返 回 第第3页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 此为指数律正压流场中压力分布公式。利用正压条件式（3.23），由上式又可得到密度分布公式对于完全气体，由于 ，由式（3.26）和式（3.27）可得到温度分布公式式（3.26）是在 的条件下，由式（3.24）积分求得。若指数律正压流场的指数 ，即)1/(100011npzgnnRTp/0000

24、1111RTgznnpzgnnTT1n1ncp/（3.27）（3.28）（3.29）则微分方程（3.8）可写成此式的积分为式中C1为常数，由具体问题的边界条件确定。czgppdd1lnCzcgp（3.30）第三章 流体静力学 退 出返 回 第第4页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 二、标准大气大气的真实状况非常复杂，它不仅与地理位置有关，而且与季节乃至时辰有关。但就整个大气的平均状况来说，大气层大致可分为下列几个层次。海平面至11km高度为对流层，在此层中流动复杂，变化甚大。由11km高空至32km高空为平流层，在此层中存在大气的水平流动，而且变化不大，温度几乎不变，故又称同温层。由32

25、km高空到80km高空为高温层。在80km以上的高空为外层空间。作为一种共同比较大气状态的标准，人们规定一种大气状态（大致与北半球中纬度全年平均气象条件相符合），并命名为标准大气状态。标准大气的条件为(1) 设大气为完全气体，其状态方程为 ，式中R=287Pam3(kgK)。RTp/第三章 流体静力学 退 出返 回 第第5页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 (2) 在海平面上，T0=288.15K，p0=1.013105Pa。(3) 在对流层中，指数律正压条件为n=1.238。根据上述条件，利用压力、密度、温度分布公式（3.26）、（3.27）、（3.28）可以得到对流层中压力、密度和温

26、度分布公式202. 54238. 0238. 1001039. 41238. 1238. 01zRTgzpp202. 44238. 01001039. 41238. 1238. 01zRTgz4001039. 41238. 1238. 01zRTgzTT（3.33）（3.32）（3.31）在对流层的上边界 m，其压力、密度、温度分别以 ， ，表示。 31011dzzdpddT第三章 流体静力学 退 出返 回 第第6页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 Pa10226. 0223. 01039. 41011150202. 5430pppd3000202. 4430kg/m36. 0298.

27、0298. 01039. 410111RTpdK74.21836. 028710226. 05dddRpT上述参数正是同温层的下边界条件，由此可以确定均温流场中的压力公式（3.30）中的C1及式（3.29）中的c故同温层中压力公式可写成 利用式（3.29）可得dddddpcRTgzpC/ln14310)1011(56. 15e10226. 0ezRTzzgdddpp4310)1011(56. 1e36. 0ezRTzzgdddddpp（3.35）（3.34）第三章 流体静力学 退 出返 回 第第7页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 例题例题3.4 已知海平面上条件为p0=101.3kPa

28、，t0=15，0=1.285kgm3。并已知海平面上空温度对于高度的下降率为(71000)Km，试计算z=3000m处的压力和密度。解解: 由海平面上的条件，可以求出空气的气体常数 由正压流场中的温度公式（3.28）可知，对上式微分7 .27300TpR0011RTgznnTTRgnnzT1ddPam3(kgK)即将已知条件 71000代入上式，则n=1.243。将n代入式（3.26）、（3.27）、（3.28）得到zTgRndd11zT d/d第三章 流体静力学 退 出返 回 第第8页页第五节 重力场中静止气体中的压力分布 kPa57.6711)1/(3000003000nnzzRTgznn

29、pp 3)1/g/m924. 011nzzRTgznn K2673000zT第三章 流体静力学 退 出返 回 第第1页页第六节 非惯性坐标系中的静止流体 以上讨论了惯性坐标系中的静止流体。现综合惯性坐标系中质量力为重力的静止流体基本公式如下：const)(constconst)()(const0DD, 0gzUpzpUppgzUUpptngfnpww（等压面即等势面即水平面）（3.36）对于以 平移（ ， 为常数）， （ ）等速旋转的非惯性坐标系，质量力为重力的相对静止流体基本公式如下： 0w0aw 0ae 第三章 流体静力学 退 出返 回 第第2页页第六节 非惯性坐

30、标系中的静止流体 式中r为空间点位置（x, y, z）到旋转轴的垂直距离。现讨论两类最典型的非惯性坐标系，即直线等加速运动的坐标系和等角速度旋转的坐标系。并研究这两种非惯性坐标系中的静止流体中的压力分布规律。 const)(const2const) ()(21)(DD,22022000rgzUpUpprgzUUpptnRaeRrRaagfnpRaawRww（3.37）有一盛液体的容器，沿直线作等加速运动，如图3.9所示。加速度为 , 在此非惯性坐标系中，质量力场由两部分组成：重力场 及惯性力场 。sincosaakiaga一、直线等加速运动的坐标系第三章 流体静力学 退 出返 回 第第3页页第

31、六节 非惯性坐标系中的静止流体 zax图3.9 直线等加速运动的坐标系osincosarctgaga即 ， ，容器中液体相对于容器处于静止状态，由静止流体平衡方程式 得：cosafx0yfsinagfzlf ddp)ddd(dzfyfxfpzyxzagxad)sin(d)cos(（3.38）由于 const，故上式可直接积分（3.39）式中C为积分常数。由此压力分布公式不难证明，在直线等加速运动的坐标系中，静止流体的等压面、自由面、分界面均为与水平方向成 夹角的斜平面。 Cagzxap)sin(cossincosarctgagasincosaagkikagf式中 分别为沿r， ，z轴的单位向量

32、。积分上式可得第三章 流体静力学 退 出返 回 第第4页页第六节 非惯性坐标系中的静止流体 二、等角速度旋转坐标系盛有液体的容器，绕某一固定轴作等角速度转动，如图3.10所示。在旋转坐标系中，各点的加速度为式中， 为柱坐标沿r方向的单位向量。在此非惯性坐标系中，质量力场由两部分组成，重力场g及惯性力场a。容器中的液体相对于容器处于平衡状态，由静止流体平衡方程式 知2rreare22rgrgrzreeekagflf ddp)ddd()(d2zrrrgpzrrzeeeee zx图3.10 旋转坐标系o)dd(2rrzg（3.40）（3.41）zreee,Crgzp222（3.42）式中C为积分常数

33、。第三章 流体静力学 退 出返 回 第第5页页第六节 非惯性坐标系中的静止流体 同样由上述压力分布公式不难证明，在等角速旋转的坐标系中，静止液体的等压面、自由面、分界面均为抛物面。r z o o x y a0 图3.11 火车上的旋转水桶中水的自由表面例题例题3.5 火车在水平轨道上以等加速 运动，车厢中有一半径为R，盛水 的水桶绕铅垂轴oz以 等角速转动，足够长时间后，水桶中的水达到相对静止，如图3.11所示，求自由面形状 。ia00ahR2k),(yx),(yxz),(r解解：选取图示柱坐标系，自由面就是等压面 ， const，由（3.37）最后一式z0ppCrgrga22021cosdr

34、d2cosd0202202 ARrCgrrgaAhR2424CRRg第三章 流体静力学 退 出返 回 第第6页页第六节 非惯性坐标系中的静止流体 例题例题3.6 一圆筒形密闭容器，如图3.12所示，内装0.25m3的水，圆筒以 的等角速度绕铅垂轴旋转，达到相对静止状态，如自由面上的大气压力为pa，顶盖质量为5kg，试确定作用在顶盖螺栓上的拉力。解解： 容器体积为 ，故容器内有自由面。选取图示坐标系。且已知在 处 ，由（3.42）式得2241RghC2202221cos41rgrgaRghs /11025. 0352. 07 . 04 . 020, 0zzrapp 在自由面上 ，则假设自由面形状

35、如图，即 ，则zr1z00.7m0.4mro图3.12 旋转圆桶中水对顶盖的作用力2202)(rzzgppaappz ,02221zrg4 . 0, 7 . 011rrz2210217 . 0rgz)4 . 0(7 . 0d2217 . 02125. 02120221221rrrrgrgr第三章 流体静力学 退 出返 回 第第7页页第六节 非惯性坐标系中的静止流体 4 . 0m,1244. 0m,3359. 0101rzr4 . 07 . 018 . 95d)(rzaAppFN1268 . 95d2217 . 04 . 03359. 0220rrrzg解得 ，与上述假设符合。所以第三章 流体静

36、力学 退 出返 回 第第1页页第七节 表面张力与毛细现象 (a) (b) (c)图 3.13 表面张力现象 如果把一根棉线拴在铁丝环上，然后把环浸到肥皂水里再拿出来，环上出现一层肥皂薄膜，如图3.13(a)所示。如果用针刺破棉线左侧的薄膜，则棉线会被右边的薄膜拉向右弯，如图3.13(b)所示。如果刺破右侧，则棉线会被左边的薄膜拉向左弯，如图3.13(c)所示。液体表面的这种收缩趋势是由使液体表面收缩的力表面张力所造成的。表面张力沿着液体的表面作用并且和液体的边界垂直。一、表面张力第三章 流体静力学 退 出返 回 第第2页页第七节 表面张力与毛细现象 下面进一步分析上述现象的物理本质。在静止的流

37、体中，每一个流体分子都受到周围分子的吸引力的作用。分子间吸引力的作用半径r约为 mm。流体内部的任意一点，周围分子对它的吸引力是相互抵消的，处于平衡状态。但是对于液体表面附近的分子，受分子吸引力的情况就不同了。如图3.14所示，m为距液面为h的一个分子，若以m为中心，以引力作用半径r为半径作一球面，可见在MN和MN平面之间的全部流体分子对m质点的吸引力相互抵消，而MN平面以下的流体分子对m的吸引力无法平衡。因此m受到一个向下的拉力。显然，只有当m点离液面的距离 时周围分子对它的吸引力才能互相平衡，而在 的表面层内的分子都受到大小不同、方向向下的拉力的作用。表面张力就是液体表面层内的分子所受引力

38、不平衡的表现，它把液体表面层的分子紧紧地拉向液体内部。571010rh rh 第三章 流体静力学 退 出返 回 第第3页页第七节 表面张力与毛细现象 图3.14 表面张力产生的机理 rmMNMNhh如果把液面任意分开为两部分，则这两部分之间都有互相吸引的表面张力存在，并且垂直作用于二部分液体表面的分界线。液面分界线越长所表现出来的表面张力越大。常用作用于单位长度上的力来表示表面张力的大小并称为表面张力系数 ，也称毛细常量。常用的单位为Nm。在各种介质之间，互不相溶的液体间或液体与气体之间，分界面附近的分子都受到两种介质的分子力的作用。因此，通常所说的表面张力系数都是指流体对于某种介质而言的。表

39、3.1为实验测得的293K时几种常用液体的表面张力系数。表面张力系数随温度的升高而稍有降低。表3.2在不同温度下水对空气的表面张力系数。 表面张力的影响在大多数工程实际中是被忽略的。但是在水滴和气泡的形成，液体的雾化以及汽液两相的传热与传质的研究中将是重要的不可忽略的因素。 表 3.1 几种常用液体的表面张力系数介 质表面张力系数/Nm-1介 质表面张力系数/Nm-1水对于空气72.810-3水银对于水42710-3水银对于空气46510-3水对于煤油4810-3煤油对于空气2710-3表面张力系数随温度的升高而稍有降低。表 3.2 在不同温度下水对空气的表面张力系数。表 3.2 表面张力系数

40、随温度的变化C/Nm-1C/Nm-1075.610-34069.610-31074.210-36066.210-32072.810-38062.610-33071.210-310058.910-3第三章 流体静力学 退 出返 回 第第4页页第七节 表面张力与毛细现象 p0pSp0=p0+pSp0pSp0=p0-pS(a) (b)图3.15 毛细压力oRCrdldf2df1df图3.16 弯曲压力与表面张力的关系由表面张力引起的弯曲液面两侧的压力差，如图3.15所示，称为弯曲压力或毛细压力。设在液体表面取一块微小面积，则沿小块四周以外的表面对它作用有表面张力。力的方向与周界垂直而且沿周界处与表面

41、相切。如果液面是弯曲的，那么表面张力不是水平方向的。在这微小弯曲的法线方向就有一个表面张力的合力 。当液面凸起时 指向液体内部，则液体平衡时，表面内的压力为 ，如图3.15(a)所示。当液面下凹时， 指向液体外部，液体表面内的压力为 ，如图3.15(b)所示。其中 就是弯曲压力， 为液面外介质的压力。spspsppp0spsppp0sp0p二、弯曲压力A下面对弯曲压力 作进一步的分析。若取一块面积为 的球面。其周界为一圆，如图3.16所示。o为球心， 为球半径， 为 周界圆的半径。在 的周界上取一微小的线段 ，作用在 上的表面张力为 ，其方向与球面相切，即与球半径 垂直，并指向外侧。 可以分解

42、为 和 。 指向液体内部， 的方向与oC半径垂直。则沿 的周界表面张力在指向液体内部方向上的分力的总和为沿 周界的积分，即第三章 流体静力学 退 出返 回 第第5页页第七节 表面张力与毛细现象 spARrAAldl dlfddRf d1df2df1df2dflffdsinsindd1AAllrlfFsin2dsind11因为所以当 很小时，这个曲面可近似地看成是个平面，面积可近似地认为等于 ，即 。弯曲压力应为RrsinRrF212A2 r2 rA RrRrAFps22221（3.43）对肥皂泡，因为存在两个液体表面，因此它的弯曲压力应为由式（3.43）可见，弯曲应力的大小与表面张力系数成正比

43、，而与曲面的曲率半径成反比，曲率半径越小，弯曲压力越大。 第三章 流体静力学 退 出返 回 第第6页页第七节 表面张力与毛细现象 Rps4三、毛细现象在互不相混的液体间、液体和气体间或液体和固体间，其分界面附近的分子都将受到两种介质分子的引力作用，表面的形状将取决于相邻的两种物质的特性。当液体与固体接触时，液体分子间的引力大于液体分子和固体分子间的引力，则液体就自己抱成团与固体不浸润，如玻璃板上放一滴水银，则水银缩成一个小球，这种现象称为不浸润现象。水银对玻璃来说是不浸润液体。当液体分子间的引力小于液体和固体分子间的引力，则液体就能浸润固体表面。如把水滴在清洁的玻璃板上，水滴不但不能缩成小球，

44、而且很快向四周扩展，这种现象称为浸润现象，水对玻璃来说就是浸润液体。 在毛细管中液面上升或下降的高度显然与表面张力有关。图3.18表示浸润液体的毛细现象。如果管子很细，则管内的液面可以近似地看作个球面。设R为球面的曲率半径。根据式（3.43）曲面内的弯曲压力为 ， 的方向是向上的。曲面内测液体 处的压力为 。根据连通器的原理第三章 流体静力学 退 出返 回 第第6页页第七节 表面张力与毛细现象 把一根细管插入对它浸润的液体中，管中液面就会比自由液面高，而且在细管中呈凹形自由液面，如图3.17(a)所示。如果将细管插入对它不浸润的液体中，则管中的液面要比自由液面低，而且在细管中呈凸形液面，如图3

45、.17(b)所示。这种在细管中液面上升或下降的现象称为毛细现象，能产生毛细现象的细管子称为毛细管。 Rps2spCspp 0ghppps00Rghps2gRh2（a）式中， 液体的密度。 第三章 流体静力学 退 出返 回 第第7页页第七节 表面张力与毛细现象 由图3.18可得出式中， 毛细管内孔半径。将此关系代入式（a），得到式（3.44）亦可以用来计算不浸润液体在细管中的下降高度。只是此时 ， 为负值，所以 也为负值，表示液面是下降的，如图3.19所示。 图3.19 不浸润液体的毛细现象 rRcoscosrRrcos2grh2cosh（3.44）一般说来，水的 角在09范围内。而水银的 角在

46、130150范围内。毛细管很细时可近似地把液面看作一个半球面，则浸润液体的 角为0，不浸润液体为 。式（3.44）可简化为grh2（3.45）第三章 流体静力学 退 出返 回 第第8页页第七节 表面张力与毛细现象 毛细现象在日常生活和工农业生产中都起着重要的作用。例如，煤油沿着灯芯上升；地下水份会沿着土壤中的毛细孔道上升到地表蒸发等。当用直径很细的管子作测压计时由于毛细现象会引起误差，有时这种误差可能很大。例题例题3.7 图3.20为一液柱式压差计，测压计细管内径为2mm，若测得的液柱高 150mm水柱，试分析测量误差（管内液体对细管是浸润的）。h解解: 根据连通器原理知道AB为等压面，则（a

47、）弯曲压力 （b）式中 为由于毛细现象液面上升的高度。将式（b）代入式（a）得到由式（3.45）ghppps21hgpsh 图3.20 液柱式压差计ABhp1p1p2)(21hhgppgrh2第三章 流体静力学 退 出返 回 第第8页页第七节 表面张力与毛细现象 其中： 所以测量的相对误差为实际的压力差应为一般说来，当测压管直径大于20mm（对水）及15mm（对水银）时可以不考虑对毛细现象产生的误差进行修正。N/m108 .7233kg/m9983310199881. 9108 .722 hm1087.143%1187.1415087.14hhhOHmm13.13587.141502hh第三章 流体静力学 退 出返 回 第第1页页第八节 流体静压力的测量原理 流体静压力不仅可以用基本公式 来计算，而且还可以用各种仪表直接测定。这里主要介绍液柱式测压计。一、单管测压计ghpp0图3.21 单管测压计Ahpa单管测压计是最简单的测压计。通常用一根内径大于5mm的直玻璃管，一端和盛有液体的压力容器所要测量处的小孔相连接，另一端开口和大气相通，如图3.21所示。若液体在玻璃管中的上升高度为h，液体的密度为，则根据流体静压力的基本公