材料力学常用的基本公式

1、实用标准文案精彩文档1.外力偶（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式二金）3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN,横截面面积A拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）£Th = ttcnsOf=crcns = (l+cnsloI2I = fl sinor= crcDsasina- sin2aK " 25.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距I，拉伸后试样标距ii ；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径 d1）6.纵向线应变和横向线应变8.胡克定律9.10.11.12.13.14

2、.15.16.17.18.19.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式轴向拉压杆的强度计算公式许用应力，脆性材料，塑性材料延伸率截面收缩率剪切胡克定律拉压弹性模量xlOO%（切变模量 G,切应变gE、泊松比日和切变模量G之间关系式圆截面对圆心的极惯性矩（圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T,所求点到圆心距离 r）圆截面周边各点处最大切应力计算公式24.等直圆轴强度条件25.塑性材料26.扭转圆轴的刚度条件？T皿 <r；脆性材料Tl =(a8 - LO)01<111 180备二或20. 扭转截面系数",(a)实心圆护严WW

3、l = (1-a4)(b)空心圆'21. 薄壁圆管(壁厚Ro /10, Ro为圆管的平均半径)扭转切应力计算公式2翻77p=22. 圆轴扭转角®与扭矩T、杆长I、扭转刚度GHP的关系式I 碍I23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同(如阶梯轴)时27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式a厂 sin2a+rr cas2a2 x29.平面应力状态的三个主应力30.31.32.33.34.35.主平面方位的计算公式面内最大切应力受扭圆轴表面某点的三个主应力5二T,爲二0 , S二T三向应力状态最大与最小正应力4

4、迫5,耳山.一"；三向应力状态最大切应力广义胡克定律耐二討巧一"+為)E二【斫一讥6+°i)l%二巧一讽还+还）36.四种强度理论的相当应力亞=何 还r +（阿+（5 巧）上137.一种常见的应力状态的强度条件化汀4 F叫,%二心 +k <ffZ4ci38.组合图形的形心坐标计算公式>c" SA叱一 SA任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之39.和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径？(77Tif = J i =M41.纯弯曲梁的正应力计算公式43.MflILLILy m*i横力弯曲最大正应力计算公式

5、平行移轴公式（形心轴ZC与平行轴z1的距离为a,图形面积为A）麵_ E42.AA3 . h bh44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? " " 12 1 6 ，恋、D尬为中性轴一侧的横截面对中性45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式(轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度)矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处弯曲正应力强度条件几种常见截面梁的弯曲切应力强

6、度条件弯曲梁危险点上既有正应力6又有切应力T作用时的强度条件dUM(x) 梁的挠曲线近似微分方程iv口梁的转角方程56.梁的挠曲线方程dxdx + CjX +D57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计58.59.60.61.inarL.偏心拉伸（压缩）弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式圆截面杆横截面上有两个弯矩圆截面杆横截面上有两个弯矩同时作用时，合成弯矩为叫和孔同时作用时强度计算公式算公式62.右Jm'+D仍厂 冷Jm； +M； +673尸勻563. 弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式% = 2 +卅=+4云 <

7、cr% = 7?+3? = J（4 + s）'+3£mo1T=- <tj64. 剪切实用计算的强度条件二十兰|%17pEI65. 挤压实用计算的强度条件饥66. 等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67. 压杆的约束条件：(a)两端铰支 卩=1(b)端固定、一端自由卩=2(c )一端固定、一端铰支卩=0.7(d )两端固定 =0.5E70. 欧拉公式的适用范围71. 压杆稳定性计算的安全系数法72. 压杆稳定性计算的折减系数法73. 丄”归关系需查表求得3截面的几何参数序号公式名称公式符号说明(3.1 )截面形心位置十，yAaAAZ为水平方向 丫为竖直方向

8、(3.2 )截面形心位置送kA瓦yA，yc 送A送A(3.3)面积矩Sz = JydA，Sy = jzdAAA(3.4)面积矩Sz = £ A yi，Sy =A Zj(3.5)截面形心位置SySzzc =， yc=AA(3.6)面积矩Sy = Azc，Sz = Ayc(3.7)轴惯性矩1 z = J y?dA，1 y =A/z2dA(3.8 )极惯必矩1 p = J "dAA(3.9)极惯必矩lp=lz+ly(3.10)惯性积Izy = JzydAA(3.11 )轴惯性矩2 2 lz=izA，ly =iy A(3.12)惯性半径 （回转半径）"z.“必，iy r匚

9、A(3.13)面积矩轴惯性矩 极惯性矩惯性积Sz =无Szi，Sy =Z Syi1 z =丨zi，丨y = W丨yi丨 P 二为1 f?，丨 zy =丨 zyi(3.14)平行移轴公式z =丨 zc * a A21 y =1 yC + b A1 zy = 1 zcyc + abA4应力和应变序号公式名称公式符号说明(4.1 )轴心拉压杆横 截面上的应力N<1 =A(4.2 )危险截面上危 险点上的应力N max = "A(4.3a)轴心拉压杆的 纵向线应变Alz =l(4.3b)轴心拉压杆的 纵向绝对应变 1 = 1 - h = E.l(4.4a)(4.4ab胡克定理CT =

10、EECT z =E(4.5)胡克定理和 N 凶=EA(4.6)胡克定理A l Niil囤=迟削i =迟EA(4.7)横向线应变b d - bbb(4.8 )泊松比（横向 变形系数）讳1z = -vz(4.9)剪力双生互等 定理J = Wy(4.10)剪切胡克定理"GY(4.11 )实心圆截面扭 转轴横截面上的应力_ TP% =Ip(4.12)实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力丁TR1 P(4.13)抗扭截面模量 （扭转抵抗矩）I pWp =R(4.14)实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力TT=maxWt(4.15)圆截面扭转轴的 变形cp_T.lGlp(4.16)圆截面扭

11、转轴的 变形申=£ % =送 TiilGl p(4.17)单位长度的扭转 角半TQ =日=-丨Gl p(4.18)矩形截面扭转轴 长边中点上的剪 应力TT”max _Wt 一吋Wp是矩形截 面wt的扭转抵 抗矩(4.19)矩形截面扭转轴 短边中点上的剪 应力5 =氏max(4.20)矩形截面扭转轴 单位长度的扭转 角T = TGl t Gb4I T是矩形截 面的It相当极惯 性矩(4.21 )矩形截面扭转轴 全轴的扭转 角W1 _ T.ll4口，P *与截面咼宽比h/b有关的参数(4.22)平面弯曲梁上任 一点上的线应变yZ =P(4.23)平面弯曲梁上任 一点上的线应力EyCT =

12、 P(4.24)平面弯曲梁的曲 率1MP Elz(4.25)纯弯曲梁横截面 上任一点的正应力MyCT =lz(4.26)离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力M . ymax max |1 z(4.27)抗弯截面模量 （截面对弯曲 的抵抗矩）IWz = y max(4.28)离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力M max Wz(4.29)横力弯曲梁横截 面上的剪应力*“VS_I zbS；被切割面 积对中性轴的面积矩。(4.30)中性轴各点的剪 应力_ *VSz maxmax.Izb(4.31 )矩形截面中性 轴各点的剪应力3VTmax =2bh(4.32)工字形和T形截 面的面积

13、矩* * *= L A yci(4.33)平面弯曲梁的挠 曲线近似微分方程Elvz" = -M (x)V向下为正X向右为正(4.34)平面弯曲梁的挠曲线 上任一截面 的转角方程EI zv= Elz = fM (x)dx +C(4.35)平面弯曲梁的挠曲线 上任一点挠度方程Elzv = M (x)dxdx +Cx 十 D(4.36)双向弯曲梁的合成弯 矩m = Jm；+m y(4.37a)拉（压）弯组合矩形 截面的中性轴在Z轴上的截距21 yaz = % =ZpZp,yp是集中力作用点的 标(4.37b)拉（压）弯组合矩形 截面的中性轴在Y轴上的截距2i zay = yo =-yp5应

14、力状态分析序号公式名称公式符号说明（5.1）单元体上任一、八 意 截面上的正 应力 + cos2a 兀 sin 2 a 2 2 x（5.2）单元体上任一、八 意截面上的剪 应力J "y=£sin 2。+ Tx cos 2（5.3）主平面方位 角tan 2。x(g 0 与 J反号)J"y（5.4）大主应力的 计算公式CT +CTrxy 丄max _+ l|2 <CT -CTxy'、2 丿2+ t 2X（5.5）主应力的计 算公式十S+S1max _2"y ”< 2丿+ T 2Vx（5.6）单元体中的 最大剪应力max2（5.7）主单元体

15、的 八面体面上弋='Js f +( -3 2 +炉2 -乞 了3的剪应力(5.8 )a面上的线 应变名X +名y名X 名yC，xyc毎疔一+cos2a +sin2。2 2 2(5.9)a面与a +90o面之间的角应变?xy = (s 名y)s in 2a + ?xy cos2a(5.10)主应变方向公式y丄cxytan 2g0 =Yy(5.11 )大主应变E f J“ 2> ¥ ()Y 2 + xy4< 2丿(5.12)小主应变_ u 1厶-8 1Y 2 + xy4g 2 Y< 2丿(5.13)Yxy的替代公式"xy = 2勺5。-乞-乞(5.14

16、)主应变方向 公式tan 2%2Z o - 3 - 3450xyZ - sxy(5.15)大主应变z + z呂=xy + Imax 2 飞H - S450 '2+Zy 泾45。< 2丿2< 2丿(5.16)小主应变£ _ x ymax12 乜- '< 2丿2+frZy S450<2丿2(5.17)简单应力状 态下的胡克 定理aaaE x，名 y _ Tx，名 z _ TxEEE(5.18)空间应和状 态下的胡克 定理J J £ - Wy + E呂=t -v(c +CT J ye y' zx /-t(+OyJ Ey(5.19)平

17、面应力状 态下的胡克 定理（应变形 式）1纵=(<Jx VG" y )E1gy =百(片一0) s = -Qx 7)(5.20)平面应力状 态下的胡克 定理（应力形 式）E1 -v巧=2(%+S1 -v6=0(5.21 )按主应力、主 应变形式写 出广义胡克 定理1名1 =1 V ( C 2 + C 3 /1W2 = E L2 -V(Cf3 +6 )11% =已£ 巩耳性)(5.22)二向应力状 态的广义胡 克定理1名1 =孑円VCT 2)1= (CT 2 VCT 1)E® = -g®1 +讯)(5.23)二向应力状 态的广义胡 克定理E耳2(5+

18、讴2)1 -V丐2® +強2)1 -v22 W)1 -v% = 0(5.24)剪切胡克定 理Jy = _G ；'xyT =G yzJ1yzT =Gzx2 zx6内力和内力图序号公式名称公式符号说 明(2.1a)(2.1b)外力偶的 换算公式Te =9.55Nk nNpTe = 7.02 n(2.2 )分布何载集度 剪力、弯矩之 间的关系dV(x)(、 =q(x) dxq（x）向上 为正(2.3 )dM(X)=V(x) dx(2.4 )2d M(x),、 2-q(x)dx7强度计算序号公式名称公式符号说明(6.1 )第一强度理 论：取大拉应 力理论。6 = fut（脆性材料）当

19、1时，材料发生脆性断W = fu （塑性材料）裂破坏。(6.2 )第二强度理 论：最大伸长 线应变理论。当口 1T（S+S） = fut（脆性材料）时 材 S（ +" = f；（塑性材料）' '料发生脆性断裂破坏。(6.3)第三强度理 论：最大剪应 力理论。当 D! _口3 =6 =：（Z料）时'材料发生剪切破坏。(6.4)第四强度理 论：八面体面剪切理论。当皀性材料） 脆性材料）f +(Wf +(62 = fy(塑_2 f +9l _3+(2 _3 2 = fuc( 2时，材料发生剪切破坏。(6.5)第一强度理 论的相当应 力(6.6)第二强度理 论的相当应

20、 力口2 =口1 -7(° 2*口 3)(6.7)第三强度理 论的相当应 力°3 =口1 一°3(6.8 )第四强度理 论的相当应 力=”1上1 _2 2 +(1 _石3 f +(3 2 1(6.9a)由强度理论 建立的强度 条件/牛(6.9b)(6.9c)(6.9d)由直接试验 建立的强度 条件-max 兰S bcmax 兰%Emax兰可(6.10a)(6.10b)轴心拉压杆 的强度条件N ”tmax =兰°AIn|° c max =兰 cA(6.11a)(6.11b)由强度理论建立的扭转轴的强度条件(6.11c)maxT .十WT1.（适用

21、于脆性材料）*T-1 =：；1 Zmax空“(适用于脆性WT材料)；.2 = ；“ 1 1 (:- 2 J =max 一' (0 一 max) =(1 _)max 乞66一6 hmax 一 - max i=2max 岂匚(6.11d)=3 max乞刁喰毗2（适用于塑性材料）张计与（适用于塑性材料）(6.11e)由扭转试验建立的强度条件max心(6.12a)(6.12b)平面弯曲梁的正应力强度条件fax J"十tc maxMlWZ十c(6.13)平面弯曲梁 的剪应力强 度条件*VSZ max. r -I” max 一 : 兰”Izb(6.14a)(6.14b)平面弯曲梁 的主应

22、力强 度条件<r3 = Jct?兰qJ= J/ +兰ct(6.15a)(6.15a)圆截面弯扭 组合变形构 件的相当弯 矩*:M；+m；+t2 m36 坊1 一口'3 -WW£ = J &1 _匹 2 +(6 _坊3 f +(6_6 2 Il 22 2 2 *M +My +0.75TM4-W- W(6.16)螺栓的抗剪 强度条件4N£ -" n兀d(6.17)螺栓的抗挤 压强度条件bNb.耳兰QcC匹t(6.18)贴角焊缝的 剪切强度条 件WW0.7hJ lw8刚度校核序号公式名称公式符号说明(7.1 )构件的刚度 条件 maxi玉l(7.2

23、 )扭转轴的刚 度条件日兰日Gl p(7.3 )平面弯曲梁 的刚度条件Vmax /V = s ll9压杆稳定性校核序号公式名称公式符号说明(8.1 )两端铰支的、 细长压杆 的、临界力的 欧拉公式代1l2i取最小值(8.2 )细长压杆在 不同支承情 况下的临界 力公式p h2EIcr(KI)2Io =卩lo 计算长度。卩一长度系数；一端固定，一端自由：卩=2一端固定，一端铰支：4 = 0.7两端固定：卜=0.5(8.3)压杆的柔度.KI扎=ii=丄是截面的惯性 A半径（回转半径）(8.4)压杆的临界 应力CT =PCLcuAh2E cu - 2扎(8.5)欧拉公式的 适用范围w|e丸 >

24、= n J fp(8.6)抛物线公式当九兰人一兀J时，"o.57 fy九2 %r = fyW）2fy 压杆材料的屈服极限；« 常数，一般取a = 0.43扎2Per =%A= fy1g(l).A 兀(8.7)安全系数法 校核压杆的 稳定公式PcrP 兰汙=Pcr kw(8.8 )折减系数法 校核压杆的 稳定性PCT =兰® .CT A® 折减系数山曽，小于110动荷载序号公式名称公式符号说明（10.1）动荷系数WFdNd也 dPjNj巧纠P-何载 N-内力 g -应力 也-位移 d-动 j-静(10.2)构件匀加速 上升或下降 时的动荷系数心=1+旦ga

25、-加速度g-重力加速度（10.3）构件匀加速 上升或下降 时的动应力d = Kdj =(1 + a)jg(10.4)动应力强度条件max = Kd° j max 兰° CT-杆件在静何载作用的容许应力（10.5）构件受竖直方向 冲击时的动荷系数亠R 2HKd十厂瓦H-下落距离（10.6）构件受骤加何载 时的动荷系数Kd = 1 +1 + 0 = 2H=0(10.7)构件受竖直方向 冲击时的动荷系 数1v2© =1+ 1+v-冲击时的速度(10.8)疲劳强度条件%max 兰b 冋=KCTp-疲劳极限Bp-疲劳应力容许值K-疲劳安全系数11能量法和简单超静定问题序号公

26、式名称公式（9.1）外力虚功：厂只厶+巳亠讪点彳十二瓦Rd（9.2）内力虚功：W=瓦MdT瓦（VdAY瓦（NMI 瓦Td®（9.3）虚功原理：变形体平衡的充要条件是： We + W = 0（9.4）虚功方程：变形体平衡的充要条件是：We = l（9.5）莫尔定理：'二工 jM d日乜 VdAY 吃 NdA| 乜（T d®111JI（9.6）莫尔定理：A vM 丄fKVV丄tNN丄fTT也一送dx+瓦 Jdx+瓦 Jdx+瓦 Jdx1 El1 GA1 EAGlp（9.7）桁架的莫尔定理：A亍NNl、=2 1EA(9.8 )变形能：U = -W （内力功）(9.9)变形

27、能：u（外力功）(9.10)外力功表示的变形能：1111U = R 也1 + P2也2 + . Pii =艺 RA| 2222(9.11 )内力功表示的变形能：2 2 2 2M（x）dx+KV（x）dx吃厂&& +送 J &九1 2EI“ 2GA吟 2EA1 2GI p(9.12)卡氏第二定理：也i =(9.13)卡氏第二定理计算位移公式：A =瓦 Jdx +送 Jdx+瓦 Jdx+E fdx'El 甲"GA1 EA cP!GlpP(9.14)卡氏第二定理计算桁架位移公式：也T N律EA(9.15)卡氏第二定理计算超静定问题：细送（dx 0BEl cR

28、B(9.16)莫尔定理计算超静定问题：也By 送（曰dX 0(9.17)一次超静定结构的力法方程：心11 X1 + 1 p 0(9.18)X!方向有位移也时的力法方程：01 X1 + 1p = A(9.19)自由项公式：血lM M p=瓦J dx 耳El(9.20)主系数公式：2讪订眷X(9.21 )桁架的主系数与自由项公式：22IT"NZ吟EA材料力学公式汇总、应力与强度条件1、拉压Amax<fc2、剪切max3、4、5、6、挤压匚挤压圆轴扭转平面弯曲斜弯曲maxvTt'1二 max<fr"-'t max-cmax'-max M max

29、IzM maxIzWzmaxy t max - '- t maxy cmax - '- cnax*QmaxSz max .： I |-maxIz bMzMyWzWymax拉（压）弯组合"-'max<EtJ t maxAWzN M z=J A IzmaxcmaxM zy c maxIz-t'c 1注意：“5”与“ 6”两式仅供参考7、圆轴弯扭组合：第三强度理论S3 八丁 W 4 2.mW m2<Lwz第四强度理论-r4<tWz二、变形及刚度条件1、拉压NiLiN(x)dx=1EAEAl EA2、扭转不 TLL6=龙Ti LiT xdx.

30、 GT 180°GI p 一 GI p_ L _GI p 二(/m )GI p3、弯曲(1)积分法：Ely "(x) =M (x)Ely'(x) =Elr(x) = jM(x)dx CEly(x) = M (x)dxdx Cx D(2) 叠加法:fPi,P2二 fPifP2+， rPi,F2二rPl广：P2(3) 基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情 况赋予正负号)MLElML22EIPLPE13EI-Bf B1 3qL8EIACB'ML_LJML a ML忑,-A =.3 3EI6EI也A = d24EI r ML2 f c 二,416EIqL384 EI(4)弹性变形能(注：L/2屯 “AB A 16EIfc以下只给出弯曲构件的变形能，并忽略剪力影响,其他变形与此相似，不予写出)2EIU 二 M 2L 二 3 j2Li = M 2 x dx 2EI = 一 2Elj = 2EI(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)