三年高考高考数学试题分项版解析-专题17-椭圆-文

1、三年高考高考数学试题分项版解析-专题17-椭圆-文 作者: 日期：专题17椭圆文考纲解读明方向考纲解读考点内容解读要求常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程_L|=r|-r ULAr|-r /-r选择题解答题2.椭圆的几何性质掌握椭圆小J止义、几何 图形、标准方程及简单 性质«s填空题解答题3.直线与椭圆的位置关系«s解答题分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化 为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程

2、、椭圆的 性质以及直线与椭圆的位置关系为主，与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强，分值约 为12分,难度较大.2018年高考全景展示1.【2018年全国卷II文】已知修，生是椭圆。的两个焦点，外点上的一点，若明 且"F = 60则匕.的离心率为A. 2 b. 2-声 c. 2 d.道-1【答案】D【解析】分析：设忙1 =巾，则根据平面几何知识可求 尸产/IPFJ,再结合椭圆定义可求离心率.详解:在MkPB中，逐尸鸟=90匕玩工二 60、造尸乙=" 则合=内后| = 2弗伊b=t币内又由椭园定义可知力=1峭| +区0|=3+1)叫则离心率蔡=溜故选二 q . 口 a a

3、+1J点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.22.【2018年浙江卷】已知点P(0, 1),椭圆*+y2=m(m>1)上两点A, B满足心=2明，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大.【答案】5【解析】分析：先根据条件得到A, B坐标间的关系，代入椭圆方程解得 B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设述由而=2丽F = 2松 1 f =

4、 2(ys- D-f = 2yL 1因为HE在椭图上手斤以*+ Ji =-二十y? = m.亨十(2比一 3产=m. a号+ (y上一芋=j与三4理=m对应相城得久二三，一理=Wj?i+ 9J <也当且仅当佗=5时取最大值， w鼻4点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.22十 = 1(口 > A > 0)3.【2018年天津卷文】设椭圆旷 犷的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离科心率为3 AB

5、=比（I）求椭圆的方程;（II ）设直线。=依W<0）与椭圆交于门。两点，与直线AH交于点M且点P, M均在第四象限若月PM的面积是面积的2倍，求k的值.3=1 -I【答案】（1尸 4； （H） <+ 【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得=3石=2.则椭圆的方程为9 4（II ）设点P的坐标为出必），点M的坐标为任必），由题意可得勺%.（x2 y2易知直线口区的方程为+ 3y = 6,由方程组可得" = 5TT7.由方程组可得】N群+工结合立二酩,可得* 一 §,k= 1或之.经检验的值为工17亡_5详解：（I）设椭圆的焦距为2c,由已知得一又由/=庐+

6、 /,可得% = 3%由2.所以，椭圆的方程为以川二口”"从而"制 = 1（ID设点尸的坐标为0】沙点出的坐标为（工加为工由题意，h =点Q的坐标为小，）.由 BFM的面枳是心6PQ面积的2倍,可得巴叫叫PQI,从而J - h三2g - LJ,即七三54易知直线儿园的方程为2某+ 3y = 6,由方程至2x 4 3y = 6., 后 &忏JU洎去3可何4二诉.由方程组彳=L消去小"-匕.可得打三福元.由力三5工”可得、荷百三50k+2）,两边平方j整理得1日小十25府十吕三L解得”一,或八一京当=一封,力=一9<%不合题意，舍去三当"一封，

7、如= 12,力=拳 符合题意.所以，上的值为一三X点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确 确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视 根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22的离心率为3 ,焦距为2风斜率为kAf: I- 4.【2018年文北京卷】已知椭圆 / 后 的直线l与椭圆M有两个不同的交点A, B（I ）求椭圆M的方程;（R）若仁工求以抑的最大值;（m）设P（-2,0）,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D若C, D和点”.拒共线，求k.【答案】（I）

8、A'3 （口）打（明1【解析】分析：（1）根据题干可得口力£的方程组，求解/的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为y = T+m,联立，消y整理得4/+6血+ 3册*-3=。，利用根与系数关系及弦长公式表示出求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C.Q三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率 £ _£_理详解：（I ）由题意得a二2w，所以匚二媳，又3 ,所以口二三所以M =,所*'+ 2 1以椭圆M的标准方程为百十 , -1.（H）设直线小才的方程为卜=才+加消去 y 可得 4.+ 6" +

9、3rn2-3 = 0设4勺必），可气为），则43力，4x4（3m，3）=MJ12">0,即*<4,时，= 故M用的最大值为、石.<in>设*丽沙1,力贝ij舄十3道二3 ©J据十力$ = 3Jy = k （#+ 2）W一 :消去阿得一+ y£ = 12"Cl-b3H）iI+12 + 12Ai-3 = aj则七+二三一芸，即居三一等一又三土1代人式十nM. r -OiT-|十！i可得加二受詈1所以及二六J所以二亍I/），同理可得见芳言.5二:. 鼻丸十f4.4,1 T f>4_1l|i- i 工土十壬九十二十i,故而=值十：/

10、1 一%而=&十。一力因为QC口三点共线，所以（石+5。-4-=） 一（%+ 3613 = %将点JD的坐标代入化简可得 =U即= 1.点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到。也d三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式 =变形为,1 = 4币，、限1 +切2-4%工再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量 的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量 关系求解.2017年高考全景展示221的离心率是1.12017浙江，2】椭圆y- 94A.、133B.C.D.【解析】试题分析：e &

11、#39;9,选B.33【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a, b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.222.12017课标1,文12设A、B是椭圆C： 土工1长轴的两个端点，若C上存在点M满3 mB.(0,3U9,)D. (0, 3U4,)足/AM=120° ,则m的取值范围是A. (0,1U9,)C. (0,1U4,)【答案】A【解析】 试题分析：当.焦点在x轴上，要使一存在点“满足4由=，则萨由6。

12、=# 即4之小，得OwmWh当焦点在F轴上,要使C上存在点，满足/田四=LO则7窜工“an 60'。,即十二馅，得刖29,故m的取值范围为（。9,+电，选3.【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题.解答问题的关键a-是利用条件确止a,b的关系，求解时充分借助题设条件AMB 120转化为- tan 60 3 3 ,b这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论.223.12017课标3,文11已知椭圆C：今当1, （a>b>0）的左、右顶点分别为 A, A2,a b且以线段AA为直径的圆与直线bx ay

13、2ab 0相切，则C的离心率为（）D. 1B 3B.3C2 C.3【解析】以线段AA2为直径的圆是x2y2 a2,直线 bx ay2ab 0与圆相切，所以圆心到2ab直线的距离d / 22 a，整理为,a2 b2a2 3b2，即 a2 3 a22c22a2 3c2,即三ae a泉故选A.【考点】椭圆离心率a,b,c 的【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a，c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等 式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等4.【2017课标II ,文201设O为坐标原点，动点

14、M在椭圆力 + y-上，过M#x«uuir -uuur线，垂足为N,点P酒足NP 亚NM(1)求点P的轨迹方程; 设点Q在直线x3上，且OP Pur 1 .证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【答案】(1)/十/ 二 2 (2)见解析【解析】 试题分析：(1)转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程，(2)证明直线过定点问题,uur uuirOP PQ般方法以算代证：即证行,先设P (mi n),则需证3 3m tn 0,根据条件1可得，3m m2 tn n2 1 ,而加"+ 日上二2,

15、代入即得3 3m tn 0.试题解析:设P V), u :则x7加，布=(工丽=9打)由而三二汉而得口三Ch y产会.因为V3口/,力在C上，所以?-9 = ：.因此点？的轨迹为+-尸二?.|(2)由题意知 F (-1,0 )，设 Q (-3 , t) , P (mi n),则0Q- (-3,行.冲=f-l-m,-.，。4滓=3+3巾-5，&：_ :用_ <i：:叱- :.:":匕.由口1，七二1得3m m2 tn n2 1 ,又由(1)知/+川二 ,故3 3m tn 0.所以门&T中=0,即，口&U5.又过点P存在唯一直线垂直于OQ所以过点P且垂直于O

16、Q勺直线l过C的左焦点F【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.5.12017北京，文19已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0) , B(2,0),焦点在x轴上，离心率为. 2(I )求椭圆C的方程；(H)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M, N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDEf

17、zXBDN的面积之比为4:5 .2【答案】(I) - y2 1 ; (n)详见解析.4【解析】 试题分析：根据条件可知a吟亭以及b2 a2 c2,求得椭圆方程；印)设M (m,n),则D(m,0), N(m, n),根据条件求直线DE的方程，并且表示直线BN的方程，并求1BD | Ye|两条直线的交点，根据 S晅 2,根据坐标表示面积比值1SBDN 2 BD yN试题解析：()设椭圆c的方程为二一二 优 ',<3 = 2,由题意得事解得厂力.匕=丁P卜.曰 = b L = 1 .所以椭圆。的方程为f+F=1.(H )设 M (m,n),则 D(m,0), N (m, n).由题设

18、知m 2 ,且n 0.直线AM的斜率kAM,故直线DE的斜率kDEm 2所以直线DE的方程为ym，(x m).n直线艮¥的历程为y=联卫V出十2 j 4?7以 解得点上的纵坐标J”一芒箸由点M在椭圆C上,得4一响所以此=-y.又 S.月a = BL)-RD所以公DE与的面枳之比为4:5.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能 力，解答此类题目，利用a,b,c,e的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标, 再根据

19、面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力 不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解 决问题的能力等.2byr 1(a b 0)的左、右焦E上，且位于第一象限，过26.12017江苏，17 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：与 a点分别为Fl, F2,离心率为1,两准线之间的距离为8.点P在椭圆点F1作 直线PF1的垂线11 ,过点F2作直线PF2的垂线12.（1）求椭圆E的标准方程;（2）若直线E的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.【答案】（1） W M 1 （2）（41，亚） 4377【解析】解：（1）设椭圆的半焦

20、距为c.因为椭圆E的离心率为1,两准线之间的距离为8,所以c 12，与8，解得a 2,c 1 ,于是b73,22因此椭圆E的标准方程是土 £ 1.43（八由（1）知，石（一L。），EQ。），设（三J；"因为点尸为第一象限的点，放三。0"： >0.当七=1时，I：与相交于耳，与题设不符.当£工1时，直线月月辍率为直线总三的斜率为 j.r； +1-1一工.+1x* - 1因为（1尸耳j 1.1 PF.,所以直线%的能率为一一，直线的斜率为- I "力1 S产从而直线4的方程：岁=三仃+D, V芸/1：的方程=-（犬-D . ®6由，

21、解得Xx0,y,所以Q（V。x。*).y。因为点Q在椭圆上，由对称性,2x。y。2222y。，即X。y。1 或 x。y。1又P在椭圆E上，故媪,1. 43X y0 1一.一 X y2 1由%y2解得X0警,y0浮,ky；无解.- 177- 143434.7 3.7 (一 ，一) 因此点P的坐标为 77.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥.曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.2016年高考全景展示1.12016高考新课标1文数】直线l经过椭圆的一个

22、顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距一 ,1 离为其短轴长的4,则该椭圆的离心率为()(A) 1(B) 1(C) 3(D) 43234【答案】B考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题，求解此类问题的一般步骤是先列出等式，再转化为关于a, c的齐次方程，方程两边同时除以 a的最高次哥,转化为关于e的方程，解方程求e .222.2016高考新课标出文数已知。为坐标原点，F是椭圆C：金学1(a b 0)的左焦 a b点，A,B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M ,与y轴交于点E .若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()1

23、123A) -B) -C) -D)-3234【答案】A【解析】试题分析油题意谩直线I的方程为1=收工+白,分却及K=F与或=Q得点FU =kg_=, DE=0;105 I no Me产 1i由SOBE - ACBM，得-二上土 .即二一灌理j得E二士 ,所以椭圆离心率为咤二FM BC 比"0 口 + 匕a 33故选机考点：椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得a,c的值，进而求得e的值；（2）建立a,b,c的齐次等式，求得b或转化为关于e的等式求解；（3）通过特殊值或特 a殊位置，求出e .223.12016高考新课标2文数】已知A是椭圆E

24、： 土上1的左顶点，斜率为k k>0的直线43交E与A, M两点，点N在E上，MA NA.（I ）当 AM| AN时，求 AMN的面积；（H）当 AM| AN 时，证明：73 k 2._144. _【答案】（I ） 一 ； （n）3/2,2 .49【解析】试题分析：（I）先求直线 AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求 AMN的面积；（H）设M X1,y ,将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去 y,用k表示X,从而表示| AM | ,同理用k表示| AN |,再由2 AMi AN求k .试题解析：（I）设M（X1，y1）,则由题意知 0.由已知及椭圆的对称性知，直线 AM的倾斜角为-,又A（ 2,0）,因此直线 AM的方程为y x 2.22将X y 2代入乙匕1得7y2 12y 0, 43,12 一 12解得y 0或y上，所以9 £ 77一.一一1 12 12 144因此AMN的面积Samn 2 -.2 7749 C）将直线AV的方程y =*工+ R依> 0）代入+，= 1得（升 W）/-1 6-16 -12 = 0由再<-2）=吟吉得的=洋二善，故I凡=|=百+讣与字. 3 + 4tj + 4ic3 4-4k由题优 直线灯的方程为J=二（"小 故同理可得 的 十K4+由 21 .必，R 月单得=-