研究生优化理论各种算法代码及运行结果

1、机械优化设计目录：1.1 进退法-3-1.1.1进退法的原理和流程图-3-1.1.2进退法程序代码-4-1.1.3程序的调试及运行结果-5 -1.2黄金分割-6-1.2.1黄金分割法的原理和流程图-6-1.2.2黄金分割法的程序代码-7-1.2.3程序的调试及运行结果-8-1.3 二次插值-9-1.3.1二次插值确定搜索区间的原理和流程图1.3.2二次插值的程序代码-10-1.3.3程序的调试及运行结果-12-1.4牛顿型法-13-1.4.1牛顿型法的求极值的原理及其流程图-13-1.4.2牛顿型法的程序代码-15-1.4.3程序的调试及运行结果-17 -1.5 鲍威尔法-18-1.5.1鲍威

2、尔法的流程图-18-1.5.2鲍威尔法的程序代码-19 -1.5.3程序的调试及运行结果-22 -1.6 复合型法231.6.1复合型法的求极值的原理及其流程图23 -1.6.2复合型法的程序代码-24 -1.6.3程序的调试及运行结果30 -1.7 内点惩罚函数法-30-1.7.1内点惩罚函数法的求极值的原理及其流程图-30-1.7.2内点惩罚函数法的程序代码-31 -1.7.3程序的调试及运行结果-34 -2.1圆柱齿轮减速器的优化计算-34-2.1.1圆柱齿轮减速器优化问题的背景342.1.2圆柱齿轮减速器的优化设计-35 -2.1.2.1目标函数的确定-352.1.2.2约束条件的确定

3、-37-2.1.3求解优化问题的程序代码-40 -2.1.4程序的调试及运行结果-42 -3.1体会及建议-43-附录44(1 ) fmincon 函数 44 1.1 进退法111进退法的原理和流程图进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是:/（兀）为单谷函数（只冇一个极值点），lia,b为其极小值点的一个搜索区间，对 /(xj)< f(x2)9贝lja,x2为极小值的搜索区间,如果/(x)> /(x2),则w，b为 极小值的搜索区间。不断重复即可得到所需的区间。x2 g a.b,1.1.2进退法程序代码h=input(,if输入步长的值 a仁input(

4、'请输入a1的值门； y1=xsf(a1);a2=h;y2=xsf(a2);if y2>y1h=-h;a3=a1;y3=y1;a1=a2;y 仁 y2;a2=a3;y2=y3;enda3=a2+2*h;y3=xsf(a3);while y2>y3h=2*h;a1=a2;y 仁 y2;a2=a3;y2=y3;a3=a2+2*h;y3=xsf(a3); end a1 a2 a3 yi y2 y3 子程序： function y=xsf(a) y=aa4-aa2-2*a+5;1.1.3程序的调试及运行结果在进退法确定根所在的区间里面，我们所取的算例是y二at-aj-2*a+5,并

5、 且取初始值ao=o, h=0. io程序运行后可得到根所在的区间为（0.3, 1.5）。与所 给的算例的跟区间一致。command window» untitled请输入ho的初始值:0l 请输入ao的值al =0.3000a2 =0.7000a3 =1.5000yi =4.31813. 3501ael 1-2.进退法确定根所在的区间的程序运行结果1.2黄金分割1.2.1黄金分割法的原理和流程图黄金分割法是建立在区间消去法原理的基础上的试探方法，即在搜索区间 a, b内适当插入两点0、也、并计算其函数值。0、将区间分成三段。应 用函数单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其屮一段，使

6、搜索区间得以缩短。 然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小, 从而得到极小点的数值近似解。1.2.2黄金分割法的程序代码a二input('请输入a的值:*) b二inputs请输入b的值:*) e=input('1w输入e的值:*) syms s,a,b,ii=1;h=0.618;a1=b-h*(b-a);y1=hjfg(a1);a2=a+h*(b-a);y2=hjfg(a2);while i=1switch y1>y2case 1a=a1;a1=a2;y 仁 y2;a2=a+h*(b-a); y2=hjfg(a2);if abs(y2-y

7、1)/y2)<e i=0endcase 0图1-3黄金分割法程序框图b=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-h*(b-a);y1= hjfg(a1);if abs(y2-y1)/y2)<ei=0endendenddisp('最后的结果s')s=(a+b)/2子程序：function f=hjfg(a)f=aa2+2*a;1.2.3程序的调试及运行结果在黄金分割法确定极小值里面，我们所取的算例是f二*2+2*a,并且取初始 搜索区间为-3,5,即沪-3, b二5。程序运行后可得极小值点s二-1.0013。课本上 给的算例的运行结果为-1.0007o程序运行的结果基

8、本一致。本程序所取得精度比较低。command window1.0000e-05a =-3crei =0最后的结果ss =-1.0013a» i图1-4.黄金分割法确极小值的程序运行结果13 二次插值1.3.1二次插值确定搜索区间的原理和流程二次插值亦称抛物线插值。现已知函数f(x)在x0, xl, x2处的函数值，这 时作一个二次多项式 y = p2(x) o 通过 3 点 a(x0, y0), b(xl, y 1), c(x2, y 2) 作一条曲线來近似代替函数f(x),如果a, b, c 3点不在同一直线上，作出曲 线则是抛物线。所需构造插值函数p2(x)为x的二次函数，其形

9、式为p2(x)= a0 + alx + a2x2(1.1)式屮，为待定常数。将a, b, c3点坐标分别代入上时即可得到一个关于ao, al, a2 的三元一次联立方程组，解这个方程可得出插值的多项式p2(x)的3个系数。利 用基函数的性质可以更为简便地构造p2(x),这种插值称为二次插值或抛物线插 值。片一齐冲一片耳 & _耳)巧一耳无一花p2(x)二yo+不一忌+ 巧-齐 (x- xo) (x- xl) (1.2)1.3.2二次插值的程序代码a仁input('请输入的值：') a2二input('请输入a2的值:') a3二input('请输

10、入a3的值：) e二input('请输入精度e的值：') h二input。请输入步长h的值：') y1=eccz(a1);y2=eccz(a2);y3=eccz(a3);c1=(y3-y1)/(a3-a1);c2=(y2-y1 )/(a2-a1)-c1 )/(a2-a3); ap=0.5*(a1 +a3-c1/c2);yp=eccz(ap);while abs(y2-yp)/y2)>=eif (ap-a2)*h>0if y2>ypa 仁 a2;y 仁 y2;a2=ap;y2=yp;elsea3=ap;y3=yp：endelseif y2>yp;a

11、3=a2;y3=y2;a2=ap;y2=yp;elsea1=ap; y 仁 yp;endendif y2<ypam=a2;elseym=y2;am=ap;图仁5二次插值的程序框图ym=yp;endendamym后面是子函数： function y二eccz(a) y=sin(a);1.3.3程序的调试及运行结果在二次插值法确定在一个区间的极小值里面，我们所取的算例是y=sin(a), 并且取初始搜索区间为4,5,取al=4,a2=4.5,a3=5o程序运行后可得极小值点 am二4.711,极小点出的函数值为-1000。课本上给的算例的极小值为4.710594, 极小点处的函数值为-0.

12、999998。程序运行的结果基本一致。请输入a3的值:5a3 =5请输入e的值：0.00001 e =1. 0000e-05请输入h的值：0. 1h =0.1000ait =4.7111ym =-1.0000图1-6.二次插值法确定极小值的程序运行结果1.4牛顿型法1.4.1牛顿型法的求极值的原理及其流程图在点的邻域内，用一个二次函数0來近似代替原目标函数，并以 0(兀)的极小点作为原目标函数的极小点的近似值，若不满足收敛精度要求， 则将该近似极小点作为下一次迭代的初始点。如此反复迭代，直到所求的近似极 小点满足收敛精度要求为止。顿迭代法屮迭代点的位置是按照极值条件确定的， 其中并未含有沿下降

13、方向搜寻的概念。因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿 法迭代公式，有时会使函数值上升，即出现/(+,)>/()的现象。而且这类方法的主要缺点是每次迭代都耍计算函数的二阶导数矩阵，并对该矩阵求逆。这 样工作量很大。图牛顿型法的程序框图1.4.2牛顿型法的程序代码syms a1 a2 ak a3 a4 adx0=a3,a4;xo二input('请输入xo的值：')e二input('请输入精度e的值：)k=0;s1=diff(f,a1,1);s2=diff(f,a2,1);g=diff(f,a1,2),diff(s1 ,a2,1 );diff(s2,a1,1 ),dif

14、f(f,a2,2);s=subs(g,a1 ,a2,x0(1 ),x0(2);k=in v(s);q=diff(f,a1,1),diff(f,a2,1);w=subs(q,a1,a2,x0(1),x0(2);w1=w'xx二xo：dk=-k*w1;x1=xx+ad*dk;s3=f(x1(1,1),x1(2,1);m=diff(s3,ad,1);add=solve(m);x1=xx+add*dk;while abs(x1-xx)<e ao=a1;s1=diff(f,a1,1);s2=diff(f,a2,1);g=diff(f,a1,2),diff(s1,a2,1);diff(s2,

15、a1,1),diff(f,a2,2);s=s u bs(g, a 1, a2, xo( 1) ,xo (2);k=inv(s);q=diff(f,a1,1),diff(f,a2,1);w=subs(q,a1,a2,x0(1),x0(2);w1=w*;dk=-k*w1;xx=xo'x1=xx+ad*dk;x2=x1*;s4=f(x2(1,1),x2(2,1);m=diff(s4,ad,1);add=solve(m);x1=xo+add*dk;endxm=x1;xm子程序：function y二f(a1,a2)syms a1 a2y=a1*a1+25*a2*a2;1.4.3程序的调试及运行

16、结果在牛顿型法求所给的函数的极值里面，我们所取的初始搜索点为2 2,算 例是y二al*al+25*a2*a2,精度e为0. 000010程序运行后可得极小值点xm二0;0, 极小点岀的函数值为0。课本上给的算例的极小点为0;0,极小点处的函数值 为0o程序运行的结果基本一致。图1 &牛顿型法确定函数的极值的结果图1.5 鲍威尔法151鲍威尔法的流程图图1-9.鲍威尔法的程序框图1.5.2鲍威尔法的程序代码syms mxo二input('请输入xo的值:') e=inputfiw输入精度的值 x00=x0;d10=1；0；d20=0;1；m=dd(bb,xoo,d1o);

17、x10=x00+m*d10;yoo=subs(bb,findsym(bb),xoo);y1 o=subs(bb,findsym(bb),x10); d1=yoo-y1o;m=dd(bb,x10,d20);x20=x10+m*d20;y20=subs(bb,findsym(bb),x20);d2=y10-y20;while norm(x10-x00)>e m=dd(bb,xoo,d1o); x10=x00+m*d10;yoo=subs(bb,findsym(bb),xoo); y10=subs(bb,findsym(bb),x10);d 仁 yoo-y1o;m=dd(bb,x10,d20)

18、;x20=x10+m*d20;y20=subs(bb,findsym(bb),x20);d2=y10-y20;x30=2*x20-x00;y30=subs(bb,findsym(bb),x30);d30=x20-x00;d=max(d1,d2);if (y30vy00)&&(y00-y20-d)a2*(y00-2*y20+y30)<0.5*d*(y00-y30)a2)if d1>d2d10=d20;d20=d30;x00=x30;elsed20=d30;x00=x30;endm=dd(bb,xoo,d1o);x1o=xoo+m*d1o;yoo=subs(bb,fin

19、dsym(bb),xoo);y10=subs(bb,findsym(bb),x10); d1=y00-y10;m=dd(bb,x10,d20);x20=x10+m*d20;y20=subs(bb,findsym(bb),x20); d2=y10-y20;x30=2*x20-x00;y30=subs(bb,findsym(bb),x30);d30=x20-x00;d=max(d1,d2);elseif y20<y30x00=x20;elsex00=x30;endendendx=x20子程序：function m=dd(f,y0,d1)syms my1=yo+m*d1;k7=subs(f,f

20、indsym(f),y1);k8=diff(k7,m,1);k9=solve(k8);m=k9;m1=subs(m);m=m1;子程序：function yi=bb(x1,x2)syms x1 x2yi=10*(x1 +x2-5)a2+(x1 -x2)a2;1.5.3程序的调试及运行结果在鲍威尔法求所给的函数的极值里面，我们取初始搜索点为0；0,初始搜索 方向dlo=l;o, d20=0;lo yi二10*(xl+x2-5厂2+(x1 -x2厂2,精度e为0.00001。 程序运行后可得极小值点xm-2.5； 2.5,极小点出的函数值为0.000799。课木 上给的算例的极小点为2. 4995

21、； 2. 5091,极小点处的函数值为0.0008。程序运 行的结果基本一致。图1-10.鲍威尔法确定函数的极值的结果图1.6复合型法1.6.1复合型法的求极值的原理及其流程图复合型法是求解约束优化问题的一种重要的直接方法。他的基本思路是在可 行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的口标函数值进 行比较，找到目标函数值最大的顶点（称最坏点），然后按一定的法则求出目标 函数值冇所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的复合形，复合型 的形状每改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。图1-11.复合型法的程序框图1.6.2复合型法的程序代码k=3;alpha0=1.2

22、;x0=8,10;10,10;5,13;x1=xo;flag=o;for i=1:kf(i),g(i,1),g(i,2),g(i,3)=fhx_fg(x1(i,1),x1(i,2);endl,h=fhx_fg(f(1),f(2),f(3)：shoulia n=0;fori=1:kshoulian=shoulian+(f(i)-f(l)a2;kk=1;while shoulian>=0.001fprint(匸迭代次数=%3.4fn',kk);fprint(匸迭代点n*);disp(x1)dispc复合型顶点的目标函数值和约束函数值*)dispffgl g2 g3)for i=1:k

23、disp(f(i),g(i,1),g(i,2),g(i,3)endif flag=1flag=0;disp(flag)elsel,h=fhx_fg(f(1),f(2),f(3);enddispc复合型几何中心和映射点')disp('几何中心)xc=o;alpha=alpho;for i=1:kxc=xc+x1(i,:);endxc=xc-x1(h,:);xc=xc/(k-1);dispc映射点')xr=xc+alpha*(xc-x1 (h,:);fr,gr11,gr12,gr13=fhx_fg(xr(1),xr(2);enddisp (xr)fprinet(1,'

24、;映射后的系数 alpha=%3.4fn',alpha); alpha=alphao;if fr<=f(h)f(h)=fr;x1(h,:)=xr; g(h,1)=gr11;g(h,2)=gr12;g(h,3)=gr13;elsewhile alpha>=0.00001alpha=0.5*alpha;xr=xc+alpha*(xc-x1 (h,:);fr,gr11,gr12,gr13=fhx_fg(xr(1 ),xr(2);if fr<f(h)f(h)=fr;x1(h,:)=xr;g(h,1)=gr11;g(h,2)=gr12;g(h,3)=gr13;breakende

25、nd endifalpha<0.00001flag=1;xw=x1(h,:);fw=f(h);for i=1:kgw(i)=g(h,i);endfor i=1:kif (i 二 |)|(i=h)x1 (h,:)=x1 (i,:);f(h)=f(i);g(h,:)=g(i,:);x1 (i,:)=xw;f(i)=fw;g(i,:)=gw;endendshoulia n=0;for i=1:kshoulian=shoulian+(f(i)-f(l)a2;endshoulia shoulia n/k;shoulia sqrt(shoulia n); kk=kk+1;enddisp(，最优点最优

26、值')disp(x1(l,:),f(l)子函数：function f,g1 ,g2,g3=fhx_fg(x1 ,x2)f=(x1-5)a2+4*(x2-6)a2;g1=x1a2+x2a2-64;g2=10-x2+x1;g3=10-x1;子函数：e=input('请输入 e)k 二 input('请输入 k')c=rand(1)*(0-1)+1;a=0;0;b=10;20;for i=0:1:k-1x(i,1)=a+c*(b-a);y(i, 1 )=subs(ff,findsym(ff),x(i, 1); k1(i,1)=subs(g1,findsym(g1),x

27、(i,1)； k2(i,1 )=subs(g2,findsym(g2),x(i,1);k3(i,1)=subs(g3,findsym(g3),x(i,1); end子函数：function i,h=fhx_lh(f1,f2,f3)f=f1,f2,f3;fmin=min(f);switch fmincase f1;l=1;case f2;l=2;case f3;l=3;endfmax=max(f);switch fmaxcase f1;l=1;case f2;l=2;case f3;l=3;end1.6.3程序的调试及运行结果在复合型法求解约束优化问题所给的函数的极值里面，我们取复合型优化的 目

28、标函数为f二(xl-5厂2+4*(x2-6厂2;约束条件为：gl二x2+x2"2-64>0、 g2=10-x2+xl>0> g3=10-xl>0.程序运行后可得极小值点x0=5. 2196;6. 063551, 极小点出的函数值为0. 063925o课本上给的算例的极小点为5.21975;6. 06253, 极小点处的函数值为0. 06393。程序运行的结果基木一致。1.7内点惩罚函数法1.7.1内点惩罚函数法的求极值的原理及其流程图它的基本原理是将约束优化问题min /(x)<g.(x)<0(./ = l,2,m)屮的不等式和等式约束经过加权转化

29、后，和原口标 hk (x) = 0( = 1,2,/)函数结合形成新的目标函数一一惩罚函数nt/0(兀,人，厂2)= /(x)十厂|工 gg'x) + 厂2工j=lk=求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。为此，按一 定的法则改变加权因子斤和5的值，构成一系列的无约束优化问题，求得一系列 的无约朿最优解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。输入 xo、to、c e®k<<0求 min0 ( xjt ) *x+x*(理p f(xo<-fx*()图1-12内点惩罚函数法的程序框图1.7.2内点惩罚函数法的程序代码function x,min

30、f=minnf(f,xo,g,u,v,var,eps) format long;if nargin 二二 6;eps=1.0e-4;endk=0;fe=o;for i=1:length(g)fe=fe+1/g(i);endx1=tra nspose(xo);x2=inf;while 1ff=u*fe;sumf=f+ff;x2,minf=minnt(sumf,transpose(x1),var);bx=funval(fe,var,x2);if u*bx<epsif norm(x2-x1)<=epsx=x2;break;elseu=v*u;x1=x2;endelseif norm(x2

31、-x1)<=epsx=x2;break;elseu=v*u;x1=x2;endendendmin 仁 fun val(f,var,x);format short;子程序：function fv二funval(f,varvec,varval)var=fi ndsym(f);varc=fi ndsym(varvec);s1=length(var);s2=le ngth(varc);m=floor(s1-1 )/3+1);varv=zeros(1,m);if s1-=s2for i=0:(s1-1)/3)k=findstr(varc,var(3*i+1);in dex=(k-1)/3;varv

32、(i+1)=varval(i ndex+1);endfv=subs(f,var,varv);elsefv=subs(f,varvec,varval);end子程序：function t=g(xl)t=l；function y=f(xl,x2)y=xl2+x22；1.7.3程序的调试及运行结果在内点惩罚函数法求解约束优化问题所给的函数的极值里面，我们取内点惩 罚函数法的口标函数为y二x2+x2j;约束条件为：t=l-xl<0.程序运行后可得极 小值点xo二1;0，极小点出的函数值为1。课本上给的算例的极小点为1, 0,极 小点处的函数值为1。程序运行的结果基木一致。2.1圆柱齿轮减速器的优

33、化计算2.1.1圆柱齿轮减速器优化问题的背景圆柱齿轮减速器是各类机械设备中广泛应用的传动装置，因此，如何设计出 体积小、质量轻、成木低但却承载能力强、使用寿命长的圆柱齿轮减速器，一直 是设计人员关注的重要课题。实践表明，传统的减速器设计一般通过反复的试凑、 校核确定设计方案，是一种以经验类比为基础的设计方法，带冇极大的主观随意 性，虽然也能获得满足给定条件的可用的设计方案，但一般不是最佳的。只有采 用优化设计的方法，才是解决上述设计课题的冇效途径。减速器的优化设计，一般是指在给定功率p、齿数比u、输入转速q以及其 他技术条件和要求下，找出一组使减速器的某项经济技术指标打到最优的设计参 数。圆柱

34、齿轮减速器的类型与结构形式冇很多种，工作条件和设计要求也各种各 样，难以用统一的数学模型描述不同类型、不同结构及不同条件与设计耍求的减 速器的优化设计问题。通常，对不同类型的减速器，选取的设计变量是不同的。 例如，对于展开式圆柱齿轮减速器，可取齿轮齿数、模数、齿宽、螺旋角及变位 系数等为设计变量；对于行星齿轮减速器，设计变量除上述参数外，还可以加上 行星轮个数。根据减速器工作条件和设计要求的不同，目标函数也不同。例如, 对中心距没有严格要求的减速器，可取减速器最大尺寸最小、体积最小或总质量 最小为设计廿标；对给定中心距的减速器，则口j取承载能力最人为设计目标，减 速器的类型、结构形式不同，约束

35、函数也不完全一样。设计约束般包括边界约 束和性能约束两类。边界约束有最小模数、不根切的最小齿数、螺旋角、变位 系数、齿宽系数等的约束；性能约束则冇接触强度、弯曲强度、总速比误差、过 渡曲线不发生干涉、重合度、齿顶厚等的约束。而对于行星齿轮减速器來说，还 应增加装配条件、同心条件和邻接条件等的限制。木次优化计算单级圆柱齿轮减速器以体积最小火质量最轻为设计口标的优 化设计。2.1.2.1目标函数的确定如图（题目）所示，减速器的体积主要决定于箱体内齿轮和轴的尺寸，根拯 齿轮几何尺寸及结构尺寸的计算公式，单极圆柱齿轮减速器箱体内齿轮和轴的总 体积卩可近似的表示为图2畀、柱齿轮减速器的结构尺寸v =务（

36、町 一 d； pi + 牛-（l：2 h + 令必 01 + 厶） + 令d：2（a + 仇）一令（d ； - d ' ）（2 - c）- 4 令盃c由上式可知，单极标准直齿i员i柱齿轮减速器优化设计的设计变量可取为这里 近取心2 "°。参照图八及根据冇关结构设计的经验公式将这些经验公式有加、02 =£-26、d=1.6d$2d° = 0.25（d 2 - di）、c = 0.2b并取/2 = 32mm/3 = 28mm将这些经验公式及数据代入式（2-1）且用设计变量来表示，整理得目 标函数的表达式为（2-2）/*（兀） = 0.78539815

37、（4.75兀工球+85兀总球一 85兀球+0.92兀“;-兀工 + 0.8xjx2x3x6 一 1.6 兀兀3 兀6 + x4x5 + 4x6 + 28%5 + 32尢：）其中设计变量可取为:2丄22约束条件的确定1）为避免发生根切，应有- z-in = 1 应有于是得约束函数(x) = 17-x2<0(2-3)2）根据工艺装备条件，大齿轮直径仏不超过1500加加故小齿轮直径4不应超过300mm即加可< 30c加于是冇约束函数g2（x） = x2x3 -30 < 0(2-4)3）为保证齿轮承载能力同时又避免载荷沿齿宽分布严重不均，要求齿宽系数h满足1635,曲此得g3(x)

38、=-35 < 04(x) = 16-x1x；1 <0(2-5)(2-6)4）对传递动力的齿轮，模数不能过小，一般加上2伽，口取标准系列值，故有g5（x） = 0.2-x3<0（2-7）5)按经验，主、从动轴直径的取值范围1 qcm-15cm43cm- 20cm故有g6(x) = 10-x5<0(2-8)g7(x) = x5-15<0(2-9)8(x) = 13-x6<0(2-10)g9(x) = x6-20<0(2-11)6)按结构关系，轴的支承跨距满足：人" + 2人+ 05$2,其中为箱体内壁到轴承屮心线的距离，现取、=亦,则冇约束函数i

39、0(x) = xl+0.5x64-4-x4 <07)按齿轮的接触疲劳强度和弯曲疲劳强度条件，应有:336 1呵 + 1) 家巾a v bu2ktbdmy(2-12)(2-13)(2-14)(2-15)式中，o为齿轮传动的标准中心距，单位为cm, ° = 05吗(u + 1)； k为载荷系数,这里取k = 1.3；人为小齿轮传递扭矩，单位为ncm,t =955000" ® = 95500x 295/980a cm - 2874747v cm.为齿轮的许用接触应力，单位为mpa ,这里取；【6、【6分别为小齿轮与大齿轮的许用弯曲应力，单位为m%,这里取l6=26

40、1mpd、际卜213呢；岭、n分别为小齿轮、大齿轮的齿形系数，对标准齿轮:yfi =0169 + 0.006666z|0.000854z：(2-16)yf2 = 0.2824+ 0.003539可0.000001576z；(2-17)对以上公式进行代入、运算及整理，得到满足齿轮接触强度与弯曲强度条件的约朿函数：gm = 45002巧-855 <0(2-18)gd (兀)=7474 lxxx2x(0.169 + 0.6666 x 10-2 x2 - 0.854 x io-4 x)-261 <0(2-19)gl3(x) = 7474 lxx.x(0.2824 + 0.177 x io-

41、2x2 - 0.394 xlo-4)-213 < 0(2-20)根据主动轴（本例即小齿轮轴）刚度条件，轴的最大弯曲挠度儿欄应小于许用值 b】，即怙-小0（2-21）其屮取y=0.003厶；儿和则由下式计算：几ax 二代尸/（48田）（2-22）式中，丘为作用在小齿轮齿面上的法相载荷，单位为"，耳=27；/（加召cos"）, 。为齿轮压力角，a"。； e为轴的材料的弹性模数，e = 2xlo5mpa.丿为轴 的惯性矩，单位为cm4,对圆形截面，八加細64。同理，对以上公式进行代入、运算及整理，可得到满足轴的弯曲刚度条件的约束 函数gw（兀） = 0.01298

42、可疔兀-0.003x4 <0（2-23）8）按轴的弯曲强度条件，冇(2-24)式中，卩为轴受的扭矩，t = t；册为轴所受的弯矩，单位为ncm, m =cos）=26444/, /（加zj ； d为考虑扭矩和弯矩作用性质诧异的系数，这里取d = 0.58；。订为轴的许用弯曲应力，m = 55mpa； w为轴的抗弯剖面模数，对实心轴，w = o.i。由此，对小齿轮和大齿轮轴，可分别写出满足弯曲强度条件的约束函数(2-25)gi5（兀）=27310疔璟兀4兀（1 + 029709兀；球兀；2乍-55 < 0(2-26)gl6(x) = 27310兀j兀：兀4兀j (1 +742727兀

43、;球兀;2 p -55 < 0综上所述，单级标准直齿圆柱齿轮减速器以体积最小为优化目标的优化设 计问题，是个具冇十六个不等式约束的六维优化问题，其屮约束条件为:gj(x) = 17 -x2 < 0g2(x) = 0.9 -/ (x2x3) < 0&3(x) = x( /(x2x3)-1.4 < 0g4(x) = 2-x3 < 0g5(x) = x2x3 - 300 < 0g6(x) = 100-x5 < 0g7(x) = x5 - 150 < 0g8(x)= 130-观 § 0g9(x) = x6 - 200 < 0g10

44、(x) = x, 4- 0.5兀§ - x4 - 40 < 0(2-27)gi(x) = 1486250 / (x2x3- 550 < 0of = 9064860yhy12 / (xjx2x32)(不是约朿函数) g/x) = j -400 < 0g|3(x)= s)2*22 /(儿儿2)一 400 < 0gi4(x) = 1 1 7.04x44 / (x2x3x54) - 0.003x4 < 0gi5(牙)=花-3+ 2.4x0|2 _5.5 < 0v 毛兀3/、_3 /z2.85x10 x xa . 71 八3_ _小6(兀)=尤6 '

45、 4( ) + 2.4x10-5.5 < 0v 兀2兀32.1.3求解优化问题的程序代码fun =myfu n;x0 = 23;21;0.8;42;12;16;a = d；b = ；aeq =；beq = q；lb = 4;17;0.2;15;10;13;ub = 40;25;1.5;60：15;20;nonicon 二 myobj;optio ns = optimsetflargescale'/off);x, fval = fmincon(fun, xo, a, b, aeq, beq, lb, ub, nonicon, options)子函数：function c,ceq=m

46、yobj(x)c=x(2)*x(3)-30;x(1)*x(3) a(-1)-35;16-x(1)*x(3)a(-1);x(1)+0.5*x(6)+4-x(4);41840*x(2)a(-1 )*x(3)a(-1 )*sqrt(x(1)a(-1 )-855;6461*1/(x(1)*x (2)*x(3)a(2)*(0.169+0.6666*10a(-2)*x (2)-0.854*10a(-4)*x(2)a(2)-261;6461*1/(x(1)*x(2)*x(3)a(2)*(0.2824+0.177*10a(-2)*x(2)-0.394*10a(-4)*x(2)a(2)-213;0.01229*

47、x(2)a(-1 )*x( 3)a(-1 )*x(4)a(3)*x (5)a(-4)-0.003*x(4);26444*1/(x(2)*x(3)*x (4)*x(5)a(-3)*sqrt(1 +0.29709*x (2)a2*x(3) a2*x(4)a(-2)-55；26444*1/(x(2)*x(3)*x(4)*x(6)a(-3)*sqrt(1+7.42727*x(2)a2*x(3)a2*x(4)a(-2)-55；ceq = q;子函数：function 仁myfun(x)f=0.78539815*(4.75*x(1)*x(2)a2* x(3)a2+85*x(1 )*x(2)*x (3)a2

48、-85*x(1)*x(3)a2+0.92*x(1 )*x(6)a2-x(1 )*x(5)a2+0.8*x(1 )*x(2)*x(3)*x(6)-1,6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)a2+x(4) *x(6)a2+28*x(5)a2+32*x(6)a2)command windowopt inulzat ion completed because the objective function is non- de c r e as mg xn feasible directions, to vithin the default value of the function to

49、lerance, and const raint s are sat isf ied t o within the default value of the const rairvt t ole rance.<s*opping criteria detailsactive inequalities (to vithin optionsiolcon = le-06: lowerupperineqlin ineqnonlin345756x =10.250523. 85770 640720.750510.000013. 0000fval =2.7803e+04a »图2-1柱齿轮减速

50、器优化设计结果图214程序的调试及运行结果对于直齿圆柱齿轮，约束条件较多（既冇线性约束条件，又冇非线性约束条件）在这里我们用到了 matlab屮的fmincon函数求解这个问题，在这个问题中我们取xo = 23; 21; 0. 8;42; 12; 16; f (x0) =6. 32*10,我们通过程序的迭代 计算得最优解 f = 10. 3602 23. 85920. 672521. 2602 10. 000013. 0000得初始点的体积为尤=/(冷)=0.53852x1%脑)f = 10. 3602 23. 8592 0. 6725 21. 2602 10. 000013. 0000=/(

51、x*) = 0.29734xl05(cm3)该方案的体积比原设计方案下降44. 8%。 由于齿轮模数m应为标准值，齿数召应为整数，其他参数一般也为适当圆整,所以最优解厂）还不能直接采用。经标准化与圆整后的结果为x = b z m a ds二io 24 0.7211013】/() = o.3o63oxlo5(c/723)经验证，圆整后的设计方案满足全部约束条件，冃使减速器体积较原设计方 案减小约43. l%o3.1体会及建议通过将近一学期的学习，对这门课有了初步的了解和认识，学期伊始，浏览 全书，发现全是纯理论知识，觉得这门课会很枯燥，但是又冋过头来想想，作为 21世纪的大学生，要使自己适应社会

52、需求，首先在做任何事之前都应该有正确 的态度看待问题，把这些想法作为促使自己进步的动力，再去学习课本知识，效 果应该很不一样，有了想法就付诸行动，随着对课本内容的学习跟老师的讲解， 发现并不是像自己在学期初想的那样困难，特别是在老师介绍了-些与机械优化 设计相关的计算机语言和计算机软件后，真正体会到科学优化设计的强大跟简洁 明了，与传统优化设计方法相比较，大大提高了设计效率和质量。传统设计方法常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算，经验类比或 试验來确定初始设计方案，如不能满足指标要求，则进行反复分析计算一性能检 验一参数修改，到满足设计指标要求为止。整个传统设计过程就是人工凑试和定 性分

53、析比较的过程，是被动地重复分析产品性能，不是主动设计产品参数。按照 传统设计方法做出的设计方案，有改进余地，但不是最佳设计方案。而现代化设计工作是借助电子计算机,，应用一些精确度较高的力学数值分析方法，优化软件进行分析计算，找最优设计方案，实现理论设计代替经验设计, 用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿命可行性设计。在进行程序求解的过程中，因为是初学mat lab软件，对很多问题的关键点 不能够掌握，非线性约束如何书写，上、下限如何选择，函数格式如何书写，变 量未定义等等或大或小的问题，但是在一步步排除错误、重新编写程序的过程中, 渐渐的对mtalab熟悉起来，懂得了一些优化方法的简单计算过程和原理，省去 了繁琐复朵的优化计算过程在学完课程之后，反思自己在学习过程中的得失，深深体会到，不论在人生 的哪个阶段，都要对自己负责，做任何事都要耐心，细致，“千里之行，始于足 下”，学会在物欲横流的社会大潮中，坚持踏踏实实走好人主