[教育学]计算传热学第二章-彭浩ppt课件

1、Numerical Heat Transfer计算传热学计算传热学机械与动力工程学院机械与动力工程学院主讲：彭主讲：彭 浩浩计算传热学计算传热学第二章 计算区域及控制方程的离散Numerical Heat Transfer第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.1 网格生成区域离散化2.2 建立离散方程的泰勒展开法及多项式拟合法2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.4 网格独立解网格独立解第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2

2、.1.3 不同区域离散方法简介不同区域离散方法简介2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2.1.3 不同区域离散方法简介不同区域离散方法简介2.1.3 不同区域离散方法简介不同区域离散方法简介2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2.1.3 区域离散方法简介区域离散方法简介2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.2 网格系统表示方法网格系

3、统表示方法2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法1. 区域离散化的义务区域离散化的义务第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散 将所计算的区域分割成许多不重叠的子区域，确定每个子区域中

4、节点的位置以及所代表的控制容积。 离散结果得出五种几何信息：(1) 节点节点node) :求解未知量的位置求解未知量的位置(2) 控制容积控制容积control volume):实施守恒定律的最小实施守恒定律的最小 几何单位几何单位(3) 界面界面interface) :控制容积的分界位置控制容积的分界位置2.1.1 区域离散化的义务及方法分类区域离散化的义务及方法分类第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散1. 区域离散化的义务区域离散化的义务(4) 网格线网格线grid lines) : 沿坐标方向相邻节点衔接沿坐标方向相邻节点衔接成的曲线簇。成的曲线簇。(5) 节点

5、间相互关系节点间相互关系: 记录每个节点的左邻右舍。记录每个节点的左邻右舍。2. 区域离散方法分类区域离散方法分类(1) 按照节点间的关系：构造化网格与非构造化网格。按照节点间的关系：构造化网格与非构造化网格。(2) 按照节点的位置：内节点法与外节点法。按照节点的位置：内节点法与外节点法。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.1.2 网格系统表示方法网格系统表示方法网格线节点间连线,用实线表示；界面为虚线；节点间间隔 x ；界面间间隔 x第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.1.3 区域离散方法简介区域离散方法简介(1).构造化网格(st

6、ructured grid)：节点位置陈列有序，邻点间衔接关系的方式固定不变。(2).非构造化网格(unstructured grid)：节点位置陈列无序，邻点间无固定的衔接关系方式。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散构造化与非构造化均有内接点与外节点两种布置。2.1.3 区域离散方法简介区域离散方法简介3. 构造化网格的内节点与外节点法(a) 外节点法：节点位于子区域的角顶；控制容积外节点法：节点位于子区域的角顶；控制容积界面位于两节点之间；生成过程：先节点后界面；界面位于两节点之间；生成过程：先节点后界面；又称又称Practice A,又称单元顶点法又称单元顶点

7、法(cell-vertex。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散(b) 内节点法：节点位于子区域的中心；子区域即内节点法：节点位于子区域的中心；子区域即为控制容积；生成过程：先界面，后节点，又称为控制容积；生成过程：先界面，后节点，又称Practice B, 又称单元中心法又称单元中心法cell-centered。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.1.4 网格独立性网格独立性 实践计算时，网格生成并非一蹴而就，要经过反实践计算时，网格生成并非一蹴而就，要经过反复调试与比较；复调试与比较； 复杂区域的网格生成能够占总计算时间的大部分复杂区

8、域的网格生成能够占总计算时间的大部分,网格的质量对计算的精度有影响较大。网格生成技网格的质量对计算的精度有影响较大。网格生成技术已成为数值计算中相对独立的部分，称为网格生术已成为数值计算中相对独立的部分，称为网格生成技术成技术(grid generation technique)； 当网格足够细密以致于再进一步加密网格已对数当网格足够细密以致于再进一步加密网格已对数值计算结果根本上没有影响时所得到的数值解称为值计算结果根本上没有影响时所得到的数值解称为网格独立解网格独立解grid-independent solution)。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散第二章第

9、二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散根本概念根本概念“离散化离散化最早出如今最早出如今1955年年Wasow的一篇德语论文中的一篇德语论文中第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散“离散化离散化假定一个二维流场。其控制方程的解析解实际上可表假定一个二维流场。其控制方程的解析解实际上可表达为：达为：1( , )uf x y2( , )vfx y3( , )pfx y4( , )fx y可以在无穷可以在无穷多个多个x,y上得到流场上得到流场变量。变量。换成代数差分方程换成代数差分方程转化为转化为代数方程组代数方程组求解求解得到流场变量在离得到流场变量在离散网

10、格点上的值。散网格点上的值。这个过程就是这个过程就是离散化离散化“的的过程过程第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散离散网格点离散网格点x、 y 等距等距 均匀间距不是绝对的均匀间距不是绝对的 x、 y可以不等可以不等 相邻两点间距相邻两点间距x 、y也可以不也可以不等等第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散例如例如图中图中xy平面的一组离散网格点平面的一组离散网格点泰勒级数法泰勒级数法离散网格点离散网格点x、 y 等距等距网格点标志的方式网格点标志的方式本章讨论：第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底此图中，

11、假设用此图中，假设用ui,j 表示表示速度的速度的x分量在分量在(i,j)的值，的值，那么那么(i+1,j)点的分量可以点的分量可以表示为：表示为：1,22,233,3()()()2()()6iji ji ji ji juuuxxuxxuxx 第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底2223()()( )2() (1)!nnffxf xxf xxxxfxxn 最初的估计最初的估计222()()( )2ffxf xxf xxxx 斜率的影响斜率的影响 曲率的影响曲率的影响参照右图，可以阐明各方程各参照右图，可以阐明各方程各项含义：项含义：举例阐明举例阐明第二章第

12、二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底思索函数思索函数( )sin2f xx在在x0.2处，处，f(x)0.9511。如图中。如图中1点。点。取取x0.02，f(x+x)=f(0.22)=0.9823如今思索用式如今思索用式 (1) 来估计来估计f(0.22)1、假设只需右边第一项、假设只需右边第一项(0.22)(0.2)0.9511ff图中点图中点32、假设有右边两项、假设有右边两项(0.22)(0.2)2 cos2 (0.2) 0.020.9899ff图中点图中点4，误差，误差0.7753、假设有右边三项、假设有右边三项22(0.22)(0.2)2cos2 (0

13、.2) 0.020.024sin2 (0.2)0.98242ff图中点图中点5，误差，误差0.01图中点图中点2第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底22331,23()()()()()(2)26iji ji ji ji juuxuxuuxxxx 上例回想泰勒级数相关内容，如今继续回到前面差分表达式上例回想泰勒级数相关内容，如今继续回到前面差分表达式变换得到：变换得到：2321,23()()()()26iji ji ji ji juuuuxuxxxxx偏导数差分表达式偏导数差分表达式截断误差截断误差 假设用上述差分表达式作为偏导数的近似，而且截断误假设用上述

14、差分表达式作为偏导数的近似，而且截断误差的最低阶项是差的最低阶项是x的一次方，可以把上式写成：的一次方，可以把上式写成：1,()() (3)iji ji juuuOxxx具有一阶精度具有一阶精度第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 再来看右边的图，留意再来看右边的图，留意到到3式的有限差分只用式的有限差分只用到了到了i,j右边的信息，这右边的信息，这样的差分叫样的差分叫“向前差分。向前差分。那么我们写出那么我们写出ui-1,j在在ui,j处的展开式处的展开式 22331,23()()()()()()(4)26iji ji ji ji juuxuxuuxxx

15、x解得：解得： ,1,()() (5)i jiji juuuOxxx一阶一阶“向后差分向后差分第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 对于对于CFD而言，一阶精度是不够的。为构造而言，一阶精度是不够的。为构造2阶精度。直接用阶精度。直接用2式减去式减去4式得到：式得到：1,1,2,()() (6)2ijiji juuuOxxx二阶二阶“中心差分中心差分总结：总结：1,1,1,1,2()()()()2iji ji jiji jijijuuOxxuuuOxxxuuOxx一阶一阶“向前差分向前差分一阶一阶“向后差分向后差分二阶二阶“中心差分中心差分总结：总结：同理

16、可同理可得得y方向方向差分格差分格式式第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底前面讨论一阶方式，下面思索二阶偏导数的情况：前面讨论一阶方式，下面思索二阶偏导数的情况：22331,23()()()()()(2)26iji ji ji ji juuxuxuuxxxx 22331,23()()()()()()(4)26iji ji ji ji juuxuxuuxxxx2加上加上4得得:24421,1,24()2()()()12ijiji ji ji juuxuuuxxx21,1,2222() (7)()iji jijuuuuOxxx二阶精度二阶精度“中心差分中心差分

17、第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底再思索二阶混合导数的情况：再思索二阶混合导数的情况：将将2式和式和4式分别对式分别对y求导数得：求导数得：232431,23()()()()()()()(9)26iji ji ji ji juuuuxuxxyyx yxyxy 232431,23()()()()()()()(8)26iji ji ji ji juuuuxuxxyyx yxyxy 8减去减去9得得:2421,1,3(/)(/)()()()(10)212ijiji ji juyuyuuxx yxxy 可构造二阶中心差分替代：可构造二阶中心差分替代：第二章第二章

18、 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底1,11,121,()()2ijijijuuuOyyy1,11,121,()()2ijijijuuuOyyy参照右图：参照右图：因此得到：因此得到：21,11,11,11,122,()() ,() (11)4ijijijiji juuuuuOxyx yx y 二阶精度二阶精度“中心差分中心差分第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底“有限差分模版：有限差分模版：1,()()iji ji juuuOxxx一阶一阶“向后差分向后差分,1,()()i jiji juuuOxxx一阶一阶“向前差分向前差分1

19、,1,2,()()2ijiji juuuOxxx二阶二阶“中心差分中心差分第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底“有限差分模版：有限差分模版：21,1,2222()()iji jijuuuuOxxx2,1,12222()()i ji ji juuuuOyyy第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底“有限差分模版：有限差分模版：2,1,11,11,11,122()() ,() 4i jijijijijux yuuuuOxyx y 第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 前面得差分近似，最高为

20、二阶精度。实践上，可以导出更前面得差分近似，最高为二阶精度。实践上，可以导出更高精度的格式，但需求更多的网格信息。高精度的格式，但需求更多的网格信息。 一个具有四阶精度的中心差分：一个具有四阶精度的中心差分：22,1,1,2,4,22163016()()12()ijiji jijiji juuuuuuOxxx 越高精度在计算过程中是不是就越好呢？越高精度在计算过程中是不是就越好呢？缺陷：需求更多的网格信息，所以计算每一步时间步缺陷：需求更多的网格信息，所以计算每一步时间步 或者空间步需求更多时间。或者空间步需求更多时间。优点：网格数可以少一些，可给出质量更高的流场解。优点：网格数可以少一些，可

21、给出质量更高的流场解。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 边境上构造差分近似的方法！边境上构造差分近似的方法！ 如右图：点如右图：点1在边境上，点在边境上，点2和点和点3在边境上方，到边境的间隔分别在边境上方，到边境的间隔分别是是y 、2y“向前差分：向前差分：211()()uuuOyyy容易得到，但只需一阶精度：容易得到，但只需一阶精度：如何得到二阶精度？如何得到二阶精度？第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底假定：在右图边境上，假定：在右图边境上，u可以表示为：可以表示为：2 (12)uabycy在网格点在网格点1

22、10,yua在网格点在网格点222,()yy uab ycy 在网格点在网格点3232,2(2)yy uab ycy 解得解得: 123342uuuby将式将式12对对y求导：求导： 2ubcyy在边境在边境y=0上：上：1()uby123134()(13)2uuuuyy最终得到：最终得到：第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 留意到：留意到：13式是用多项式到导出的，而不是用泰勒式是用多项式到导出的，而不是用泰勒级数，这阐明了构造有限差分的另一种方法。现实上，上面级数，这阐明了构造有限差分的另一种方法。现实上，上面讲到的公式也可用这种方法得到。讲到的公式

23、也可用这种方法得到。 下面讨论下面讨论13式的精度：泰勒级数法式的精度：泰勒级数法2233111123( )()()()(14)26uuyuyu yuyyyy对比对比14和和12发现：发现：2123134()() (15)2uuuuOyyy二阶精度二阶精度13和和15叫做单侧差分，实践对于内部点也是通用的。叫做单侧差分，实践对于内部点也是通用的。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 在粘性流动时常用单侧差分。在粘性流动时常用单侧差分。 由于壁面有流动，其切应力和热流具有特殊重要性，切由于壁面有流动，其切应力和热流具有特殊重要性，切应力和热流表示为：应力和热

24、流表示为：()wwuy()wwTqy 显而易见：单侧差分精度越高，二者计算的就越准确。显而易见：单侧差分精度越高，二者计算的就越准确。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 例子：思索空气流过平板流动，速度例子：思索空气流过平板流动，速度u沿沿y方向变化率：方向变化率：/482.2(1)y Lue 这里这里L=1cm，=1.7894*10-5Pas 假定假定y方向离散网格点等距分布，间距方向离散网格点等距分布，间距1mm，给出一些网格，给出一些网格点的数值：如下表点的数值：如下表y/mu(m/s)000.00145.90.00287.420.003125.0

25、用单侧差分求壁面处的切应力用单侧差分求壁面处的切应力w 用一阶单侧差分用一阶单侧差分 用二阶单侧差分用二阶单侧差分 用三阶单侧差分习题用三阶单侧差分习题4-6中中第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底 一阶单侧差分一阶单侧差分21411()4.590 10jjjuuusyy21()0.8213N/mwjuy(b)二阶单侧差分二阶单侧差分12314134()24.809 10jjjjuuuuyys21()0.8605N/mwjuy(c)三阶单侧差分三阶单侧差分1123441()11189264.824 10jjjjjuyuuuuys21()0.8631N/mw

26、juy准确解准确解第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散有限差分根底/482.2y LueyL410()4.822 10yusy21()0.8628N/mwyuyw/(N/m2)误差误差一阶精度一阶精度0.82134.8二阶精度二阶精度0.86050.3三阶精度三阶精度0.8631-0.03精确解精确解0.86280精度越高，解越准确！精度越高，解越准确！第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散差分方程 对一个给定的偏微分方程，将一切的偏导数都用有限差分对一个给定的偏微分方程，将一切的偏导数都用有限差分替代，得到的方程就叫替代，得到的方程就叫“差分

27、方程。差分方程。调查：调查：22 (16)TTtx前面讨论过，非定常的热传导方程是抛物线前面讨论过，非定常的热传导方程是抛物线方程，可以用时间推进法求解：方程，可以用时间推进法求解：下面详细讨论下面详细讨论第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散差分方程思索右边的网格：留意标号的运用思索右边的网格：留意标号的运用122()()2nnnniiiiTTTTtttt242112242()()()()12nnnnniiiiiTTTTTxxxx“向前差分向前差分“中心差分中心差分将上两式带入方程将上两式带入方程16得得12112224224(2)=0=+()()()()+ 212n

28、nnnniiiiinniiTTTTTTTtxtxTtTxtx偏微分方程偏微分方程差分方程差分方程截断误差截断误差第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散差分方程忽略截断误差，差分方程写成：忽略截断误差，差分方程写成：1112(2)()nnnnniiiiiTTTTTtx此方程的截断误差表示成：此方程的截断误差表示成：2,() Otx本节的目的就是引入本节的目的就是引入“差分方程的概念。差分方程的概念。下节讨论如何求解。下节讨论如何求解。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法依然回到一维热传导方程依然回到一维热传导方程22 TTtx得

29、到的差分方程：得到的差分方程：1112(2)()nnnnniiiiiTTTTTtx整理得到：整理得到：1112(2)()nnnnniiiiitTTTTTx如图示：利用第如图示：利用第n个时间层的知量，直接计算个时间层的知量，直接计算n+1层的未知量层的未知量最直观的方式最直观的方式第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法例如在右图中，在网格点例如在右图中，在网格点3处处1334322(2)()nnnnntTTTTTx可以据此依次求解！可以据此依次求解！以上过程就是显式的求解过程以上过程就是显式的求解过程定义如下：定义如下：显式方法中每一个差分方程只包含一

30、个未知数，从而这个显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方式显示求解未知数可以用直接计算的方式显示求解第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法 现实上，热传导方程不仅仅只能写出一种差分格现实上，热传导方程不仅仅只能写出一种差分格式，假设把刚刚右边的空间差分写出第式，假设把刚刚右边的空间差分写出第n个时间层的量个时间层的量和第和第n+1个时间层的量的平均值，即：个时间层的量的平均值，即：1112(2)()nnnnniiiiiTTTTTtx111111112()2222(17)()nnnnnniiiiiinniiTTTTTT

31、TTtx克兰克尼科尔森公式广泛用于求解抛物型方程问题克兰克尼科尔森公式广泛用于求解抛物型方程问题隐式方法隐式方法第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法在右图中，阐明隐式格式：在右图中，阐明隐式格式：整理上式整理上式17，得：，得：1111122211212()()2()(2)(18)2()nnniiinnnniiiitttTTTxxxtTTTTx 为简化，设：为简化，设：22()tAx21()tBx 1112(2)2()nnnniiiitKTTTTx 于是，方程转化为：于是，方程转化为：11111(19)nnniiiiATBTATK第二章第二章 计算区

32、域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法留意式留意式19Ki是由第是由第n个时间层上的量构成的，而这些量是个时间层上的量构成的，而这些量是知的，所以知的，所以Ki也是知的。也是知的。根据式根据式19，可构造网格点，可构造网格点26的式子的式子1232ATBTATK网格点网格点2232BTATK由于由于T1知知2321BTATKAT点点3点点4点点6点点52343ATBTATK3454ATBTATK4565ATBTATK5676ATBTATK56676ATBTKATK由于由于T7知知第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法上面上面5个方

33、程，有个方程，有5个未知数，写成矩阵方式：个未知数，写成矩阵方式：2233445566000000000000TBAKTABAKTABAKTABAKTABT 这是一个三对角矩阵，可以追逐法求解。这是一个三对角矩阵，可以追逐法求解。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法 根据上面的例子可以看出，隐式方法比显示方法复根据上面的例子可以看出，隐式方法比显示方法复杂的多。杂的多。如今思索非线性方程，比如：如今思索非线性方程，比如：22()TTTtx热传导系数是温度的函数。热传导系数是温度的函数。以上方程对显式法几乎没有影响，此时的差分方程为：以上方程对显式法几

34、乎没有影响，此时的差分方程为：1112()(2)()nnnnnniiiiiitTTTTTTx此时方程依然是线性的。由于只需一个未知数此时方程依然是线性的。由于只需一个未知数1niT第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法但是，假设对上式采用克兰克尼科尔森公式但是，假设对上式采用克兰克尼科尔森公式11( ) ()()2nniiTTT相应的差分方程依然可以写成式相应的差分方程依然可以写成式18的方式，显然，的方式，显然，新得到的差分方程含有未知函数新得到的差分方程含有未知函数T的乘积。变成了非线的乘积。变成了非线性方程组的求解。这项任务极为困难！性方程组的求

35、解。这项任务极为困难！ 这是隐式法一个很大的缺陷。通常要采用这是隐式法一个很大的缺陷。通常要采用“线性化线性化处置。处置。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散显式方法和隐式方法显式方法和隐式方法区别：显式方法和隐式方法区别：显式方法：显式方法：取定取定x， 那那t就不是独立的，不能恣意取值，它遭到就不是独立的，不能恣意取值，它遭到稳定性条件的限制稳定性条件的限制而隐式方法：而隐式方法：比显式方法大的多的比显式方法大的多的t依然能坚持稳定性，甚至有些隐依然能坚持稳定性，甚至有些隐式方法是无条件稳定的式方法是无条件稳定的第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制

36、方程的离散显式方法和隐式方法CFD领域，时间推进的方法普通用于下面两类计算：领域，时间推进的方法普通用于下面两类计算：1、由给定的初始条件得到流场的定常解、由给定的初始条件得到流场的定常解时间推进并不要求是时间准确的，只需得到正常的流时间推进并不要求是时间准确的，只需得到正常的流场。场。2、对真正的非定常流，求其时间准确解、对真正的非定常流，求其时间准确解时间推进法的时间精度是绝对必要的。时间推进法的时间精度是绝对必要的。 也就是说：在某些情况下，显式方法是最合理的，也就是说：在某些情况下，显式方法是最合理的，而在某些情况下，隐式方法才是正确的选那么。而在某些情况下，隐式方法才是正确的选那么。

37、第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.2.1 一维模型方程一维模型方程2.2.2 由由Taylor 展开法导出导数的差分表示式展开法导出导数的差分表示式2.2.3一维模型方程的有限差分别散表示式一维模型方程的有限差分别散表示式2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式由多项式拟合法导出导数的差分表示式第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.2.1 一维模型方程一维模型方程(1-Dmodel equation 一维模型方程是一维非稳态有源项的对流一维模型方程是一维非稳态有源项的

38、对流-分分散方程，具有四个特征项，便于离散方法的研讨。散方程，具有四个特征项，便于离散方法的研讨。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.2.2 由由Taylor 展开法导出导数的差分表示式展开法导出导数的差分表示式1. 一阶导数的差分表达式一阶导数的差分表达式将函数将函数在在的值的值对对i,n)点做点做Taylor展开：展开：( , )x t (1, )in 222,2(1, )( , )2!i ni nxini nxxxx 2,2(1, )( , )()2i ni nini nxxxx 第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散,(1, )(

39、, )()i nini nOxxx()Ox称为截断误差，称为截断误差，truncation error，表示：，表示：随x 的趋于零，用 替代 的误差 Kx ， K 与x 无关。(1, )( , )ini nx,)i nx x 的方次称为截差的阶数order of TE)用数值计算的近似解 替代准确解ni( , )i n得向前差分：1,),()nniii nOxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散向后差分：1,),()nniii nOxxx中心差分：11,2),()2nniii nOxxx2. 一、二阶导数的各种差分表达式。一、二阶导数的各种差分表达式。表达差分构

40、造的格式图案stencil) 构筑差分表达式的位置； 构筑差分表达式所用到的节点。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散定性判别导数的差分表达式正确与否的方法：(1) 量纲能否正确与导数本身一致；(2) 均匀场的各阶导数应为零。第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.2.3 一维模型方程的有限差分别散表示式1. 非稳态问题空间导数差分的计算时层第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2. 一维模型方程的显式格式准确方式2( ,1)( , )(1, )(1, )2

41、(1, )2 ( , )(1, )( , )i ni nininutxini ninS i nHOTx差分表达式11111222(2,)nnnniiiinnnniiiiuSxxtxOt 差分方程截断误差更高阶导数项之和第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式对函数的部分变化型线作出假设，导出差分表达式1. 设部分型线为线性函数可导出一阶截差表达式设部分型线为线性函数可导出一阶截差表达式0(, )xx tabx原点设在 处，那么0 x1, nniiaab x 11nnniiiabxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区

42、域及控制方程的离散2. 设部分型线为二次函数可导出二阶截差表达式设部分型线为二次函数可导出二阶截差表达式20(, )xx tabxcx原点设在 处，那么0 x2211, , nnniiiaab xc xab xc x 11112 2,22nnnnniiiiibcxx112nniibxx2112222nnniiicxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散3.多项式拟合方法多用于边境条件处置多项式拟合方法多用于边境条件处置23( , ),()T x yabycyOy知温度知温度:Ti,1 Ti,2 Ti,3,1,2,3342iiiTTTby导出y向具有二阶截差的边境热流表

43、达式。设y0处温度呈二次曲线22,1,2,3, , 24iiiTaTab yc yTab yc y 由此得：解出：2,1,2,30(34),()2biiiyTqbTTTOyyy 第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介控制容积积分法简介2.3.2 控制容器积分法步骤控制容器积分法步骤2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散一维模型方程的控制容积积分法离散2.3.4 控制容积积分法与有限差分法区别控制容积积分法与有限差分法区别2.3.5 控制容积积分法与有限差分法进一步阐明控制容积积分法与有限差分法进一步阐明2.3.6 变物性问题变物性问题

44、-控制容积法控制容积法2.3.7 控制离散化方程控制离散化方程4个根本原那么个根本原那么第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散p 外节点法或节点外节点法或节点-控制容积法控制容积法p 网格线的交点作为节点网格线的交点作为节点p 节点所代表的求解区域控制容积节点所代表的求解区域控制容积p 由两节点间中心位置的对称界面围成的区域。由两节点间中心位置的对称界面围成的区域。p 例子：二维矩形区域例子：二维矩形区域2.3.1 控制容积积分法简介第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控

45、制容积积分法简介第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介p当网格划分足够细时，两者没有本质区别p内节点法：p边境节点处置较简单p边境相邻节点：要特别

46、留意处置方法，与其它内部节点有所不同p历史及习惯的缘由：内节点运用较广泛p内节点法在边境相邻节点处一直是非均匀网格p能够会产生较大的误差第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介l一维为例x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介l(x)w(x)+w(x)-w 节点WP之间的间隔l(x)e(x)+e(x)-e 节点PE之间的间隔l(x)+w 控制界面w节点P之间的间隔l(

47、x)-e 节点P控制界面e之间的间隔lx (x)+w (x)-e 控制容积lw ， e 左、右控制面第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.1 控制容积积分法简介第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.2 控制容积积分法步骤l控制容积上均匀分布为一常数l控制容积代表点节点处的值为分布值： , Pwxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.2 控制容积积分法步骤第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散 xx2.3.2 控制容积积分法步骤第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域

48、及控制方程的离散2.3.2 控制容积积分法步骤l节点间线性分布() ,() () ,()PWWWWPwEPPPPEexxxxxxxxxxxxx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.2 控制容积积分法步骤 x xx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.2 控制容积积分法步骤第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.2 控制容积积分法步骤第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及

49、控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散(20) 022Sdxdx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE(26) 022dxSdxdxdewew(27) 22weewdxddxddxdxdxSxxSdxSdxSPwePewPew)()()( )(2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散x(x)+e(

50、x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化(28) 0)(xSdxddxdPwe2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散(29) )( )(ePEewWPwxdxdxdxd分段线性2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散(30) 0)()(-)(xSxxPwWPePEwexxxL)()(31) 0)()()1 (xxSLLe

51、PWxPxE2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散(20) 022Sdxdx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化(21) 0)(2222PPPSdxdSdxd2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散第

52、二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散)O( ,xxxWPPn向前差分：)O( ,xxxPEPx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化)O( ,22xxxWEP)O( ,22222xxxWPEP第二章第二章

53、计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区域的离散化PE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444ePePePxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化一维问题空间区

54、域的离散化PW (2)wPxx)(222)(21wPxx333)(! 31wPxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444wPwPwPxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散ewPwPPEewxxxxxxx)()(21)()()()( (3)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233ewPewPewPewPxxxxxxxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散ewPePPW

55、wexxxxxxx)()(21)()()()( (4)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233wePwePwePwePxxxxxxxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散.)()()()(! 41 )()(31)()( )()()()()()(4433weewPewPPewPWwePEewxxxxxxxxxxxxxxxPE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444ePePePxxx

56、xxxewPwPPEewxxxxxxx)()(21)()()()( (3)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233ewPewPewPewPxxxxxxxxxxxxPW (2)wPxx)(222)(21wPxx333)(! 31wPxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444wPwPwPxxxxxxewPePPWwexxxxxxx)()(21)()()()( (4)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233wePwePwePwePxxxxxxxxxxxxewPwPPEew

57、xxxxxxx)()(21)()()()( (3)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233ewPewPewPewPxxxxxxxxxxxxewPePPWwexxxxxxx)()(21)()()()( (4)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233wePwePwePwePxxxxxxxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散.)()()()(! 41)()(31- )()()()()()()()(1 )5(44

58、33weewPewPPWwePEewewPxxxxxxxxxxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散)()()()()()()()(1 )6(PWwePEewewPxxxxxxx.)()()()(! 41 )()(31-)()(O 4433wewePewPewxxxxxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散 ) 1()1 ()(1 )8(22PxWxExePLLLxx节点间距比 )()( )7(wexxxL第二章第二章 计算区域及控制方程的

59、离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散l根本思绪、方法同前l为方便推导，在5中令，)()()()()()()()(1)( )9(PWwePEewewPxxxxxx.)()()()(! 41)()(31- )()()()()()()()(1 )5(4433weewPewPPWwePEewewPxxxxxxxxxxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散.)()()()(! 41- )()(31-)( )10(4433weewPewPPPxxxxxxxxx第二章第二章 计算区域及控制方程的

60、离散计算区域及控制方程的离散2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散222)(21)()( (11)ePePPExxx.)()()()()(!41 )()()(! 3122244233weweePweePxxxxxxxxxxPE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(!61)(!51)(!41666555444ePePePxxxxxxPE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(!61)(!51)(!41666555444ePePePxxxxxx222)(21)()( (11)ePePPExxx.)()()()()(!41