机械波习题思考题

1、习题8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距m0.2的两质点a与b，b点振动相位比a点落后6，已知振动周期为s0.2，求波长和波速。解：根据题意，对于a、 b 两点，mx2612，而相位和波长之间又满足这样的关系：221212xxx代入数据，可得：波长=24m。又已知t=2s，所以波速u=/t=12m/s 8-2 已知一平面波沿x轴正向传播， 距坐标原点o为1x处p点的振动式为)cos( tay，波速为u，求 : （1）平面波的波动式；（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解： （1）根据题意， 距坐标原点o为1x处p点是坐标原点的振动状态传过来的，其 o点振动状态传到p 点需用uxt1，

2、也就是说t 时刻 p处质点的振动状态重复uxt时刻 o处质点的振动状态。换而言之，o处质点的振动状态相当于uxt1时 刻p处 质 点 的 振 动 状 态 ， 则o 点 的 振 动 方 程 为 ：c o s 1）（uxtay波动方程为：cos1）（uxuxtay（2）若波沿x轴负向传播， o 处质点的振动状态相当于uxt1时刻 p 处质点的振动状态，则o点的振动方程为：cos1）（uxtay波动方程为：cos1）（uxuxtay8-3. 一 平 面 简 谐 波 在 空 间 传 播 ， 如 图 所 示 ， 已 知a点 的 振 动 规 律 为)2cos(tay，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；（

3、2）b点的振动表达式（b点位于a点右方d处） 。解：（1） 仿照上题的思路， 根据题意，a点的振动规律为)2cos(tay，它的振动是o 点传过来的，所以 o 点的振动方程为：2cos）（ultay那么该平面简谐波的表达式为：2cos）（uxultay（2） b 点的振动表达式可直接将坐标x=d-l ，代入波动方程：2cos2cos）（）（udtauldultay也可以根据b 点的振动经过ud时间传给 a 点的思路来做。8-4. 已知一沿x正方向传播的平面余弦波，s31t时的波形如图所示，且周期t为s2. （1）写出o点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出a点的振动表达式；（4

4、）写出a点离o点的距离。解：由图可知a=0.1m，=0.4m，由题知 t= 2s，=2/t=，而 u=/t=0.2m/s 。波动方程为： y=0.1cos (t-x/0.2)+0m 关键在于确定o点的初始相位。（1）由上式可知：o点的相位也可写成：= t+ 0由图形可知：s31t时 y=-a/2 ，v0，此时的 =23，将此条件代入，所以：03132所以30o点的振动表达式y=0.1cos t+ /3 m （2）波动方程为：y=0.1cos (t-x/0.2)+/3 m （3）a点的振动表达式确定方法与o点相似由上式可知：a点的相位也可写成：=t+ a0由图形可知：s31t时 y=0，v0，此

5、时的 =- 2，将此条件代入，所以：0312a所以650aa点的振动表达式y=0.1cos t-5 /6 m （4）将 a点的坐标代入波动方程，可得到a的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos (t-x/0.2)+/3 = 0.1cos t-5 /6 可得到：mxa233.03078-5. 一平面简谐波以速度m/s8 .0u沿x轴负方向传播。 已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距m1的两点之间的位相差。解：由图可知a=0.5cm ，原点处的振动方程为：y=acos（ ） t=0s时 y=a/2 v0 可知其相位为1=3

6、t=1s时 y=0 v0 可知其相位为2=2代入振动方程，=3=2可得： =65 t=2 / =12/5 则 y=0.5cos（65-3）cm （2）沿x轴负方向传播，波动表达式：y=0.5cos65（ +ux）-3cm （3）根据已知的t=12/5 ，m/s8 .0u，可知：m2548那么同一时刻相距m1的两点之间的位相差：3.27rad24252x8-6. 一正弦形式空气波沿直径为cm14的圆柱形管行进，波的平均强度为m)j/(s100 .93，频率为hz300，波速为m/s300。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解： (1) i=wu

7、uiw=9.0 10-3300=310-5 j m-3wmax=2w=0.6 10-4 j m-3(2) w=udwdwv224141=310-51/4 （ 0.14 ）300/300=4.62 10-7 j 8-7. 一弹性波在媒质中传播的速度m/s103u，振幅m100.14a，频率hz103。若该媒质的密度为3kg/m800，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1 分钟内垂直通过面积24m100.4s的总能量。解：=2=2310（1）（）（）（smjaui252324322/1058.110210800102121（2）1 分钟内垂直通过面积24m100.4s的总能量w=istj3451

8、079.3601041058.18-8. 1s与2s为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为4/5d，2s质 点 的 振 动 比1s超 前2. 设1s的 振 动 方 程 为ttay2cos10，且媒质无吸收，（1）写出1s与2s之间的合成波动方程；（2）分别写出1s与2s左、右侧的合成波动方程。解： （1）)2cos(1101rtay)2cos(2202rtay由题意： 20- 10=2设它们之间的这一点坐标为x，则)2cos(101xtay）（）（xtaxtay2cos4522cos10102相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。合成波为：ttxayyy2cos2cos2

9、21（2）在 s1左侧的点距离s1为 x：)2cos(101xtay）（）（xtaxtay2cos4522cos10102合成波为：）（xttayyy2cos221在 s2右侧的点距离s1为 x：)2cos(101xtay）（）（xtaxtay2cos4522cos10102两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。8-9. 设1s与2s为两个相干波源，相距41波长，1s比2s的位相超前2。若两波在在1s、2s连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1s、2s连线上在1s外侧各点的合成波的强度如何？又在2s外侧各点的强度如何？解：由题意：1- 2=2， r1 在 s1左侧的点： as1=r1

10、， as2=r2，? =4/12221212rr所以 a=a1-a2=0，i=0 ；在 s2左侧的点： as1=r1， as2=r2，? =04/12221212rr所以 a=a1+a2=2a，i=4i0；8-10. 测定气体中声速的孔脱（kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘d伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞p，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：du2。证明：根据驻波的定义， 相邻两波节 ( 腹 ) 间距：2x，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d，所以

11、：2d那么：d2所以波速du28-11. 图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。s为声源，d为声音探测器，如耳或话筒。路径sbd的长度可以变化，但路径sad是固定的。干涉仪内有空气， 且知声音强度在b的第一位置时为极小值100 单位， 而渐增至b距第一位置为cm65.1的第二位置时，有极大值900单位。求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节( 腹) 间距：2x相邻波节与波腹的间距：4x可得：cmx6.64声音的速度在空气中约为340m/s，所以：）。（hzu5151106.63402根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在b的第一位置时

12、为极小值100 单位，在第二位置有极大值900单位，所以振幅的相对大小为10 与 30 单位。极小值的原因是两个振幅相减 （a1-a2=10 ） ， 极大值的原因是两个振幅相加（a1+a2=30 ） 。那么 a1：a2=2：1 。8-12. 绳索上的波以波速m/s25v传播，若绳的两端固定，相距m2，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3 个波节。设驻波振幅为m1 .0，0t时绳上各点均经过平衡位置。试写出：（1）驻波的表示式；（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解：根据驻波的定义，相邻两波节( 腹) 间距：2x，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3 个波节

13、，可见两端点之间有四个半波长的距离，224x，所以波长m1，m/s25v，所以）。（hzu502又已知驻波振幅为m1 .0，0t时绳上各点均经过 平 衡 位 置 ， 说 明 它 们 的 初 始 相 位 为，2关 于 时 间 部 分 的 余 旋 函 数 应 为）（250cost。所以驻波方程为：）（250cos2cos1.0txy（2）由合成波的形式为：txayyy2cos2cos221可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：）（xty250cos05.01）（xty250cos05.028-13. 弦线上的驻波波动方程为：txaycos)22cos(. 设弦线的质量线密度为. （1）分别指出振动

14、势能和动能总是为零的各点位置。（2）分别计算20半个波段内的振动势能、动能和总能量。解： （1）振动势能和动能总是为零的各点位置是022cos(）x的地方。即：21222）（ kx可得：2kx（k=0，321，）（2）振动势能写成：txdvadykdwp22222cos22cos21)(21）（20半个波段内的振动势能：tatxdxadykwp222222220220cos8cos22cos21)(21）（)(sin22cos212122222uxtxdvadmvdwk）（20半个波段内的振动动能：tatxdxadmvwk222222220220sin8sin22sin21(21）（）所以动能

15、和势能之和为：2281awwwpk8-14. 试计算：一波源振动的频率为hz2040，以速度sv向墙壁接近（如图所示），观察者在a点听得拍音的频率为hz3，求波源移动的速度sv，设声速为m/s340。解：根据观察者不动，波源运动，即：00rsu,u，观察者认为接受到的波数变了：0suuu其中 u=340，。，204020430分别代入，可得：smus/25.08-15. 光在水中的速率为m/s1025.28(约等于真空中光速的4/3).在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射称切连科夫 (cherenkov)辐射 ，其波前形成顶角116的马赫锥，求电子的速率解：svu2si nsmuvs881065.22116sin1025.22sin思考题8-1. 下图（ a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在0t时刻的波形图，则图（ b）表示的是：（a）质点m的振动曲线（b）质点n的振动曲线（c）质点p的振动曲线（d）质点q的振动曲线答：图（ b）在 t=0 时刻的相位为2，所以对应的是质点n 的振动曲线，选择b。8-2. 从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答： （ 1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大， 同时等于零。 而振动中动能的增加必然以势能的减小