全国2016年青年教师优质课比赛教案说明

1、直线的倾斜角与斜率【教案说明】上饶市一中 姚蔚一、教学内容与地位作用解析本节课是北师大版教材高一数学必修（2）第二章1.1节的内容。1、内容分析本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及一个公式（斜率计算公式）直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量，它也是确定直线位置的一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程度。直线的斜率指倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念的。直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。显然，与倾斜角相比，用斜率刻画倾斜程

2、度会更细致。关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）。从而在直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联系。斜率不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来，而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思想。2、地位作用分析本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可建立一一对应的关系。这节课的教学难点在于和以往的教材不同，学生没有学习三角函数，所以不可以用正切函数来解释倾斜角与斜率之间的关系。本节是以，在y轴方向上的升高量和在x

3、轴方向上的前进量的比值探究出斜率的概念的。这节课的教学内容，不仅能反映出数学概念离不开生活，数学是自然有用的，而且蕴含了几何问题代数化的思想，从知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着关键性的铺垫作用。二、教学目标解析1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程；2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想；3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；4、经历用代数方法刻画

4、直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。三、教学问题诊断分析1、关于倾斜角的概念：为什么要引入倾斜角？如何描述这个角？这些地方都是教学中易忽略的，也是学生最难理解的地方。直接给出倾斜角的定义，会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的，你只要接受就可以了，这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的，为聪明人准备的学科，会渐渐使许多学生变得被动学习，缺乏数学学习兴趣及自信心。所以，在引入这节课时，应重点让学生感受引入倾斜角的必要性，要描述清楚倾斜角必须注意是有方向旋转（矢量），从而能自然地、准确地描述清楚定义。2、对于斜率，学生基本上能从斜坡

5、的坡度中顺利迁移过来，当倾斜角为90及0时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。另外，倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直线的倾斜程度，相比较斜率更具有优越性。3、斜率计算公式的得出，学生有两点不易把握。一方面，怎样将两点坐标与相联系；另一方面，图形分析不够全面。对前者，可提供学生探究发现的机会，对后者教师可先让学生在直角坐标系下联想坡度，找升高量与前进量，再引导其转化为坐标表示。公式的推导过程是多数学生能独立解决的，教学中应放手让学生推导并体会数形结合与分类讨论的思想，有助于培养学生研究

6、问题的独立性、条理性、全面性。教学重点：1.感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2.推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3.体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。教学难点：1.用代数方法推导斜率的过程。 2.是用来导出斜率的定义四、本节课的教学方法：计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。五、教学过程设计（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区

7、分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的方向(即倾斜程度)如何刻画直线的倾斜程度？这里就引入了倾斜角的概念。1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合所成的角，叫作直线的倾斜角.让学生把握好定义，这里加入理解。(倾斜角是矢量)角的形成（1）一个顶点（2）初始边与终边（逆时

8、针旋转）这里制作了几何画板演示直线的倾斜角，让学生更好地把握概念。学生容易忽略与轴平行或重合的直线注意补充。规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。自然有倾斜角的范围是0，180）这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。（二）巩固旧知，同化新知1.提问：日常生活中，除了倾斜角还有没有其它表示倾斜程度的量？生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？（即坡

9、角的正切值）坡度（比）=升高量前进量坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的倾斜角的正切值即2.高中我们定义倾斜角的正切值为斜率问题（1）如何作一条过原点倾斜角为直线？从这个问题的解决突出了确定直线的两种方法（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜角。以及确定直线的两种方法实际的操作性。2接着由特殊到一般研究过原点的直线的斜率。(1)当倾斜角为锐角时 1因为 突出如何理解的意义。引出斜率：其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即3.当为钝角时，直线的斜率如何求？y（1）利用上述定义研究出斜率。如：倾斜角，则斜率上述方法用的是定义。也可以观

10、察到与补角的正切值关系求斜率 倾斜角，则斜率问题4。当=90时，斜率k如何？这里借助几何画板让学生了解到倾斜角与斜率的关系，所以当=90时，斜率k不存在。至此，过原点的直线的斜率都研究了。学生很快可以总结了。（1）斜率的求法：定义法（2）倾斜角与斜率的关系3.接着研究不过原点的直线的斜率可以通过平移到原点来，平行线间的斜率是一样的。到此，我们把直线的所有位置情况都研究了，总结出直线的斜率：（1）（2）倾斜角与斜率的关系（三）尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。问题5.在平面直角坐标系中，已知直线

11、上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐标来表示直线斜率k？（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1 、P2及直线P1 P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。解：设直线P1 P2倾斜角为（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作轴的平行线，过点P2作轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）（1）前两图中，突出如何理解斜率的的意义，在中，k=（2）后两图，突出如何理解的意义，由学生自行推导（

12、可让学生分组推导）小结：无论为锐角或钝角，也有，即（）思考：1.两点间斜率公式与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？2.当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？3.斜率公式使用时应注意什么问题？例题1.如图 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角例题2. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线 及 （四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）1、明确了确定直线位置的几何要素。2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想 (五)板书设计直线的倾斜角与斜率1、