人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(六十八) 10.7离散型随机变量及其分布列

1、课时提升作业(六十八)离散型随机变量及其分布列(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·汉中模拟)袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为X,则表示“放回5个红球”事件的是()A.X=4B.X=5C.X=6D.X5【解析】选C.“放回5个红球”表示前5次摸到黑球,第6次摸到红球,故X=6.2.(2015·安庆模拟)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为P(X=n)=(n=1,2,3,4

2、),所以+=1,所以a=,因为P=P(X=1)+P(X=2)=×+×=.3.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便.下列概率中等于的是()A.P(X=4)B.P(X4)C.P(X=6)D.P(X6)【解析】选A.X服从超几何分布,则=P(X=4).4.离散型随机变量X可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又EX=3,则3a+b=()A.10B.C.5D.【解析】选B.依题意知:EX=1×(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=a+b+

3、4a+2b+9a+3b+16a+4b=30a+10b=3,所以3a+b=.5.已知随机变量X的概率分布列如下表:X12345678910Pm则P(X=10)=()A.B.C.D.【解题提示】利用离散型随机变量的分布列的性质表示m,再利用等比数列的前n项和求得m.【解析】选C.由题易知:P(X=1)+P(X=2)+P(X=10)=1+m=1m=1-=1-2×=1-=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜

4、时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是.【解析】X=-1,甲抢到一题但答错了.X=0,甲没抢到题,或甲抢到2题,回答时一对一错.X=1时,甲抢到1题且答对或甲抢到3题,且一错两对,X=2时,甲抢到2题均答对.X=3时,甲抢到3题均答对.答案:-1,0,1,2,3【加固训练】设某运动员投篮投中的概率为P=0.3.则一次投篮时投中次数的分布列是.【解析】X01P0.70.3此分布列为两点分布列.答案:X01P0.70.37.设随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则常数a的值为,P=.【解析】随机变量X的分布列为X1Pa2a3a4a5a由a+2a+3a+4a+5a=1,解得

5、a=.P=P+P+P(X=1)=3a+4a+5a=12a=.答案:【一题多解】本题还可以用如下的方法解决:随机变量X的分布列为X1Pa2a3a4a5a由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=,P=1-P-P(X=)=.答案:【加固训练】若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2-c3-8c则常数c=,P(X=1)=.【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知:解得c=.P(X=1)=3-8×=.答案:8.(2015·宜春模拟)由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其表如下:X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失

6、的两个数据依次为.【解析】由于0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1,得0.x5+0.1y=0.40,于是两个数据分别为2,5.答案:2,5三、解答题(每小题10分,共20分)9.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数.(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.【解析】(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,则P(A)=1-=,得到x=5.故白球有5个.(2)X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=3,P(X=k)=,k=0,

7、1,2,3.于是可得其分布列为X0123P【方法技巧】(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.10.将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球,随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子放一个球,X表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数.(1)求1号球恰好落入1号盒子的概率.(2)求X的分布列.【解析】(1)设事件A表示“1号球恰好落入1号盒子”,P(A)=,所以1号球恰好落入1号盒子的概率为.(

8、2)X的所有可能取值为0,1,2,4.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=4)=.所以随机变量X的分布列为:X0124P【加固训练】1.一个袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回去,直到取到白球为止,求取球次数的分布列.【解析】设取球次数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以随机变量X的分布列为X12345P【方法技巧】概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现,其解题的一般步骤为第一步:理解以实际问题为背景的概率问题的题意,确定离散

9、型随机变量的所有可能值;第二步:利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;第三步:画出随机变量的分布列;第四步:明确规范表述结论.2.某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n>8且nN*),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于,求n的最大值.(2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求X的分布列.【解析】(1)由题意可知,所选2人为“最佳组合”的概率为=,则,化简得n2-2

10、5n+1440,解得9n16,故n的最大值为16.(2)由题意得,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,X的分布列为X012P3.为适应公安部交通管理局印发的加强机动车驾驶人管理指导意见,某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为:从10个备选测试项目中随机抽取4个,只有选中的4个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0.8;乙对其中8个测试项目完全有合格把握,而对另2个测试项目根本不会.(1)求甲恰有2个测试项目合格的概率.(2)记乙的测试项目合格数为X,求X的分布列.【解析】(1)设甲的测试项目的合格数为Y,

11、则YB(4,0.8),则甲恰有2个测试项目合格的概率为P(Y=2)=(0.8)2(1-0.8)2=.(2)X的可能取值为2,3,4,且服从超几何分布,故P(X=2)=;P(X=3)=;P(X=4)=.所以X的分布列为:X234P(20分钟40分)1.(5分)(2015·淄博模拟)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,则取出的3个小球上的数字互不相同的概率为.【解析】“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=.答案:【一题多解】本题还可用以下方法求解:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“

12、一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是对立事件.因为P(B)=,所以P(A)=1-P(B)=1-=.答案:2.(5分)若P(Xx2)=1-,P(Xx1)=1-,其中x1<x2,则P(x1Xx2)等于.【解析】由分布列性质可有:P(x1Xx2)=P(Xx2)+P(Xx1)-1=(1-)+(1-)-1=1-(+).答案:1-(+)3.(5分)如图所示,A、B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X,则P(X8)=.【解析】由已知得X的取值为7,8,9,10.因为P(X=7

13、)=,P(X=8)=,P(X=9)=,P(X=10)=.所以X的概率分布列为X78910P所以P(X8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=+=.答案:4.(12分)(2015·咸阳模拟)设X为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,X=0,当两条棱平行时,X的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,X=1.(1)求概率P(X=0).(2)求X的分布列.【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(X=0)=.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(X=

14、)=,于是P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=)=1-=,所以随机变量X的分布列是X01P5.(13分)(能力挑战题)某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.视觉听觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉记忆能力偏低0751中等183b偏高2a01超常0211由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一人,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为.(1)试确定a,b的值.(2)从40人中任意抽取3人,求其中至少

15、有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率.(3)从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为X,求随机变量X的分布列.【解析】(1)由题中表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10+a)人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A,则P(A)=,解得a=6.所以b=40-(32+a)=40-38=2.(2)由题中表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人.方法一:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B,则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记

16、忆能力超常的学生”为事件,所以P(B)=1-P()=1-=1-=.方法二:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉能力超常的学生”为事件B,所以P(B)=.(3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为,所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P(X=k)=(k=0,1,2,3),X的可能取值为0,1,2,3,因为P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列为X0123P【加固训练】在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率.(2)求随机变量X的分布列.【解析】(1)因为x,y可能的取值为1,2,3,所以|x-2|1,|y-x|2,所以X3,且当x