中职数学(高教版)拓展模块教学设计：双曲线

1、【课题】 22 双曲线（二）【教学目标】知识目标：了解双曲线标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质能力目标：学生的数学思维能力得到提高【教学重点】双曲线的性质【教学难点】双曲线的渐近线概念的理解【教学设计】双曲线性质的教学，可以与椭圆的性质对比进行，着重指出他们的异同点例3 是双曲线的性质的训练题利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习例4与例5都是求双曲线方程的训练题这些题目都属于基础性训练题【教学备品】教学课件【课时安排】2 课时 (90 分钟 )【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间* 揭示课题2 2双曲线介绍了解0* 创设情境兴趣导入我们用

2、于研究椭圆的性质相类似的方法来，根据双曲线引导的标准方程播放观看启 发x2y2课件课件学 生1(a 0，b 0)质疑思考得 出a2b2结果来研究双曲线的性质5* 动脑思考探索新知1范围y2 0因为 b2，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上教学教师学生教学时过程行为行为意图间x2 1，即 x2 a2的点的横坐标满足 a2于是有x a 或 x a这说明双曲线位于直线x a 的左侧与直线x a 的右侧（如图 211）总结归纳思考图 2112对称性在双曲线的标准方程中，将y 换成 y ，方程依然成立这说明双曲线关于x 轴对称同理可知，双曲线关于y 轴对称，也关于坐标原点对称 x 轴与 y 轴都叫做

3、双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心 （简称 中心）3.顶点在双曲线的标准方程中，令y 0 ，得到 xa 因此，双曲线与 x 轴有两个交点A1( a,0) 和 A2 (a,0)（如图 2 11）双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点 因此A1 ( a,0) 和 A2 (a,0) 是双曲线的顶点分析令 x 0 ，得到 y2b2关键，这个方程没有实数解，说明双词语曲 线 和 y 轴 没 有 交 点 但 是 ， 我 们 也 将 点 B1(0， b) 与理解B2 (0，b) 画出来（如图2 11）记忆线 段 A1 EMBEDEquation.DSMT4A2， B1EMBED引 导学 生发 现

4、解 决问 题方法教学过程教师行为学生行为教学意图时间Equation.DSMT4B2分别叫做双曲线的实轴 和虚轴 ，它们的长分别为 2a 和 2b a 和 b 分别表示双曲线的半实轴长 和半虚轴长【说明】实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线4渐近线经过 A1、A2 分别作 y 轴的平行线x = a ， x = a，经过B1、 B2 分别作 x 轴的平行线 y = b ， y = b这四条直线围成一个矩形（如图 2 12）矩形的两条对角线所在的方程为y b xa 双曲线的标准方程可以写成ybx2a2b x 1a2aax2，b x可以看到，当 | x| 无限增大时， y 的值无限接近于a的yb x

5、值这说明双曲线的两支曲线与两条直线a无限接近ybx（但不能相交） 因此，两条直线a 叫做双曲线的渐近线 图 212【说明】教学教师学生教学时过程行为行为意图间y2x21( a 0,b0)y 轴的双曲线 a 2b 2焦点在的渐近线方yax程为b 5离心率双曲线的焦距与实轴长的比率，记作 e即2cc2aa 叫做双曲线的离心cea 25因为 c a0 ，所以双曲线的离心率e 1 由bc2a2c212aaa2e 1byb x可以看到， e越大， a 的值越大，即渐近线a 的斜率的绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大（如图2 12）因此，离心率e 的值可以刻画出双曲线“张口”的大小【想一想】等轴双曲线

6、的离心率是多少？* 巩固知识典型例题例 3求双曲线 9x216y2144 的实轴长、虚轴长、焦引领观察注意点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程，并用“描点法”观察画出图形讲解思考学生说明解将方程化成标准方程为是否主动理解x2y2求解知识1619点因此双曲线的焦点在x 轴 上 且 a2EMBED教学教师学生教学时过程行为行为意图间Equation.DSMT416，b29， EMBEDEquation.DSMT4c2a2b225故 a 4, b 3, c 5 所以双曲线的实轴长为 8，虚轴长为 6，焦点为F1 ( 5，0)， F2 (5，0) ，离心率为c5e4 ，ay3 x渐近线方程为4 可以先

7、画出双曲线在第一象限内的图形，然后再利用双曲线的对称性，画出全部图形双曲线方程在第一象限可以变形为y3x2164在区间 4,) 内，选出几个x 的值，计算出对应的y值列表：x45678y02.253.354.315.20以表中的 x 值为横坐标，对应的 y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点( x, y) ，用光滑的曲线顺次联结各点得到双曲线在第一象限内的图形然后利用对称性，画出全45部图形（如图 2 13）图 213教学过程教师行为学生行为教学意图时间【说明】画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图形例 4已知双曲线的焦点

8、为（6 ， 0 ），渐近线方程为y25 x5 ，求双曲线的标准方程解由已知条件知双曲线的焦点在y 轴所以有a2b236b25a5解得a25，b 4 故所求的双曲线方程为x2y212016【注意】25yx不能由渐近线方程5直接得到a 5, b 2 5 想一想为什么？例 5已知双曲线的两个顶点坐标为（0， 4），（0， 4）3离心率为2 ，求双曲线的标准方程及其渐近线方程a34， e解由已知条件知2 ，焦点在 y 轴上因此cae4 362故b2c2a236 4 20因此双曲线的标准方程为y2x211620双曲线的渐近线方程为教学教师学生教学时过程行为行为意图间y4x，2 5即 2x5y 0* 运用

9、知识强化练习求适合下列条件的双曲线的标准方程：及时（ 1）半实轴为4，半虚轴为3；了解提问动手学生y3 x巡视求解知识(2，0) （ 2）渐近线方程为5，焦点坐标为指导掌握情况60* 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：什么叫做双曲线的离心率？结论：双曲线的焦距与实轴长的比回答师 生质疑共 同理解归 纳强 调2cc归 纳强化重点强调2aa 叫做双曲线的离心率，记作 e 即cea 70* 归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75* 自我反思 目标检测培 养本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？反 思提问反思你的学习效果如何？学 习过 程12，焦距为14，焦点在 y 轴上，已知双曲线的实轴长为巡视动手的 能求双曲线的标准方程指导求解85力* 继续探索 活动探究( 1)读书部分：教材说明记录分 层( 2)书面作业：教材习题2 2（必做）；学习指导 2 2次 要求（选做）( 3) 实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题【教师教学后记】90项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努