二项式定理教学设计(黄文辉)

1、二项式定理（第1 课时）广东省深圳中学黄文辉一、内容和内容解读内容：二项式定理的发现与证明内容解读：本节是高中数学人教A 版选修2 3 第一章第3 节的内容二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值教案中应当引起充分重视二、目标和目标解读目标：（ 1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证

2、明二项式定理（ 2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用（ 3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养目标解读：（ 1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法（ 2）由于二项展开式是一个复杂的多项式如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识因

3、此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教案目标的一个重要途径（ 3）数学核心素养是数学教案的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实在二项式定理的教案中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教案的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教案的好机会基于上述分析，本节课的教案重点定为：发现并证明二项式定理三、教案问题诊断分析1教案问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运

4、算问题是本节课的第一个教案问题解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上2教案问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教案问题这不仅是本节课的重点，也是教案难点解决方案：通过比较多项式( a1b1)(a2b2 )( a3b3 ) 展开式中项与项的异同点，得出( ab) n 的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容3教案问题三：如何证明二项式定理是第三个教案问题学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来

5、证明解决方案：通过对(ab) 3 的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画基于上述情况，本节课的教案难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律四、教案策略分析本节课的教案目标与教案问题为我们选择教案策略提供了启示为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台因此，在教案过程中使用TI -图形计算器既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来在教案设计中，采取问题引导方式来组织课堂教案问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教案重点，突破教案难点在教案过程中，重视二项式

6、定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范因此，本节课的教案是实施数学具体内容的教案与核心素养教案有机结合的尝试五、教案过程与设计教师生活动设计意图问题或任务案环节 问题 1有人说(1x ) 70 的展开式中有 x47 项，你认为对吗？若有，它的系数是多少？问题 2为了解决问题1 ， 需 要 用 到 ( ab ) n的展开，你认为这个展开式式会怎样呢？回顾前知引出猜想教师 1： 提出问题 1学生 1：学生思考教师 2：提出问题 2学生 2：学生思考教师3：观察 ( a b)1 、 ( ab)2 、 ( a b)

7、3 、(ab) 4 、 (a b) 5 的展开式，你能得到哪些规律？学生3：利用图形计算器CAS的expand()函数，得出 (a b) 3 、 (a b)4、 (ab)5 的展开式教师 4：根据你所计算的结果，填对应表格问题引入提出问题引导学生通过对特殊情形的观察，归纳猜想一般情形的基本特征教师引导，学生根据所得具体的展开式，从展开式中的项数、项的次数、项的系数等角度进行归纳，并根据归纳所得猜想一般的展开式的结果学生体会由特殊到一般的归纳猜想的过程学生 4：发现项数、项的次数、项的系数并猜想：(ab)n0 an1an 1bk an k bknbn问题 3猜想一：教师 5：提出问题 3探 (

8、ab)n0an1an 1b学生 5：引起思考，并提出想法寻kan kkn bn教师 6：提出问题：b在 (a b )30 a32b2 ab23b3规中的？1ak中，为什么“0 1 ，1 3 ，2 3 ，律3 1”？获学生 6：展开式计算，寻找答案得教师 7：提出问题：结( a b ) 3 与 ( a1b1 )( a2b2 )( a3b3 ) 是 什 么论关系？一般问题回到特殊情形进行研究把问题回到已知的结构进行处理学生通过计算器得到计算结果教师通过引导学生对展学生6：当开式各项构a1a 2a 3a,b1b2b3b时 ，成的观察，( a1b1 )( a 2b2 )( a3b3 )( ab ) 3

9、得到项的构教师 7：提出问题：成通过特殊与探 究 ( a1b1 )( a2b2 )(a3b3 ) 展 开 式 的 特一般的项的点关系对比，学 生7：利用图形计算器的CAS功能 中得到对系数expand()函数，得出 (a1 b1 )( a2b2 )( a3b3 ) 的意义的理展开式解根据展开式系数即同类项的个数这一结论，引导同学们通过一般到特殊，用组合计数模型对各项系数进教师8：引导学生分 析行研究(a1b1 )(a2b2 )( a3b3 ) 展开式的各项，并提得到展开式出问题在展开式中为什么没有a1b1 a2 项， a1a2系数的猜想等项？学生 8：学生根据所得的计算结果，观察得到展开式的项

10、的特点：展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的教师 9：通过表格呈现特殊( ab ) 3 与并提出问题：( a b ) 30 a 31 a 2 b2 ab 23b 3中，为什么13？学 生 9 ： ( ab)3 展 开 式 中 的 项 3a2b 是 由(a1 b1 )(a2b2 )( a3b3 ) 展 开 式 中 的 项a1 a2 b3 ， a1b2a3， b1a2a3 去掉足码得到aab ，aba ， baa 后合并同类项得到从三个括号中的一个括号选择“ b ”剩余两个括号选择“ a ”构成的，因为从三个括号中的一个括号选择“ b ”，一旦确定哪个括号选“b ”，剩余两

11、个括号选择也就确定了，因为“b ”有三种选择，所以对应同类项的个数就为3 ，即2“ a b ”的系数为3 教师 10：能否用计数模型进行解释？学生10： “ a 2b ”可以看成是从三个括号中问题 3你能证明( ab)nCn0 anCn1an 1bCnk an kbkCnn bn( n N ) 吗？ 问题4 从数列的角度看二项式展开式，你能获得什么认识？证问题 5你能根据明( a b) n的展开式得出定( a b) n 的展开式吗？理 课堂练习 1明 (1) 求 (1 x)n 的 展 开晰式；概1)6 的展念(2) 求 (2 xx开式课堂练习 2求 ( x 1 )9 展开式中 x3 x的系数选

12、择一个括号选“b ”，剩余两个括号选择“ a ”，完成这件事的所有可能，要做这件是，我们可分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一个括号选“b ”，有 C31 种选择；第二、剩余两个括号选择“a ”就 C221种选法，故有 C311C31种选法，所以，1 C31 依此可以得到其它系数的组合数形式：(a b)3C30 a3C31 a2b C32 ab2C33 b3 教师11：根据所得 (ab) 3 展开式的规律，你能 否 得 猜 想 (a b )n的展开式中0, 1, k ,n 的值？学生 11：(a b)nC0 anC1an 1 bCk an kbknnnCnn bn教师12：提出问题3由归纳

13、猜想学生 12：提出想法到理论证明教师 13：你认为证明问题3，关键是几步？引导提炼学学生13：（ 1）项的结构；（2）项的系数生提炼证明要点教师14 ：证明：(ab)n是 n 个 (ab) 相强调规范表达乘，根据多项式的乘法，展开式每一项都满明晰概念足 ankbk （ k0,1, , n ）学生从数列的角度获得对项 ank k（ k0,1, n ）看成问题：对二项式展b开式的再认从 n 个括号中选择k 个括号选“ b ” ，剩余识括号选择“ a ”，相乘而成可这样设计计数让学生体会利用二项式模型，要做这件事，可分成两步来完成：定理模型进第一、从 n 个括号中选择k 个括号选“ b ”，行计算

14、，感受数学模型有 Cnk 种选择；的在数学应a ”就 Cnnkk1 种选用中的价第二、剩余括号选择“值法，课堂练习1根据分步计数原理有k1k种选法熟悉二项式CnCn定理模型所以，项 ankbk 的同类项有 Cnk ，故 ank bk 的课堂练习系数为 Cnk （ k0,1,n ）2让学生体会用通项公nkn kk式表示展开所以，(a)展开式每一项满足Cn ab式的简洁b性问题 6 你从二项式定理的发现、证明与应用的过程中体会到一些什么？课后练习 1写出 ( x1)6 的展开式课3x1)n堂2写出(23x小的 展 开 式 的 第 r1结项升华 课后思考 认1 ( a b c)3 的展开知式为2 请

15、同学们观察下表（我国宋朝时期数学家杨辉所做的一个表），你有什么发现？（ k 0,1, , n ）教师15：上述公式叫二项式定理，展开式共有n1项，其中各 项 的系数Cnk（ k 0,1, ,n ）叫做二项式系数教师 16：提出问题 4学生 14：二项展开式可以看成是一个数列的和，数列的通项公式是 Cnk an kbk ，表示数列第k 1 项教师17：二项式展开式的通项是展开式中第k 1 项： Tk 1 Cnk an kb k 学生15： 根据 二项式定理，把( a b)n 化成a( b)n 的形式，把此式子中的“ b ”看成二项式定理中的 “b ”即可得到结论（写出具体展开式）教师 18：布置课堂练习1、 2学生 16：完成课堂练习，并通过计算器核对答案教师 19：提出问题 6学生 17：本节课获取二项式定理的过程：先由特殊察(a345b)、 (a b) 、 (ab) 的展开式猜想一般 (b)na的展开式项的结构，再通过对