第一讲矩阵的概念运算

1、第一讲I 授课题目章节： § 2.1 矩阵的概念；§ 2.2 矩阵的计算n 教学目的与要求： 理解矩阵概念； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。川教学重点与难点：矩阵的乘法IV 讲授内容：§ 2.1 矩阵定义 2.1 由 m n 个数 aij (1,2,m; j1,2,n排成的m行n列的数表a11a12a1na21a22a2nam1 am2amn称为 m 行 n 列矩阵 , 简称 mn 矩阵 . 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧 , 并用大写黑体字母表示它 , 记作a11a12a1na21a22a2nAm nam1am2amn两个矩阵A, B，如果都

2、是m行n列的，称它们是同型矩阵。否那么，称它们是不同型 的。n行n列的矩阵 代n称为n阶矩阵或n阶方阵，简记为An。只有一行的矩阵 A a1a2an称为行矩阵，又称行向量只有一列的矩阵b1Bb2bn称为列矩阵，又称列向量.定义2.2 如果A G 与B 勺是同型矩阵,并且它的对应元素相等,即aij bij ,(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)那么就称矩阵A与B相等,记作A B .元素都是零的m行n列矩阵称为零矩阵，记作Om n，简记为0.不同型的零矩阵是 不同的 .100010In001称为 n 阶单位矩阵 , 简记作 I . 这个矩阵的特点是 : 从左上角到右下角的直线 (叫做主 对

3、角线 ) 上的元素都是 1, 其它元素都是 0.§2.2 矩阵的运算1. 矩阵的加法定义2.3 设有两个m n矩阵A (aij), B(bij),那么矩阵A与B的和记作A+B,规定为A B (aijbij )m n设矩阵A (aj记 A ( aj),A称为矩阵A的负矩阵.显然有A ( A) 0.规定矩阵的减法为 A B A ( B) .2. 数与矩阵相乘 :定义2.4 数 与矩阵A (aj)的乘积记作A，规定为 A ( aj)mn数乘矩阵满足以下运算规律(设 A,B 为同型矩阵， , 为数)：(i) ( )A ( A)(ii) ( )AAA(iii )(A B) AB3. 矩阵与矩阵

4、相乘 :定义2.5 设A (aj)是一个m s矩阵，B (bj )是一个s n矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵C (q ),其中cijai1b1jai 2b2 jaisbsjsaik bkjk1(i 1,2, ,m; j 1,2,n)并把此乘积记作CAB11103例1求矩阵A210 ,B23的乘积AB及BA.1040113131解 AB,BA836054012从本例可以看出AB 不一定等于BA, 即矩阵乘法不满足交换律。由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵相乘时必须注意顺序，AB称为用A左乘B, BA称为用A右乘B。如果两个矩阵A与B相乘，有ABBA，那么称矩阵A与B可交换。可

5、交换的矩阵一定是同型方阵。2424例 2 假设 A,B，求AB及BA1236163200解 AB,BA81600注: 假设有两个矩阵A、B 满足AB0,不能得出A 0或B 0的结论,即矩阵乘法不满足消去律 .a11x1 a12x2 .a1n xnb1例 3 线性方程组a21x1 a22x2 . a2nxnb22n n 2中，am1x1am2x2 .amnxnbma11a12a1n假设令 Am na21a22a2n(称为线性方程组的系数矩阵) ，am1am2amnx1b1x2X2(称为未知数矩阵) ， bb2 (称为常数列矩阵)xnbm那么方程组可以表示为矩阵形式 AX b 矩阵的乘法满足以下结

6、合律与分配律(i) (AB)C A(BC) (ii) (AB) ( A)B A B),(其中 为数)(iii ) A(B C) AB AC,(B C)A BA CA 对单位矩阵 I , 易知n可简记为 IA AI A4. 方阵的幂A A . A称为方阵A的k次幂。k个对于方阵A以及自然数k , Ak方阵的幂有以下性质：(i) Ak1 Ak2 Ak1 k2 (ii) (Ak1)k2 Ak1k2注：由于矩阵的乘法不满足交换律，一般而言有：(AB)k1(AB)k2 (AB)k1 k2 ，(A B)(A B) A2 B2 等等 5. 矩阵的转置定义2.6把矩阵A的行列式同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT矩阵的转置运算满足下述运算规律 ( 假设运算都是可行的 )(i) (AT)TA(ii) (A B)TATBT(iii ) ( A)TAT(iv) (AB)T BT AT定义2.7 设A是n阶方阵,如果满足 A A,即aij ajil(i, j 1,2, ,n)那么称A是对称矩