第2章控制系统的数学模型习题答案

1、第 2章 自动控制系统的数学模型2.1 学习要点1 控制系统数学模型的概念、描述形式与相互转换；2 物理系统数学模型的编写方法和步骤；3 非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法；4 系统方框图等效变换原那么与应用；5 信号流图等效变换与梅逊增益公式应。2.2 思考与习题祥解题 2.1 思考与总结下述问题。1我们学习的动态物理系统的数学模型有哪些形式？2非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法。3传递函数的意义、作用和性质；与微分方程模型相比，这种模型有何优 点？答：1自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动特性的数学描述。 我们学习的动态物理系统的数学模型有微分方程、传递函数和频率特性等表

2、达式描述形式，还有方框图和信号流图等图形化描述形式。2实际系统中变量之间的关系都或多或少地具有某种非线性特性。由于求解非线性微分方程比拟困难，因此提出了线性化问题。如果控制系统的工作状态 是在工作点的一个小偏差范围内变化，就可以用一条过工作点的切线代替工作曲 线在这个小偏差范围内的变化关系，这样，就把非线性特性线性化了。应用线性 化的数学模型就可以简化系统分析和设计的过程， 虽然这是一种近似的处理方法， 但却很有实际意义。只要这样做所造成的误差在允许范围内，不会对控制系统的分析和设计造成 本质影响，就可以进行非线性系统线性化。具体方法是：对任意函数，在某一点工作点处对函数进行泰勒级数展开， 忽

3、略二阶以上高次项，就可以得到线性化的函数关系。3系统输入和输出在零初始条件下拉氏变换的比 Gs 称为系统的传递函 数。传递函数表示了系统输入输出之间的关系，是控制系统的一种数学模型，可 以直接从微分方程导出。传递函数只与系统结构与参数有关，与外部输入无关，传递函数反映了系统 的结构特征和参数特性。由于传递函数是以复数s为变量，防止了许多求解微分方 程的麻烦。因此，经典控制论中更常用传递函数这种数学模型形式对控制系统进 行分析和设计。题2.2试建立题2.2图所示各系统的微分方程。其中外力Ft，位移xt和电 压Urt为输入量；位移yt和电压Uct为输出量；k 弹性系数，f 阻尼系 数，R 电阻，C

4、 电容和m 质量均为常数。R1(a)XLf yXL/.V yXL/.Vc(b)(c)题2.2图(d)解：(a)以平衡状态为基点，对质块 m进行受力分析(不考虑重力影响)，根 据牛顿定理可写出F(t)-ky(t)-f 齐畔整理得知如y(t)F(t)dt2 m dt m m(1)(2)(b)如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有ki(x -Xi) = f(dx1 一叫dt dt对B点有f(齐联立式(1)、( 2)可得：dy-y 二dt f(k! k2)k! k2 dt(c)应用复数阻抗概念可写出Ri丄csk.k2kidxUr(S“一 I(s) Uc(s)R + csUc(s

5、)I(s)=(3)R2(4)联立式(3)、( 4),可解得:Uc(s)Ur(S)R2(1 RiCs) R-i R2 R1 R2Cs微分方程为：dt CR1R2叫丄4dt CR1(d) 由图解2.2 (d)可写出厂 Ur(s)=RlR(s)+jR(s)+lc(s)】£(5)Cs12 Ic(s) = RIr(s) Rlc(s)(6)CsI Uc(s)=Ic(s)R+|r(s)+Ic(s)才(7)Cs联立式(5)、( 6)、( 7),消去中间变量Ic(s)和Ir(s)，可得:R2C2s2 2RCs 1Uc(s)Ur(s)R2C2s2 3RCs 12 dur 12 2 UrCR dt C R

6、(a)和电路系统(b)是相似系统(即有2 2 微分方程为芈.2叫.1 _du2dt CR dt C R dt题2.3试证明题2.3图中所示的力学系统 相同形式的数学模型)。C1k2x(t)y(t)kiUr (t)Uc(t)cR1R2/ /(a)(b)题2.3图解(a)取A、B两点分别进行受力分析，如图解(a)所示对A点有k2(x - y)f2(x - y) = fMy - yj(1)对B点有f1(y - yd =ky(2)对式(1)、( 2)分别取拉氏变换，消去中间变量 y1，整理后得Y(s)=X(s)f1f2s2 (f1 f2)S 1K k2k1 k2ff s2 (f1 匚f2)s 1k)k

7、2k-i k2 k-i(b)由图可写出Uc(s)=R2c1=C2sUr(s)R1丄R21CTGs尺Gs整理得Uc(s) =RR2GC2S2+(尺& + R2C2)s+1U r (s)R1R2C1C2s2 (R1C1 R2C2 R-|C2)s 1比拟两系统的传递函数，如果设 R =1k1,R2 =1,k,C 1二f1,C 2二f2,那么两系统的传 递函数相同，所以两系统是相似的。题2.4 假设某容器的液位高度h与液体流入量Qr满足方程Qr，式中S为液位容器的横截面积，为常数。假设h与Qr在其工 dt S S作点(QrO, ho)附近做微量变化，试导出巾关于Qr的线性化方程。解 将、h在h

8、。处展开为泰勒级数并取一次近似Vh =|h° h = Jho+(1)dt2 Jh 0代入原方程可得THU；1h) (Qro Q)S在平衡工作点处系统满足解:罟：.h。二 Qro式(2),( 3)相减可得h的线性化方程小 d h:-.Sh = Qrdt 2何题2.5试求题2.5图所示各信号x(t)的象函数X(s)tA x(t) b a ctt20题2.5图o2(a)x(t) =2 (t to)2 1 X(s)= 2 冷 es sx(t) = a (b a)(t 'tj (b 'C)(t 2)-'C(t 13) X(s)= ha (b -a)eJs -(b -c)

9、e'2s -ce'3ss44T(c)x(t)=弓 t -三1 T2T2X(s)i_(2e eJs)T s求以下各拉氏变换式的原函数。-se s -113s(s 2) (s 3) s +12s(s 2s 2)(b)题2.6解：(1)_toST4T(t ) 2(t )2T2224p(t -T)T2X(s)X(s)X(s)原式x(t) =et4一 1=一2(s 2)34(s 2)2+8(s 2)24s3(s 3)x (t )=(3) 原式t2-t_2te41s2_2t 3_2te8le*丄324x(t)=_ 1_22s s 2s 21 1上2s 2s 12(s 1)11 12 (s

10、1)21e (sin t-cost)2 2c(0) = 0 ,题2.7系统传递函数C®仝，且初始条件为c(0) - -1 ,R(s) s +3s + 2试求系统在输入r(t) =1(t)作用下的输出c(t)。1解：单位阶跃输入时，有R(s)=丄，依题意s1C(s)：s213s 21s 2 s 1 (s 1)(s2) sC(s)MH3s 2(s 1)(s 2)k(t)4G(s)"7Vs 2-2t二 4e题2.8图.t e解：(a)根据运算放大器“虚地概念，可写出Uc(s) _R2Ur (s)R1(b)Uc(s)Ur(S)R21C2S(1RiCiS)(1R2C2S)(c)Uc(

11、s)Ri1C1sRi1C1sR21Csr2CsR1R1C1C2s2R2R1 (1R2Cs)题2.9某位置随动系统原理框图如题2.9图所示，电位器最大工作角度 Qm = 330°,功率放大器放大系数为kg。(1)分别求出电位器的传递函数ko，第一级和第二级放大器的放大系数 k1 , k2 ；(2)画出系统的结构图；(3)求系统的闭环传递函数Qc(s) Qr (s)。题2.9图解：(1)电位器的传递函数Ko30Qm330°兀180°180°11:根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为30 汉 103 门20"03K13 一3, K2

12、3 一 -210 汉 10310"03(2)可画出系统结构如图2.1所示：KoKKQKmQc(s) s(TmS 1)Q7S)打 QQKmKt KoKKKmTmS + 1S(TmS+1)1Tm2j+K2©KmKt 斗ss 1KoKKQKmKoKgKsKm题2.10系统方程组如下：x (s) P (s)R(s) -G1 (s)G7 (S) -G8 (s)C(s)* X2(s)=G2(s)X1(s)-G6(s)X3(s)X3(s) =X2(s)-C(s)G5(s)G3(s)C(s)二G4(s)X3(s)试绘制系统结构图，并求闭环传递函数 C© 0R(S)解：系统结构图如

13、图2.2所示。利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为C(s) G1G2G3G4R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7 - G1G2G3G4G8图2.2 题2.10系统结构题2泊试用结构图等效化简求题2.11图所示各系统的传递函数RS)(a)原图化简过程如图2.3所示R(s)G1G2G3G41G1G2G3G4G2G3G1G2G3G4图2.3题2.11图(a)化简过程所以：C (s)G1G2G3G4R(s) 1 G1G2 G3G4 G2G3 G1G2G3G4(b)原图化简过程如图2.4所示Gi G 21 - G2H(c)原图化简过程如图2.5所示。图2.

14、5题2.11图(c)化简过程图2.4题2.11图(b)化简过程所以：C(s)R(s)所以：C(s)G%3R(s) 1+G1G2*G1 G2G3(d)原图化简过程如图2.6所示。hj<-H2 /G1 *8图2.6题2.11图(d)化简过程所以：C(s)G1G2G3 G1G4R(s) -1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2题2.12试绘制题2.12图所示系统的信号流图并求传递函数R(s)/C(s)题2.12图解：信号流图如图2.7所示题2.13试用梅逊增益公式求题2.11图中各结构图对应的闭环传递函数。解：(a) 图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路P

15、i = GiG2G3G4， X =1，L"i = -G1G2，L2 = -G3G4，L3 = -G2G3，；： = 1 - (L1 L2 L3) L1 L2，C(s)R1G1G2G3G4R(s) -1 G1G2 ' G3G4 G2G3 G1G2G3G4(b) 图中有2条前向通路，1个回路p =G1，也 1=1, P2=G2，也 2=1， L1=G2H，-': = 1 - L1C(s)+ pA2-G2R(s)1 -G2H(c) 图中有1条前向通路，3个回路R- = G1G2G3， -1 =1， Lr = -G1G2，L2 = -G2G3， L3 = -G1G2G3，八二

16、1 - (L1 L2 L3)，C(s) _ Pl _G1G2G3R(s) 匚 1 ' G1G2 G2G3 G1G2G3(d) 图中有2条前向通路，5个回路P- =G1G2G3=1，P2 = G24，： 2= 1，L - -G1G2 H 1，L2 =-G2G3H 2，L- -G1G2G3，L4 = -G1G4，L-G4H2，: -(L1 L2 L3 L4 L5)，C(s)P- -1 '巳厶 2G1G2G3 G1G4R(s) 一 ：-1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2题2.14系统的结构图如题2.14图所示，图中R(s)为输入信号，N(s)为 干扰信号

17、，试求传递函数器，需。(a)(b)题2.14图解：(a)令N(s) =0 ,求C(s)。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路 R(s)P,= G1G2，“ =1，P2= G1G3，=2 = 1 -L1= 1 亠G2H，Li = -G2 H， L2 = -G1G2， L3 = -G1G3， : = 1 -(L1 L2 L3) L1 L3，贝y有C(s) PP2G1G2 GG (1 G2H )R(s)也1 + G2H + G1G2 *G1G3 * G1G2G3H令R(s) =0,求廻。有3条前向通路，回路不变。N(s)P1 - -1，二1 -Lp P2 =G4G1G22 二1，P3 - G4G1G3,二3 = 1 - L1 ,江=1 -馆 L2 L3) L丄 3，那么有(b)那么有C(s) R 冷 P2 2 P3 3-1-G2H G4G22 GqGGs。G2H)N (s)匚1 ' G2 H ' G1G2