高中理科数学计数问题(排列组合)

1、理科数学复习专题 统计与概率排列组合一. 基本计数原理1. 加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2. 乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：要求做一件事冇多少种方法，一般先分类，再分步。例：用abcd四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号，可以编出 儿种号码？练：从3名老师，8名男生，5名女生中选人参加活动。(1) 活动只需一人参加，有几种选法？(2) 活动需一名老师，一名男生，一名女生参加，有儿种选法?(3) 活动需一名老师，一名学生参加，有儿种选法？题型总结重排问题(元素可以重复选取)例：(1)将5本书分给3个

2、不同的学生，冇几种分法？(2)将3个人分到5个不同的车间工作，有儿种分法?练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军，每门学科一名冠军，可能 岀现儿种结果？组数问题(特殊位置、特殊元素优先考虑)例：(1)用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数?(2) 用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?(3)用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?选取问题(优先安排“全能者”)例：艺术小组共冇9人，每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的冇7 人，会小号的有3人。从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛。总共有儿 种选取方案？练：艺术小组共有9人，只会钢琴有5

3、人，只会小号有2人，全能的有2人，从 屮选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。总共有几种选取方案？涂色问题例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相 邻的两个区域颜色都不相同，则有儿种不同的涂色方法练：如图，一环形花坛分成a, b, c, d四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，11相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数是二、排列：例：从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？总结：从n个元素中选出ni个进行排列，总共有几种选法?1. 排列的概念：从个不同元素中，任取加(m<n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照二疋旳顺厅;排

4、成一列，叫做从几个不同元素中取出加个元 素的个排列 【说明】排列的定义包括两个方面：取出元索，按一定的顺序排列；2. 排列数的定义：从n个不同元素中，任取加(m<«)个元素的所有排列的个数叫做从/r个元素屮取出加元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同'一个排列”是指：从个不同元素中，任取加个元素按照：疋的顺庁排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元索屮，任 取加(m<h)个元索的所有排列的个数，是一个数所以符号观”只表示排列数, 而不表示具休的排列3. 排列数公式及其推导：a； = n(n -1)(/7 - 2) (m- /n +1) ( m,ng

5、n ,m< n )全排列数：a；f5t)(-2)21 = m!(叫做n的阶乘)题型总结探计算排列数探用排列解决的计数问题(1) 特殊优先原则(2)相邻元素捆绑法(3) 不相邻元素插空法(4)定序问题倍缩法例：用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数？例：用0,123,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别冇多少个？(1)0不 在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)偶数数字从左向右从小到大排列.练：3个男生4个女生站成一排(1) 甲只能排在屮间或排在两端(2)甲和乙只能站在两端(3)甲不站最左端，

6、乙不站最右端(4)所有男生站一起(5)所有男生站一起，所有女生站一起(6)男生不能相邻(7)甲乙中间有两人(8)甲在乙的右边排列问题综合练习1、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 （）a. 1440 种 b. 960 利|c. 720 利】d. 480 种2、有6个熾位连成一排，现有3人就他，则恰有两个空廉位相邻的不同坐法有（）a. 36 种b. 48 种c. 72 种d. 96 种3、一排9个座位坐了 3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（）a、3xa；b、3x（a；f c. （a；）4d.撐4、三个学校分别有1名、2名、3名学

7、生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学牛不能相邻，那么不同的排法有（）a、36 种b、72 利| c、108 利 d、120 种5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购栗后需要排队依次入园，为安全起见，首尾-定要排两位爸爸，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法数共 冇（）a、 12b、 24c、 36d、 486、公共汽年上有4位乘客，其中任何两人都不在同一年站下年，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有（）a、15 种b、24 种 c、360 种d、480 种7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6名

8、同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（）a、6 种b、36 种c、72 种d、120 种8、由1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字且1, 3都不为5相邻的六位偶数的个数是a. 72b. 96c. 108d. 1449、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告利2个不同的奥运宣传 广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的 播放方式有（ ）a. 120 种b. 48 种c. 36 种d. 18 种10、卬、乙、丙、丁四种不同的种了，在三块不同土地上试种，其中种了叩必须试种，那么 不同的试种方法共有（）a. 1

9、2 利|b. 18 利|c. 24 利d. 96 利11、某中学一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、 信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排 法共有（）a. 600 种b. 480 种c. 408 种d. 384 种12、用数字0,1,2, 3, 4, 5可以纟r成没有重复数字，并且比20000人的五位偶数共有（）（a） 288 个（b） 240 个（c） 144 个（d） 126 个13、6位同学排成三排，每排2人，英中甲不站-在前排，乙不诂在后排，这样的排法有种14、a, b, c, d, e五个元素排成一列，若a在b

10、的前面且d在e的前面，贝u有种不同的排法.15、安排7位工作人员在10刀1 li至10刀7 值班，每人值班1天，其中屮乙二人都安排在10月1 h和10月2 fi,不同的安排方法共有种。16、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格了涂色，每个格了涂一种颜色，要求绘多使用3种颜色相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共冇 厂 利17、所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字人2的数共有个。18、在制作飞机的某一零件时，要先示实施6个工序.工序a只能岀现在第一步或最示一步, 工序b和c实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有()a. 34 种 b. 48 种 c. 96 种 d. 108

11、 种三、组合：例：以下两个问题有何区别？(1) 从甲乙丙三名同学中选出两人参加两个不同的活动，有几种选法？(2) 从甲乙丙三名同学中选出两人参加一个活动，有儿种选法？1组合的概念：一般地，从个不同元索屮取出个元索并成一组，叫做从刃个不同元素屮取出m个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序性；2. 组合数的概念：从n个不同元素小取出m(m</7)个元素的所有组合的个数，叫做从比个不同元素屮取出加个元素的组令鑿用符号c：表示.3. 组合数公式的推导：(1) 般地，求从刀个不同元素中取出/个元素的排列数可以分如下两步: 先求从个不同元素中取出刃个元素的组合数c,；”； 求每一个组合中刃

12、个元素全排列数,根据分步计数原理得：a；： = c；：a；(2) 组合数的公式：咻-l)s-2).(i+l)或£ 空,am < n)n 聲m加(n-m)!j" t注意事项1. 排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” 取出元素后 交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合fl丨2排列数公式77 i（2）组合数公式 v二用！（加！利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和 组合问题中的组合数 解决排列组合综合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主 要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无 序,关键是在

13、计算中体现“有序”和“无序” 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的 排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正 确与否,又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果3. 求解排列组合问题的思路：“有序排列,无序组合；分类相加,分步相乘” 题型总结探组合的计算c；+c：+c； + c：探用组合解决的计数问题：选取问题例：男、女生共有8人，若从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种 不同的选法，则女生有（）a. 2人或3人 b.3人或4人 c. 3人d. 4人练：甲、乙两人从4门课程屮各选修2门，卬、乙所选的课程中恰冇1

14、门相 同的选法有多少种？（2）甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少 种？练：冇20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？四、排列组合的综合应用：分组分配问题先分组，再分配例.从班委会5名成员中选岀3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委 员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有多少种？不同元素的分组分配问题（注：平均分组注意：）例：6本不同的书（1）分三堆，一堆1木，一堆2木，一堆3木（2）平均分三堆（3）平均分三堆，再分给甲、乙、丙3个人练：4个不同的球，4个不同的盒子（1）把球都放入盒内，有几种放

15、法？（2）一个盒了只放一个球，有儿种放法？（3）恰有一盒空盒，有儿种放法？（4）恰有两个盒子不放球，共几种放法？相同元素的分组分配问题：隔板法例：4个相同的小球，放入2个不同的盒了，有几种不同的放法？练：将10个特氏生录取名额分给7个学校，每个学校至少1个名额，有儿种不同的分配方案？排列组合综合练习1、从两名老师和四名养生中选出四人排成一排照相，其中老师必须入选且相邻，共有 排列方法2、盒屮有10个大小，形状完全相同的小球，其中8个白球，2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是3、从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为()a. *际b.

16、cjcmjoc.i）. c；g（c+c：c2+c：）4、为保证青运会期间比赛的顺利进行,4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务,每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆a的条件下，场馆a有两名志愿者的概率 为5、某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，耍求甲乙两人至少有一人参加，那么不 同的发言顺序有()种(a) 30(b) 600(c) 720(d) 8406、某班要从a, b, c, d, e五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的 a, b,c三人都不连任原职务的方法种数为()(a) 30(b) 32(c) 36(d) 487、书架上原來并排放着5木不同的书，现要再插入3木

17、不同的书，那么不同的插入方 法共有()a. 336 种b. 120 种c. 24 种d. 18 利】8、淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不同分派方法种数为()a. 150 b. 180 c. 200 d. 2809、3位男生和3位女牛共6位同学站成一排，则男生甲不站两端，3位女生中有且只 有两位女生相邻的概率是()a 1“472“2a. 一b.c 一d. 一218051510、在送医下乡活动屮，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医牛，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医 生也不安排在同一医院工作，则不同的分呢方法总数为.11、已知两个小孩和甲、乙、丙三个人人排队，4不排两端，3个人人有且只有两个相邻，则不同的排