函数极值和最值教学重点ppt课件

1、教学目的：函数极值和最值教学目的：函数极值和最值教学重点：函数单调性教学重点：函数单调性教学难点：最值的运用与不等式证明教学难点：最值的运用与不等式证明第三讲第三讲 函数极值与最值函数极值与最值第三讲第三讲 函数极值与最值函数极值与最值主视图主视图极值与最值极值与最值函数单调性函数单调性函数极值函数极值函数最值函数最值必要条件必要条件充分条件充分条件函数单调性函数单调性由拉格朗日中值定理，有由拉格朗日中值定理，有 212112()( )( ) () ()f xf xfxxxx例题例题01111)(222xxxxf解解 ) 1)(1(3332xxxy解解 11111111递增区间：递增区间：(,

2、 1) , (1,)递减区间：递减区间： 1,111例题例题2tan2 sin3 ,(0,)xxxx例例4 证明证明只需证只需证 2( )tan2 sin30,(0,)fxxxxx2( )sec2 cos3fxxx2tan2 cos2xx2( )2 tansec2 sinfxxxx232 tansec(1cos)0 xxx( )0,( )(0)0fxfxf( )0,( )(0)0fxfxf函数的极值函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数极值，获得极值的点称为函数极值点必需指出，函数的极值概念是部分性的 1x2x3x4x5xxy( )yf xabo回主视图回主视图极值必要条件极值必要条件0)(

3、 xfyx0 xo 0fx yf x0)( xf0)( xf)(xfy xy0 xo极值充分条件极值充分条件() 定理定理3第一充分条件第一充分条件设函数设函数)(xf0 x的某邻域的某邻域),(00ddxx内延续，可导内延续，可导)(0 xf可以不存在可以不存在在点在点 () ，那么，那么(1) 假设当假设当),(00 xxxd时，时，0)(xf，而当，而当),(00dxxx时，时，0)(xf)(xf在在0 x处取极大值；处取极大值； ，(2) 假设当假设当),(00 xxxd时，时，0)(xf，而当，而当),(00dxxx时，时，0)(xf那么那么)(xf在在0 x取极小值；取极小值； ，

4、那么，那么(3) 假设当假设当),(00ddxxx)(0 xx 时，时，0)(xf(0)(xf)(xf在在0 x处不取极值处不取极值 例题例题01不存在0极大极小x)0 ,() 1 , 0(), 1 ( )(xf _)(xf例题例题x+不存在+0不存在+y单增无极值单增极大值单减极小值单增a( ,)a 2(, )a2a2(,)2 3aa23a2(, )3a ay32)()2()32(2xaaxxay例题例题x+0+0y单增极大值单减单增极大值单减41xxxxx)(841221212),(2121), 0 (21) 0 ,(2121),(21y极大值为极大值为-1-2ln2回主视图回主视图第三讲

5、第三讲 函数极值函数极值第二充分条件在运用时不涉及函数单调性的讨论，第二充分条件在运用时不涉及函数单调性的讨论，因此有时它比第一充分条件方便因此有时它比第一充分条件方便例题例题解解 xxxf2cos2cos2)(xxxf2sin4sin2)( 0) 1)(cos1cos2(2xx23330333 ff为极大值； 2333503335 ff为极小值； 例题例题回主视图回主视图我们将求函数极值的方法归纳如下：我们将求函数极值的方法归纳如下： (1) 确定函数的定义域；确定函数的定义域； (2) 求求)(xf和和)(xf ； (3) 令令0)(xf，求驻点，并求不可导点；，求驻点，并求不可导点； (

6、4) 在在0)( xf的驻点上用第二充分条件断定；的驻点上用第二充分条件断定； (5) 在在)(xf不存在的点和不存在的点和0)( xf的驻点用第一充分条件的驻点用第一充分条件断定断定 函数最值函数最值在消费活动中，经常遇到这样一类问题：即在一定条件下，在消费活动中，经常遇到这样一类问题：即在一定条件下，怎样使怎样使“产品最多、产品最多、“本钱最低、本钱最低、“收益最大等等这收益最大等等这类问题有时归结为求某一函数类问题有时归结为求某一函数(称为目的函数称为目的函数)的最大值或的最大值或最小值问题最小值问题 例题例题解解 0,1112121)(xxxxfxob0( )f xy0 xa( )yf x例题例题例题例题例例10 在一块边长为在一块边长为a的正方形纸板上截去四角相等的小方块，的正方形纸板上截去四角相等的小方块， 然后折叠成一个无盖纸盒，问截去的小方块的边长为多少时，然后折叠成一个无盖纸盒，问截去的小方块的边长为多少时，纸盒的容积最大？纸盒的容积最大？2)2(xaxV2, 0ax)6)(2()2(4)2(2xaxaxaxxaV)3(8axV 046 a