广东工业大学应用数学学院《随机过程》教学大纲

1、 随机过程 课程教学大纲Stochastic Process课程代码： 课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：信息计算、统计 开课学期：5总学时数：56 总学分数：3.5编写年月： 2007.5 修订年月：2007.7执 笔：涂钰青一、课程的性质和目的本课程属于随机数学系列课程的组成部分。随机数学系列课程是非数学类研究生数学公共基础课程之一。随机过程是随机数学的一个高级组成部分，也是应用数学的基本研究对象之一，它研究随机现象的数学理论和方法。 在自然科学、工程技术和经济金融领域有广泛应用，学会求解随机数学问题，是众多领域的研究生的最基本的数学素养之一。通过该门课程的学习，要求学生能较深刻地理

2、解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用于解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。提高自己在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力。 二、课程教学内容及学时分配本课程作为随机数学系列课程的组成部分，其主干内容包括随机过程的基本理论、思想和方法，教学内容分为五部分：随机过程引论、Poisson过程、Markov过程、平稳过程和Brown运动，以下对这五部分教学内容做出详细介绍。第一章 随机过程引论(6学时)本章内容：随机过程基本概念和例子 有限维分布和数字特征 平稳过程和独立增量过程 条件期望 矩母函数及生成函数 随机变量

3、序列的收敛性本章要求1了解参数集的定义, 理解随机过程的基本概念和例子；2了解有限维分布的概念，掌握有限维分布的计算及其数字特征；3理解严平稳和宽平稳的基本定义，掌握平稳独立增量过程的基本定义；4理解条件期望的概念, 熟练掌握条件期望的性质和计算；5理解矩母函数和生成函数的定义, 掌握用矩母函数来计算随机变量的某些数字特征；6了解随机变量序列的收敛性定义，理解均方收敛的定义。第二章 Poisson过程(10学时) 本章内容：Poisson过程 与Poisson过程相联系的若干分布 非齐次Poisson过程 复合Poisson过程 标值Poisson过程 空间Poisson过程 更新过程本章要求

4、1理解Poisson过程的基本定义，掌握满足Poisson过程的4个条件；2了解Poisson过程样本路径的阶梯函数服从指数分布，事件到达时间服从分布，理解等待时间的联合密度的计算公式；3理解非齐次Poisson过程的基本定义，掌握非齐次Poisson过程满足的条件；4了解复合Poisson过程的基本概念；5了解标值Poisson过程的基本概念；6了解空间Poisson过程的基本定义；7理解更新过程的基本定义，掌握更新过程的分布。第三章 Markov过程(14学时)本章内容：Markov链的定义和例子 互达性和周期性 常返与瞬过 Markov链的极限定理与平稳分布 分支过程 连续时间Marko

5、v链 纯生过程 生灭过程 Kolmogorov向后向前微分方程 本章要求1了解Markov链的基本定义和一步转移概率的定义，熟练掌握转移概率满足条件和计算；2理解可达、互达与周期的定义，理解非周期不可约的Markov链性质，掌握互达性的等价关系、互达的周期和周期的基本性质；3理解常返和顺过的基本定义，理解零常返的概念，掌握常返的充要条件；4理解Markov链的基本极限定理，理解Markov链的平稳分布，掌握遍历的不可约Markov链及其极限分布之间关系的重要定理；5了解分支过程的基本概念，理解分支过程中群体消亡与生长到无穷的重要定理；6理解连续时间Markov链的基本定义及其转移概率，掌握Ma

6、rkov过程转移概率满足的条件；7了解纯生过程的基本概念，了解Yule过程；8了解生灭过程的基本概念和满足条件；9理解Kolmogorov向后微分方程和向前微分方程的表达式，理解Markov过程的性质。第四章 平稳过程(10学时) 本章内容：平稳过程的定义和例子 遍历性定理 平稳过程的协方差函数 几个常见随机信号的协方差函数 功率谱密度 一般预报理论 平稳序列的预报本章要求1了解周期平稳过程的含义，理解平稳过程的基本定义、严平稳和宽平稳随机过程、高斯过程和滑动平均序列； 2了解遍历性的基本概念，理解均值遍历和协方差函数遍历，掌握均值遍历性定理和协方程函数遍历性定理；3理解协方差函数的基本性质；

7、4了解振幅调制波、频率调制波和平方检波；5了解确定性时间函数的能量、能谱密度、功率谱的基本概念，理解平稳过程功率谱的概念，理解Wiener-Khintchine公式；6了解最小均方误差预报，理解最佳预报的基本含义；7了解平稳序列的预报的基本概念，理解自回归模型的线性最佳预报和滑动平均模型的预报。第五章 Brown运动(14学时) 本章内容：Brown运动的定义 Brown运动的性质 随机积分 随机微分 关于Brown运动的积分 常系数线性随机微分方程 阶常系数线性随机微分方程 Ito微分公式 一般随机微分方程简介 Brown运动的其他一些应用 本章要求1了解Brown运动的物理含义，理解Bro

8、wn运动的基本定义；2了解Brown桥过程的含义，理解Brown运动的基本性质；3了解随机积分、随机微分的基本定义，理解Brown运动的积分及其计算；4了解随机微分方程引入的物理背景，理解一般常系数线性随机微分方程和阶常系数线性随机微分方程；5了解Ito微分公式的金融背景，理解Ito微分公式；6了解扩散方程，理解Black-Scholes公式及其在金融中的应用；7了解Donsker定理、反正弦律和Brown桥在经验分布函数中的应用。三、课程教学的基本要求随机过程是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。是一门应用性很强的学科，教学上注意引导学生从传统的确定性思维模式进

9、入随机性思维模式，使学生掌握处理在工程、经济管理、生命科学、人文社科以及科学研究中出现的随机问题的数学方法，强调注重理论联系实际的教学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，通过对本课程的学习，学生应熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。课堂教学采用和现代化的教学手段结合的形式，利用多媒体教学手段效率高的特点，结合传统板书的讲授形式。（一）课堂讲授由于本课程有其独特的数学概念和方法，并大量向各学科渗透并与之结合成不少边缘学科，其教学方式应注重启发式、引导式，课堂上应注意经常列举概率在各领域成功应用的实例，来联系已学过课程的有关概念、理论和方法，使同

10、学加深对本课程的基本概念、基本理论和基本方法的理解。（二）习题课同时配合理论教学需要，习题课以典型例题分析为主，并适当安排开阔思路及综合性的练习及讨论，使同学通过做题既加深对课堂讲授的内容的理解，又增强运用理论知识建立数学模型、解决实际问题的能力。（三）课外作业课外作业的内容选择基于对基本理论的理解和巩固，培养综合计算和分析、判断能力以及计算能力。习题以计算性小题为主，平均每学时36道题。（四）考试考试采用闭卷的形式，题型包括基本概念，基本理论的选择题，真空题题型和分析计算题。总评成绩：课外作业，平时测验，实验占30%；期末闭卷考试占70%四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析 高等代数 概率论、数理统计等后续课程：时间序列 统计的预测与决策等五、建议教材及教学参考书1 方兆本、缪柏其编著，随机过