极限与连续知识点

1、极限与连续一 知识点1 极限1） 定义：limnnaa_ lim( )xf xa_ 0lim( )xxf xa_ 2）存在性判定：左右极限：0lim( )xxf xa_ 夹逼 th ：_ 单调有界th：_ 3） 极限的性质：唯一性： _ 局部有界性：_ 局部保号性：_ 4）极限的计算方法与技巧四则运算： _ 复合函数的极限：00lim( ( )(lim( )xxxxfxfx的条件： _ 等价量替换： （记忆常用替换公式）l hospital 法则： _ 利用重要极限（记忆重要极限及变式）利用夹逼th 积分法一些技巧：通分、有理化、分子分母同除一个量、提因式、利用对数恒等式将指数拿下来）5）无穷

2、小量( )(1)f x_ ( )( ( )f xg x_ ( )f x与( )g x同阶_ ( )( )f xg x_ 无穷小量的性质：_ 2 连续1）定义0( )f xx在处连续_ 2） 连续的判别左、右极限与0()f x的关系： _ 初等函数的连续性：_ 复合函数的连续性判别：_ 反函数与原函数连续性的关系：_ 3）间断点的判别：利用左、右极限与0()f x的关系4）连续函数的性质(),fxc a b最值 th：_ 介值 th： _ 零点存在th ：_ 二 题型1 算法1）323lim()nnnn_ 2）222111lim(1)(1)(1)23nn_ 3）21212lim()1xxxxxx

3、_ 4）31273lim1xxx_ 5）设n为正整数，(ln)(cos), (1)2nxxx；4(1)(ln ) ), (1)nxxx，则n_ 6）若：2(2 )2(1)(1) , (1)xxa xb xx，则,a b为_ 7）若：3221lim()01xxxaxbx，则,a b为_ 若：212lim31xxaxbx，则,a b为_ 8）2012lim31xxxx_；3101lim 1sinxxxx_ 2 判别极限存在性、连续性、间断1）设sin,0( )2,0axxf xxxx，0lim( )xf x存在，则a_ 2）设,0a b，且1sin,0( )2,0(1) ,0 xaxxxf xxb

4、xx在 r 上连续，则,a b为 _ 3）设,0;,1a ba b，,0( )0,0 xxabxf xxx，判断0 x的类型_ 4）找出间断点，并判别类型()l i mt xxt xxteef xee；( )lim(1)arctannnf xxx3 证明1）设nx满足：102x，12nnxx，证：limnnx存在，并求值2）已知：2 ,0( )1,0 xxf xxx，判别lim( )xf x，0lim( )xf x的存在性3）设( )0,1,(0)(1)f xcff，证明：010,2x，使001()()2f xf x三 练习1 判别下列极限的存在性1011)lim1xxe，2412)lim12

5、xxx2 求11sin,0( )1,011,1lnxxxfxxxxxx的间断点，并判别类型3 计算：222444222lim122nnnnnnnnn_ 4 设sin( )tanxf xxex， 则( )f x是_ （a 无界函数，b 单调函数， c 在x下的无穷大量）5 设( )sinf xx，2( ( )1fxx，则( )x_，定义域为 _ 6 sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx在哪个区间内有界a （-1， 0）b （0，1）c （ 1，2）d（0，2）7 设( )232xxf x，则当设0 x时，( )fx与x的关系是 _（同阶，高阶，等价）8 10lim()xxxxe_；1

6、2lim(1)xxxx_ 9 lim3nnnnn_ 10 下列各式正确的是a 01lim (1)1xxx， b 01lim (1)xxex， c 1lim(1)xxex， d 1lim(1)xxex11 设2,1,nnnnnxnn为奇数为偶数，则当n时，nx是a 无穷大量，b 无穷小量，c 有界量，d 无界量12 lim1212(1)nnn_ 13 曲线2121( )arctan(1)(2)xxxf xexx的渐进线条数为_ 14 21limln(1)xxxx_ 15 设0a，2201lim()ln(1)xaaaxxx_ 16 21limtannnnn_ 17 设( )(0,1)xf xaaa

7、，则21lim(1) (2)( )nfff nn_ 18 设( )( )( )xf xg x，且lim( )( )0 xxg x，则lim( )xf xa 存在且为0，b 存在但不一定为0，c 不存在，d 不一定存在19 设12a，则21lim ln(12 )nnnnana_ 20 设111( )sin(1)f xxxx，判别间断点1x的类型 _ 21 20lim 1 ln(1)xxx_ 22 若0sinlim(cos)5xxxxbea，则,a b_ 23 22201coslimsinxxxx_；22l i msi n1xxxx24 设( )f x有连续的导数，且(0)fb，( )sin,0( ),0f xaxxf xxa x在0 x连续，则(0)f_；a=_ 25 设21( )lim1nnxf xx，判断其间断点的类型26 设( ) , fxc a b，且( )0,( )0fafb，则下列结论 错误 的是a 至少存在一点0( , )xa b，使得0()( )f xf ab 至少存在一点0( , )xa b，使得0()( )f xf bc 至少存在一点0( , )xa b，使得0()0fxd 至少存在一点0( , )xa b，使得0()0f x四 练习答案1 均不存在； 2 0 x第二类，1x跳跃； 3 1；4 a；5 2arcsin(1)x，0,2；6 a；7 同阶； 8 2,