浅谈数学教学中如何培养学生的数学解题能力

1、浅谈数学教学中如何培养学生的数学解题能力学生姓名： 指导老师： 一、引言数学是一门源于生活，又回归于生活，服务于生活的学科，它能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明，并为其他学科提供了语言、思想和方法，是人们劳动、生活和学习不可或缺的工具，是一切重大技术发展的基础。鉴于数学在生活中的重要性，数学教学也越来越受到教师、家长和学生的重视，中学的数学教学尤为如此。中学数学教学包括很多方面的工作，其中，最重要的是得搞清楚它的目的其目的归根结底在于培养学生的解题能力。在如今的应试教育教学中，我们常常看到这样一种现象，就是许多学生和老师都喜欢搞题海战术，整天沉没于习题的海洋中，但是学习成绩却任然提不上

2、去，考试成绩也不理想，其原因就是没有掌握科学的解题方法，忽视了解题能力的培养。多做题目固然不错，但也应做得有方法、懂规律。在推进素质教育的今天，作为中学数学教学，应当以知识的理解和掌握为基础，重点培养学生的数学解题能力。因此，提高学生解题能力始终贯穿于教学始终，我们必须把它放在十分重要的位置。那么，教师在数学教学中应如何培养学生的解题能力呢？我将在接下来的这篇文章中提出一些浅显的见解。二、数学教育和数学能力（一）数学教育及其目的数学教育是研究数学教学的实践和方法的学科1。它是一种文化素质的教育，不单纯是为了使学生掌握数学这一工具，其根本目的在于培养和提高人的素质。也就是说发展学生的科学素质，培

3、养学生的数学能力，是数学教育的重要目标之一。具体表现为：一、它是一种精神和态度，使人实事求是，锲而不舍地追求自己的人生理想；二、它是一种方法，使人善于处世和做事，提高工作效率；三、它是一种文化（数学文化），使人得到数学方面的修养，更好地理解、领略和创造现代社会文明；四、它用自己学科特有的优良品质陶冶人、启迪人、充实人，促使人的素质全面发展；五、它是“思维的体操”，使人思维敏锐，表达清晰。（二）数学能力学生的数学能力是在学生参与数学活动过程中逐渐发展巩固起来的，不是一朝一夕就可以提高的。那么，什么是数学能力呢？一般地，一个学生解一道数学题，在解题的过程中，所应用的公理、定义、公式等属于知识，而在

4、解题过程中思维活动的严密性和灵活性则属于能力。我们把“运用数学基本知识和基础技能来解决数学问题的本事大小”称为数学能力2。它是数学素质的重要表现，是衡量对数学学科掌握程度的标准，也是目前中学数学教育的最初和最终目标。 （三）数学能力的种类数学能力不是唯一的，不仅仅有一种、一类，它有不同的分类标准和分类类别。就教育目标来说，可分为数学知识、公民意识、社会需要、语言交流四个方面。这是着重从个人生活的实际需要出发而提出来的。就目前我国教育学家的一些研究来看，可分为：数学运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力、广泛数学能力、数学解题能力、数学语言能力以及数学建模能力。下面，我将就学生的数学解题能力这一点

5、，和大家一起进行一下学习和研究。三、数学解题能力（一）数学解题能力的重要性 美国著名数学家波利亚说过“问题是数学的心脏”，“掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”3但数学问题无穷无尽，而且千变万化，要想使中学生身居考场而处之泰然，身临题海能随机应变，就得努力培养他们的数学解题能力，使他们能够面对题目时得心应手。由此，我们可以看到熟悉解题能力的重要性。 （二）学生数学解题能力差的原因45 中学生数学解题能力差有好多方面的原因，具体可概括如下：1被动学习 大部分学生对于数学学习有很强的依赖心理，不懂掌握学习的主动权，而是跟着老师惯性运转，不能很好的掌握所学的内容。其表现为课前不预习，不定计划，对老

6、师将要讲的内容没有基本的了解，上课时只是忙于记笔记，没有听懂门道。2学不得法许多学生上课不专心听讲，对老师讲的要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题却依然是一大堆，课后又不屑于总结巩固，只是忙于赶作业，对概念、公式、定理一知半解，机械模仿，结果往往是收效甚微，事倍功半。3不重视基础 常常有一些“好学生”自我感觉良好，轻视基础知识和基本技能的学习和训练，对学习方法也不重视。对一些基础题经常是知道怎么做就行了，不去认真演算书写；对难题却很感兴趣，认为是显示实力的象征，往往是好高骛远，眼高手低。到正经考试或做题中，不是出错就是出现卡壳现象。4进一步学习条件不具备 中学数学与小学数学相比，不论是知识

7、的深度、广度，还是数学能力的要求方面都有很大的飞跃。在很多方面，中学数学都表现为方法新、难度大、能力要求高。因此，许多学生会出现学习能力和条件的欠缺。（三）提高数学解题能力的关键是什么61要充分认识数学学科特点，紧紧抓住学科特点数学学科不同于其他学科，有它独特而显著的学科特点。换句话说，也就是数学的题目和知识往往有数学独特的味道。比如：（1）概念性强。我们所有数学的内容都是以概念作为它的基本元素的，由概念组成命题，由命题组成整个逻辑系统。（2）充满思辨性。也就是说数学最重要的是要对问题做出具体问题具体分析。（3）量化突出。我们看到平时的计算题都不是简单地套一个公式来完成一个计算，这就显示了数学

8、的这一大特征。（4）解法多样。相当一部分题目都是一道题有多种解法，而每一种解法往往出现解题所耗用的时间、解题的速度等等各个方面的差异。如此，要想提高数学解题能力，首先就必须懂得、理解、抓住数学的这些学科特点。当然，数学学科的特点不仅仅是这些，笔者在这就列出这么多。2要经常总结数学思想方法，提升数学思想7所谓思想就是指导我们实践的理论方法，这里主要指想法或方法。灵活应用数学思想方法是提高解题能力的关键，我们的先辈数学家们，已经为我们创造出了很多的数学思想方法，我们应该很好地理解它们、体会它们，并且要灵活地应用它们。对于中学数学，主要是以下七类数学思想：（1）函数与方程的思想所谓函数和方程的思想就

9、是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题的过程中，用函数思想做指导就需要把代数式看作函数，把字母看作变量，利用函数的性质做工具进行分析。或者构造一个函数，把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而当他建立了函数思想以后，就能主动地去思考一些问题。考察函数和方程思想时,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题8,在这过程中要注意经常思考下面的一些问题:a、是不是需要把字母

10、看作变量？b、是不是需要把一个代数式看成一个函数?c、如果把一个或几个字母看成了变量,把一个代数式看成了函数，那么这个函数有什么性质？d、如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能不能构造一个函数来帮助解题？e、是不是需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？f、如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的正负、虚实、范围等）有什么要求？（2）数形结合的思想 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要

11、指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。（3）分类与整合的思想分类是自然科学和社会科学研究中的基本研究方法。在解题中我们会解到某一步后，不能再用统一的式子和方法继续解了，以为这时所要解的问题包含了至少两种情形，这就要求在题中条件所给的总区域内，划分若干个分区域，然后在各个分区域内分别求解，其研究方法就叫“分”。但划分只是手段，分类研究解出题目才是目的，这就要求我们在分类之后再把它们“合”起来。这种“合分

12、合”的解题方法就叫分类与整合的思想方法。（4）化归与转化的思想转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式。应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。（5）特殊与一般的思想由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程就是数学研究中特殊与一般的思想。它能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查

13、特殊与一般的思想在平时解题以及高考中都占有重要位置。特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径。（6）有限与无限的思想 数学研究的对象中有数量关系,既一个量随另一个量的变化,这种变化可能是有限的,也可能是无限的。有限与无限相比,有限显得具体,无限显得抽象,对有限个对象的研究往往有章法可循,并积累了一定的经验,而对无限个对象的研究,却往往不知如何下手,显得经验不足。于是将对无限的研究对比借鉴于对有限的研究，将有限推广到无限，这就是有限与无限的思想。（7）或然与必然的思想 随机现象具有两个

14、最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。概率知识在现实生活中常常用到，在数学解题中也越来越倍受关注，概率所研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所蕴涵的数学思想就是必然与或然的思想。以上是中学数学解题中应用比较多的一些思想，只要我们能够深入地理解它们，并能灵活地应用到具体的解题实践中，就能极大地提高你的解题能力。此外，在此介绍陕西师范大学数学系教授罗增儒的研究成果9。他将数学思维与数学活动结合起来，恰如慢镜头一样呈现一个解题思维过程。层次为：浮现数学表象产生数学直观展开数学想象反思数学过程展开动态想象。（四）怎样提高中学生数学解题能力

15、数学的真正部分是问题和解。教师在教学中如何更好地引导学生解答数学问题，不断提高学生的数学解题能力，是长期而艰巨的工作。那么，在实际教学过程中，教师该如何提高学生的数学解题能力呢？我认为应该注意到一下几点：1培养学生的学习兴趣，深入探讨习题。数学是双边的活动，只有教师的教没有学生的学，不起效果。充分调动学生的主观能动性，调动学生配合老师上课是关键，通过教师的导与学生的练，同学互相讨论，加强对问题的研讨，归纳和总结。在具体教学过程中，教师首先要抓住学生“好奇”的心理特征，创设最佳的学习环境，提高学生的学习兴趣。其次要坚持直观形象这一原则，即用具体、形象、生动的事物充分调动他们的多种感官，让他们有充

16、分的看一看、摸一摸、听一听、说一说的机会，以丰富深化感知。教师通过数学或数学史学的故事等，来让学生了解数学的发展、演变及其作用，了解数学家们是如何发现数学原理及他们的治学态度等，也是非常好的方法。比如：给学生讲“数学之王高斯”、 “几何学之父欧几里德”、“代数学之父韦达”、“数学之神阿基米德”等数学家的故事，不仅能使学生对数学产生极大的兴趣，同时从中也可以受到教育。这样就能起到“动之以情，晓之以理，引之以悟，导之以行”的作用。如此培养学生学习数学的兴趣，既有助于提高我们的数学教学质量，又有助于学生素质的发展。2正确理解基本概念及性质。学习了用字母表示数以后，有一些同学认为一定是正数，是负数。之

17、所以出现这种错误，就是因为对正数、负数和代数式的概念没有正确理解。有的同学解“”时，错解成“”，是由于对不等式的基本性质不熟悉造成的。3要让学生学会解题的基本方法。10解题的思想方法，在初中阶段通常有综合法、分析法、反证法等。利用综合法解题，考虑问题是从已知条件出发，逐步推导出未知；而利用分析法则以未知条件出发，逐步推导出解决问题所需的已知条件，探索由已知向未知的道路，这两种方法一般是在题目的条件较少，难度较低时运用，对于较为复杂的综合性题目，我们应学会分析和综合法，同时以已知及未知条件出发，寻求解题途径，即所谓的分析综合法。解题是有方法的，但没有一种应付各种一成不变的方法，我们不应死记各种类

18、型题的解法，应该培养自己的分析能力，善于分析各种问题的特点，能以题目的特点出发探索解题的方法，以而积累解题经验。下面来给大家举个例子。例1 方程的解是（ ）方法一：解 去分母，得关于的一元二次方程：整理得 解方程得 或（舍去）再解得 方法二：解 分子分母同乘得得 即解之得方法三：解 分子分母同时提取得等价于 即 解之得 4教会学生注意解题技巧积累。一些难度中上的题目，一般需要一些处理过程才可应用书本的有关知识解决。例如几何中的辅助线问题通常结合定理进行，运用不同定理解题的技巧也不同。又如代数，学生若不理解并熟记一些解题技巧，即使概念、定理、公式学得再熟，也难以用得上，也只能解一些较为基础的题。

19、因此要想做好难题，技巧题的笔记是有必要的，这样能加深各种类型题的认识。中学数学中常用的解题技巧有：（1） 判别式法例2 求方程的所有实数解。解 方程可化为方程有实数根（2） 抽屉原理例3 边长为的正方形内任放点，讨论在以这些点为顶点的各三角形中，必有一三角形面积不大于。解 如图：图将正方形四等分，则因为（代表小正方形的个数，表示每个小正方形中拥有点的个数），根据抽屉原理得，必有一个小正方形中有大于三个点故（3） 换元法（等量替换）换元法的理论基础是“等量代换”，其本质是引进一个“对应”。但由于换元法一般应用于较难的题目，教学中一般不做要求，所以只需稍作了解就可以了。（4） 配方法配方法的基本配

20、方单元为，其特点是目标明确、途径多向、对象多样、应用广泛。例4 解 原方程变形为（5） 举反例法例5 无理数的无理数次幂任是无理数。 （）解 举反例若为无理数，则也为无理数。但故原命题不成立。5培养学生良好的思维习惯，通过练习巩固知识。思维的严密性是思维能力的重要方面，在解题中不考虑得周密则顾此失彼，妨碍了数学水平的进一步提高，不少学生在教师评讲完试卷后总觉得自己懂得解题知识却不会解题方法，就认为自己笨，理解能力差，却没从自己的学习方法去找原因，知识是有层次，还未达到灵活运用层次，因此遇到一些陌生的题目就束手无策，要真正把握知识，只有通过适量的练习加以认识巩固，找出知识的内涵和外延，从而在解题

21、过程联系上已学的有关知识，再构思解题思路方法，平时多积累不同类型的解题经验，才能在考试中提高解题效率和准确性，从而得心应手。在此，为大家举一个实例：例6 解不等式 分析：这是一道简单的不等式证明问题，但是又有它独特的地方，它具有一题多解的特点。要巩固和加强解题思维的严密性，通过解这道题，我们就可以在这方面有一定的锻炼。方法一：（作差法） 由、知原不等式成立。方法二：（作商法） 由、知原不等式成立。方法三：（综合法）要证即证即证因为所以即故原不等式成立。方法四：（分析法）因为所以有即即方法五：（增加参数法）因为所以可设使得所以即方法六：（构造函数法）令则又所以即在定义域上是增函数又因为所以有即方

22、法七：（反证法）假设则有即又因为推出与题设矛盾故原假设不成立。方法八：(定比分点法)由可知分与1的定比所以得证。方法九：（放缩法）将原式右边进行放缩，得方法十：（坐标法）建立直角坐标系如下：设连线中点， 所以三点位置如图： 图由图可知即 方法十一：（坐标法）建立直角坐标系如下：图连接，交轴负轴于点为的一个外角所以有故有即所以即除此之外，这道题还有许多种不同的解法，笔者就不一一累述了。总之，要想提高学生的解题能力，是一项重要而艰巨的任务，但不能盲目急于求成，必须做到记忆基础知识应用练习综合巩固提高总结方法技巧，提高升华，要有钻研精神及决心毅力，并做好解题方法摘录，积累解题经验，提高解题效率。此外

23、，关于怎样解题，笔者在此向大家介绍卓越的数学教育家G·波利亚的一项研究成果3：他把自己几十年教学和科研的经验集中体现在一张“怎样解题表”中。这张解题表是根据一般人们在解题过程中的心理活动特征和逻辑思维顺序出现的可能性，科学地列出来的。全表共四部分，第一部分是“弄清问题”，第二部分是“拟定计划”，第三部分是“实现计划”，第四部分是“回顾”。在第一部分和第二部分中，G·波利亚都指出了“怎样审题”这样一个关键问题。我们不妨摘录其中一部分。“第一你必须弄清问题”“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数,，画张图引入适当的符号。把条件各部分分开，你能

24、否把它们写出来？” 进一步的审题是：“你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？” “你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？” “看着未知数！试想出一个具有相同的未知数或相似未知数的熟悉问题”，“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。”“你能不能从已知数导出某些有用的东西？”“你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念？”四、结束语数学学习离不开解题，数学能力的培养和训练更离不开解题。解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，是训练学生数学能力的重要手段，也是检验学生学习知识、运用知识以及发展能力的基本形式。解决数学问题是数学教育的核心，学数学就意味着解题，中学数学教学的目的，归根结底在于培养学生的解题能力，提高数学解题能力是数学教学中一项十分重要的任务。教师在教学中如何更好地引导学生解答数学问题,不断提高学生的数学解题能力,是学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的重要途径 ,也是训练学生数学能力的重要手段，它不仅直接关系到学生学习数学成功与否，而