以椭圆和圆为背景的解析几何大题教学文案

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例 1 【 2015 江苏高考】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 x2y21 a b 0 的离心率为2 ，a2b22且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）过 F 的直线与椭圆交于A， B两点，线段 AB的垂直平分线分别交直线l 和 AB于点 P， C，若 PC=2AB，求直线 AB的方程 .2【答案】（1） xy2 1（ 2） y x 1或 yx12【解析】试题解析：（ 1）由题意，得 c2 且 ca23 ，a2c解得 a2 ， c1 ，则 b1 ，只供学习与交流此文档

2、仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除所以椭圆的标准方程为x2y212（ 2）当x 轴时，2，又 C3 ，不合题意当与 x 轴不垂直时，设直线的方程为ykx 1 ，x1 , y1， x2 , y2，将的方程代入椭圆方程，得12k 2x24k 2 x2 k210 ，则x1,22k 22 1k2， C 的坐标为2k 22 ,k2，且212k2k12k1x22y221 k 2x2222 1k 2x1y1x112k 2若 k0，则线段的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意从而 k0 ，故直线C 的方程为 y1k1x12k 2，2k 2k2k25k222 3k211 k2则点的坐标为2,，从而C

3、k12k 2k 12k2C22 3k 21 1 k 24 2 1 k 2，解得 k1 因为，所以k12k 212k2此时直线方程为 y x1或 yx1例 2【 2016 江苏高考】xOy 中，已知以 M 为圆心的圆如图，在平面直角坐标系M :x2y212x 14 y600 及其上一点 A(2 ， 4).(1) 设圆 N与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心N在直线 x=6 上，求圆 N的标准方程；（ 2）设平行于 OA的直线 l 与圆 M 相交于 B， C两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程；（ 3）设点 T（ t ， 0）满足：存在圆uuruuruuurM 上的两点 P和 Q，使得 TA

4、TPTQ , ，求实数 t 的取值范围 .只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【答案】（1） ( x6)2( y1)21 （ 2） l : y2x5或 y2 x15 （ 3） 22 21t22 21【解析】试题解析：解：圆的标准方程为22，所以圆心，半径为，Mx6y725M(67)5 .（ 1）由圆心 N在直线 x=6 上，可设 N6, y0.因为 N与 x 轴相切，与圆M外切，所以 0 y0 7 ，于是圆 N的半径为 y0，从而 7y05 y0 ，解得 y01 .因此，圆 N的标准方程为 x 62y21.1(2) 因为直线 l OA，所以直线 l的斜率为 402 .20

5、设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x- y+m=0，则圆心 M到直线 l 的距离267mm5d.55因为 BCOA22422 5,而 MC2d2（BC2）,2m52所以 255 ，解得 m=5 或 m=-15.5故直线 l的方程为2x- y+5=0 或 2x- y-15=0.(3) 设 P x1 , y1 , Q x2 , y2 .因为 A 2,4 ,Tt,0uuruuruuurx2x12t,TATPTQ ，所以y2y14 因为点 Q在圆 M上，所以x22y272625.将代入，得x1t 42y1 3225.于是点 P x1 , y1xt42y2既在圆 M上，又在圆325上，只供学习与

6、交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除从而圆 x62225 与圆xt22没有公共点，y74y 325所以5 523 72t 4 65 5, 解得 2 2 21 t 2 2 21 .因此，实数t的取值范围是2 221, 2221 .【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路. 对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一

7、位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.x22例 3 【 2017 江苏高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 E :y1(a b 0) 的左、右焦点分别a2b2为 F1 ， F2 ，离心率为1 ，两准线之间的距离为8点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点F1 作直线2PF1 的垂线 l1 ，过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2 （ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）若直线 l1 ， l2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标【答案】（ 1） x2y21；（ 2） (47,3 7)4377试题解析：（1）设椭圆的半焦距

8、为c只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除因为椭圆 E的离心率为 1，两准线之间的距离为8，所以 c1， 2a28 ，2a2c解得 a2, c 1 ，于是 ba2c23 ，因此椭圆 E 的标准方程是 x2y 21 43因为点 Q 在椭圆上，由对称性，得x021y0 ，即 x02y021或 x02y021 y0又 P 在椭圆 E 上，故 x02y02143x02y0214 7 , y037 ；x02y021由 x02y02，解得 x0x02y021，无解4317743因此点 P的坐标为 (47,3 7)77【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系只供学习与交流此文档仅供收集于网

9、络，如有侵权请联系网站删除【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等【热点深度剖析】1. 圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2017 年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化

10、2. 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. 综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识. 解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断. 常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等

11、式、求变量范围构造不等关系”等等.3. .避免繁复运算的基本方法：回避，选择，寻求. 所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算. 所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的方法等，一般以直接性和间接性为基本原则. “设而不求” 、“点代法”等方法的运用就是主动的“所谓寻求”.4. 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直

12、线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量5. 预计 18 年将继续将解几大题作为探究能力考查的“试验田”，考查定点、定值问题的可能性较大.【最新考纲解读】要求备注内容ABC平 面 解直线的斜率和倾斜角对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除析 几 何次（在表中分别用A、 B、 C 表示） .初步了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.直线方程理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合直线的平行关

13、系与垂直性较强的或较为困难的问题.关系两条直线的交点两点间的距离、点到直线的距离圆的标准方程与一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质圆 锥 曲中心在坐标原点的双曲线 与 方线的标准方程与几何性程质顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【重点知识整合】一、 1. 椭圆的定义：（ 1）第一定义：平面内到两定点F1,F 2 的距离之和为定值2a( 2a>|F 1F2|) 的点的轨迹 .（ 2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 . （0<e<1） .2. 图形与

14、方程（以一个为例）图形标准方程：x2y21( ab >0)a2b23. 几何性质：（ 1）范围axa, b yb（ 2）中心 坐标原点 O (0,0)（ 3）顶点 (a,0),( a,0),(0, b),(0, b)4x 轴，y轴，长轴长2a，短轴长2b（ ）对称轴（ 5）焦点F1( c,0), F2 (c,0)焦距2c ，（ ca2b2 ）（ 6）离心率ec1），（ 0 ea（ 7）准线xa2c（ 8）焦半径r左aex0 , r右aex0（ 9）通径2b2a（ 10）焦参数a2c二、 1.抛物线的定义：只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除平面内与定点和直线的距离相

15、等的点的轨迹.（ e=1）2. 图形与方程（以一个为例）图形标准方程：y22 px( p0)3. 几何性质：（ 1）范围x0 经， yR（ 2）中心无（ 3）顶点 O (0,0)（ 4）对称轴x 轴（ 5）焦点F ( p ,0)焦距无2（ 6）离心率e1（ 7）准线xp2（ 8）焦半径rx0p2（ 9）通径2 p（ 10）焦参数p【应试技巧点拨】一、（ 1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其两焦点 ( 或两相异定点 ) ，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆

16、锥曲线第一定义与配方法的综合运用。（ 2）椭圆的定义中应注意常数大于| F1F2|. 因为当平面内的动点与定点F1、F2 的距离之和等于| F1F2| 时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、 F2 的距离之和小于| F1F2| 时，其轨迹不存在（ 3）求椭圆的标准方程定义法：根据椭圆定义，确定a2 , b2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是在 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a、 b、 c的方程组，解出 a2 ,b2 ，从而写出椭圆的标准方程（ 4

17、）椭圆中有一个十分重要的OF1B2( 如图 ) ，它的三边长分别为a、b、c . 易见 c2a2b2 ，且若记OF1 B2，则 cosce.a（ 5）在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如： ac 与 ac 分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；椭圆的通径 ( 过焦点垂直于长轴的弦) 长 2b2，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值a（ 6 ）共离心率的椭圆系的方程：椭圆x2y21(a b0) 的离心率是 ec (ca 2 b 2 ) ，方程a2b2ax 2y 2t(t 是大于 0 的参数， a b0 的离心率也是c我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a 2b

18、2ea二、 对于抛物线的标准方程 y22px ( p0) 与 x22 py( p0) ，重点把握以下两点：(1) p 是焦点到准线的距离， p 恒为正数；(2) 方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”B抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：(1)抛物线 y22 px( p0) 上一点 M (x0, y0 ) 到焦点 F 的距离 MFx0p ；2(2)抛物线 y22 px( p0) 上一点 M ( x0 , y0 ) 到焦点 F 的距离 MFpx0；2(3)抛物线 x22 py( p

19、0) 上一点 M (x0, y0 ) 到焦点 F 的距离 MFy0p ；2(4)抛物线 x22 py( p0) 上一点 M ( x , y) 到焦点 F 的距离MFpy0.002C直线与抛物线的位置关系类似于前面所讲直线与椭圆、双曲线的位置关系只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除特 别 地 ， 已 知 抛 物 线 y22 px( p0)，过其焦点的直线交抛物线于 A、B两点，设A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 则有以下结论：(1)ABx1x2 p ，或 AB2 p(为 AB 所在直线的倾斜角 ) ；sin 2(2)x1 x2p2；4(3)y1 y2p2.

20、过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2 p .【考场经验分享】1. 目标要求：直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型2. 注意问题： (1) 对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解(2) 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的

21、定义求解3. 经验分享：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 ( 些 ) 参数的函数 ( 解析式 ) ，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解【名题精选练兵篇】1.【南通市 2018 届高三上学期第一次调研】如图，在平面直角坐标系x2y21xOy 中，已知椭圆b2a2(ab 0) 的离心率为2 ，两条准线之间的距离为 4 2 .2（ 1）求椭圆的标准方程；只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ 2

22、）已知椭圆的左顶点为A ，点 M 在圆 x2y28上，直线 AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB 的9面积是 AOM 的面积的2 倍，求直线 AB 的方程 .【答案】（1） x2y21 （ 2） x 2 y 20 ， x2y 2 042试题解析：（ 1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，c22a2a，4 22c解得 a2 ， c 2，所以 b2 .所以椭圆的方程为x2y21 .42（ 2）方法一：因为 S AOB2S AOM ，所以 AB2AM ，所以点 M为AB的中点.因为椭圆的方程为x2y21 ，42所以 A2,0.设 M x0 , y0，则 B 2x02,2 y0 .2x022y02228

23、，21，所以 x0y0942由得9x02 18x0160 ，解得 x02， x083（舍去） .3把 x02y02代入，得，313所以 kAB，2只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除因此，直线 AB 的方程为 y1x2即 x2 y20， x2 y20 .2方法二：因为 S AOB2S AOM ，所以 AB2AM ，所以点 M 为 AB 的中点 .设直线 AB 的方程为 yk x2.x2y21, 得 1 2k 2 x28k 2 x 8k2由 424 0 ，yk x2 ,所以 x212k 2x4k 220 ，解得 xB24k 2，12k 2所以 xMxB24k 2，yMk x

24、M22k，212k 212k 28 得4k 222k28 ，代入 x2y21912k 22k 29化简得 28k 4k220 ，即 7k 224k 210，解得 k1，12所以，直线 AB 的方程为 yx2即 x2 y20， x2 y20 .22.【淮安市等四市2018 届高三上学期第一次模拟】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点 .求椭圆的标准方程；若，求的值；设直线，的斜率分别为，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除请说明理由 .【

25、答案】（1）（2） （ 3）试题解析：（ 1）设椭圆方程为，由题意知：解之得：，所以椭圆方程为：（ 2）若，由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，由，得，解得（舍去），故（3）设，则，直线的方程为，代入椭圆方程，得只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除，因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，又在直线上，所以，同理，点坐标为，所以，即存在，使得3. 【南师附中、天一、海门、淮阴四校2018 届高三联考】已知椭圆C 的方程：x2y21(a b 0) ，a2b2右准线 l 方程为 x4 ，右焦点 F 1,0, A 为椭圆的左顶点 .（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设点 M

26、为椭圆在 x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足uuuuv uuuuvuuuuvuuuuvAM MN0且5AM2 MN，求直线AM 的方程 .【答案】（1） C : x2y21 ；（ 2） yx 2 或 y1 x1.4342【解析】试题分析：（ 1）由准线方程和焦点坐标可得a24, b23，由此可得椭圆方程（ 2 ）由题意设AM的方程为y k x 2 ，与椭圆方程联立解方程组可得点uuuuvuuuuvM的坐标，由此可得 MN ， AM ，然后由 5 AM2 MN只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除建立关于 k 的方程，解方程可得k ，从而可得直线方程试题解析：（ 1）由题

27、意得a24, c1，ca24, b2a2c23,x2y2椭圆 C 的方程为1 43只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除又 xN4，MN1xN124k 261k2 24k2612 xM124k23k4k2，kk3又 AM1 k 2 xMxA1 k 21231 k 2123，4k24k2Q5AM2MN ，Q 5 1k21232 1k 2 24k 26，4k 2k4k23只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除解得 k 1或 k14直线 AM 的方程为 yx 2 或 y1 x1424. 【如皋市 2017-2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】在平面直角

28、坐标系 xOy 中，已知直线 y x与椭圆 x2y21(ab 0)交于点 A ， B （ A 在 x 轴上方），且 AB26 a . 设点 A 在 x 轴上的射影a2b23为 N ，三角形 ABN 的面积为2（如图 1） .（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设平行于 AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q .求证：直线 OQ 的斜率为定值；设直线 OQ 与椭圆相交于两点C ， D （ D 在 x 轴上方），点 P 为椭圆上异于A， B， C， D一点，直线 PA交CD于点 E， PC交 AB于点 F ，如图 2，求证：AF CE 为定值 .x2y211 45【答案】（1）3(2) 62【解析】试题

29、分析：（1）设 A x0 , x0 x00，已知 S ABN 2S AON2，即 S AON1 x021 ，所以 x02 ，2故 AO2 x01 AB26 a ，即 a6 , 再根据椭圆经过 A2, 2 解得 b3，从而可得椭圆的23只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除试题解析：（ 1）由题意，可设Ax0 , x0x00 ，已知 S ABN2S AON 2 ，即 S AON1x021，2所以 x02，故 AO2x01 AB26 a，即 a6 ；2322又椭圆经过 A2, 2，即221，解得 b3 ；a2b2故所求椭圆的方程为：x2y2163(2)设平行 AB 的直线的方程为yxm ，且 m0 ，yx m联立 x2y2，得到 3x24mx2m260 ，631x1