离心率专项练习

1、离心率专项练习1、 如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力设双曲线方程为1(a>0，b>0)，点A的坐标为(x0，y0)由题意得a2b23c2，则|OA|c，所以解得x，y，又点A在双曲线上，代入得，b2a2a2b2，联立解得a，所以e2、 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，

2、使|A1B1|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k>0)必须满足<k，易知k，所以<23，<124，即有< 2.又双曲线的离心率为e ，所以<e23、 设椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230°，则C的离心率为_【解析】本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质

3、等知识，意在考查考生的运算求解能力法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y±，所以|PF2|.又由PF1F230°可得|F1F2|PF2|，故2c·，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)4、 从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲

4、线和方程这一解析几何的基本思想由已知，点P(c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.ABOP，kABkOP，即，则bc，a2b2c22c2，则，即该椭圆的离心率是.5、 已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为_【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力由余弦定理得，|AF|6，所以2a6814，又2c10，所以e.6、 如图，F1，F2分别是双曲线C：1(a，b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交

5、于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，则C的离心率是_【解析】不妨设c1，则直线PQ：ybxb，两渐近线为y±x，因此有交点P(，)，Q(，)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(，)，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，因此有kMN，所以34a2b21a2，所以a2，所以e.7、 设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为_【解析】由题意可得|PF2|F1F2|，所以2(ac)2c，所以3a4c，所以e.8、

6、如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是_【解析】设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，所以2.9、 设F1，F2是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为_【解析】由题意可得|PF2|F1F2|，2(ac)2c，3a4c，e.10、 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_【解析】

7、设双曲线C的方程为1，焦点F(c,0)，将xc代入1可得y2，所以|AB|2×2×2a.b22a2.c2a2b23a2，e.11、 设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2.若曲线T上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线T的离心率等于_【解析】设圆锥曲线的离心率为e，因|PF1|F1F2|PF2|432，则若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e；若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e；综上，所求的离心率为或.12、 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_【解析】不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方

8、程为：，则一个焦点为,一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，,，解得.13、 椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是_【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|, |PF|ac,ac,于是ac,ac,即acc2b2acc2,Þ,又e(0,1),故e.14、 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是_【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因15、 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+

9、1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为_【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,.16、 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率_.【解析】设双曲线的右准线为,过分 别于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 .17、 设F1，F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题依题意及双曲线的对称性

10、，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，求得|PF1|4a，|PF2|2a.而|F1F2|2c，所以在PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|·|F1F2|·cosPF1F2，所以4a216a24c22·4a·2c·cos 30°，即3a22acc20，所以ac0，故双曲线C的离心率为.18、 椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足M

11、F1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【解析】本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力直线y(xc)过点F1，且倾斜角为60°，所以MF1F260°，从而MF2F130°，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.19、 已知椭圆C：1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求解求解此题的关键是能够

12、巧妙地应用过原点的直线与椭圆的两个交点关于原点对称来确定a值，试题也侧重考查了逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.20、 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2=d1，则椭圆C的离心率为_【解析】本题考查椭圆的基本概念及性质，意在考查

13、学生的推理能力及运算能力令F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为1，所以d1 .又d2c，由d2d1，可得·，解得b22c2，所以a23c2，ac，所以e.21、 椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【解析】本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60°，所以MF1F260°，从而MF2F130°，所以MF1MF2.在R

14、tMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.22、 设F1，F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230°，则C的离心率为_【解析】本题主要考查双曲线的离心率和解直角三角形，并结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化处理能力和运算能力由已知可得，|PF1|2ccos 30°c，|PF2|2csin 30°c，由双曲线的定义，可得cc2a，则e1.23、 椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F

15、1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_【解析】依题意得|F1F2|2|AF1|·|BF1|，即4c2(ac)·(ac)a2c2，整理得5c2a2，得e.24、 椭圆1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_【解析】依题意得，点F(，0)，不妨设点A(acos ，sin )，|FA|FB|acos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|2a2cos 2sin 的最大值是2a 4a12，即a3，因此该椭圆的离心率是.25、 设P为直线yx与双曲线1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e_.【解析】由PF1x轴且P点在双曲线的左支上，可得P(c，)又因为点P在直线yx上，所以×(c)，整理得c3b，根据c2a2b2得a2 b，所以双曲线的离心率e.26、 已知椭圆的左