第八章平面运动

1、车轮运动行星齿轮椭圆规尺曲柄连杆机构 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动平面运动。 平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内作平面曲线运动。 B1C1平动，归结为A1的运动。无数这类点构成S平面。S平面的运动代表了刚体的平面运动。刚体平面运动简化为平面图形在自身平面内的运动。8-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解一、平面运动一、平面运动刚体平面运动时，与杆件的厚度无关。二、运动方程二、运动方程 123OOxftyftft基点（任选）O 转角D COOyxC1、运动方程上平移，没有转动转动，没有平移平面运动可分解为

2、平动和转动。三、运动分析三、运动分析AB为刚体初始位置，A1B1为运动后位置。通过移动和转动到最终位置。平面运动 = 随O1x1y1的平移+绕O1点的转动 O1x1y1平移坐标系（假想）2、用合成运动理论分解平面运动+ 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。 平面图形相对于各平移参考系（包括固定参考系），其转动运动都是一样的，角速度、角加速度都是共同的，无需标明绕哪一点转动或选哪一点为基点。 随基点平动为牵连运动，绕基点转动为相对运动，合成为平面运动。刚体平面运动刚体平面运动平面图形在自身平面内运

3、动平面图形在自身平面内运动随基点平动和绕基点转动随基点平动和绕基点转动8-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法一、基点法一、基点法动点：M绝对运动 ：待求牵连运动 ： 平移MerOvvvvO M动系 ： (平移坐标系)O x y 相对运动 ：绕 点的圆周运动 O任意A，B两点BABAvvv其中BABAvABvAB 大小方向垂直于，指向同平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。二、速度投影定理二、速度投影定理同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。沿AB连线方向上投影BAABABvvBABAvvv由 因为A和B是刚体上的两点，

4、它们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在AB方向的分量必须相同。否则，线段AB不是伸长，便要缩短。 速度投影定理不仅适用于刚体的平面运动，也适合于刚体作其他任意的运动。例8-1 如图所示平面四连杆机构OABO1， ，OA=O1B=0.5AB，图示 ，O、O1、B共线，求 、VB 。srad3BOAB1、o90（逆）（逆）srad5.2srad3BOAB1 ?OA33VB例8-2 半径为R的圆轮沿水平直线轨道纯滚动，轮心速度为Vo，求轮缘上A、B、C、D四点的速度。0V V2VV V2VCoDBoA?1.已知平面图形的角速度为，分别以A点和点B为基点，绕A点的角速度为A，绕B点的角速度为B，三

5、个角速度之间的关系是（）。（A）=A=B （B）AB（C）A=B （D）无法判断 8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。速度为零的点称为瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心。一、定理基点：AMAMAvvvMAvvAM0ACvvAC平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕速度瞬心转动的速度绕速度瞬心转动的速度。速度瞬心：C二、平面图形内各点的速度分布MCCMVVVMCMVVMCVVMCMVC=0刚体平面运动刚体平面运动平面图形在自身平面内运动平面图形在自身平面内运动随基点平动和绕基点转动随基点平动和绕基点转动

6、绕速度瞬心的瞬时转动绕速度瞬心的瞬时转动 不同时刻，速度瞬心不同，在每一时刻都有速度瞬心，可以在平面图形内，也可以在平面图形外。 在每一时刻都有速度瞬心，仅有一个，如有两个，平面图形要么静止，否则平面图形不可能绕两个点转动。三、确定速度瞬心的方法三、确定速度瞬心的方法 已知平面图形上两点的速度矢量的方向，这两点的速度矢量方向互不平行。 已知平面图形上两点速度矢量平行，并且都垂直于两点的连线。并且已知两速度大小的比例关系。00BAABBAABBAMvvvvvvv瞬时平移瞬心在无穷远处。/,ABvvAB且不垂直于 已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂

7、直于两点的连线。此时AB的运动称为瞬时平移。 纯滚动(只滚不滑)约束sin1 cosxrttyrt1 cossinxyvrtvrt2|0kvC 瞬心CODCBvO例8-3 如图所示平面机构OA=20cm，AB=80cm，BD=60cm，O1D=40cm， ，图示瞬时BD铅垂，O1D水平，OA AB，求此时 及BD中点M的速度。 srad10DOBD1、scm103V0srad43. 3MDOBD1（逆）例8-4 如图所示平面机构中，AB与齿轮固连，为一体，曲柄OB和齿轮 同装在O轴上。已知： ， O1A=0.75m，AB=1.5m， 求图示瞬时曲柄OB和齿轮的角速度。srad6m30.3r （

8、逆）（逆）srad6srad3.75OB例8-5 动齿轮A沿固定齿轮B作纯滚动。动齿轮的半径为r，齿轮B的半径为R，滑块C的速度为V，沿水平方向。图示瞬时，AC AB，B、C在同一铅垂线上。求动齿轮A 的角速度。 2rV2.边长为L的等边三角形ABC在自身平面内运动。已知A点的速度大小为VA，方向沿AC，B点速度大小未知，方向沿CB。求此时三角形ABC的角速度形=（）， C点的速度VC=（），并在图中表示出三角形ABC的角速度 的转向和C点的速度的方向。ACA2VVVL3?8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随

9、图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。tnBerraaaatnBABABAaaaa,ttBABAaABaAB大小方向垂直于指向同2nnBABAaABaBA大小方向由 指向A ：基点 ：平移动参考系 Ax y1、是否存在与速度投影定理类似的加速度投影定理？2、是否存在与速度瞬心类似的加速度瞬心？3、速度瞬心与加速度瞬心会不会是同一点？当0时，不存在；当=0时，存在。存在，但加速度瞬心不好找，一般不用加速度瞬心法。不会。对于刚体平面运动而言，一个点速度和加速度同时为零，此点为定点，为定轴转动。讨论4、加速度的基点法有几个投影方程？两个例8-6 如图所示，OA=AB=20cm，杆AB的B端

10、沿铅垂墙滑动。求当 ，AB杆的角速度、角加速度及B点的速度、加速度。0srad230O，（顺）（顺）（）（2ABAB2BBsrad4.77srad1.15scm110.8ascm23.1V例8-7 如图所示平面机构，曲柄OA长10cm，转速 ，连杆AB长 cm，滚子沿水平面作纯滚动，滚子半径R=10cm。求图示时位置时滚子的角速度和角加速度及滚子与地面接触点C的加速度。minr30n 310合成运动： 以OA为动系， 以轮心B为动点。解析法?2C2BBsm1.3asrad2.2srad3.62一题多解：平面运动理论、合成运动理论、解析法。平面运动：本题常见的解法。合成运动：以OA为动系，以轮心

11、B为动点。解析法：本题给的条件是全过程，可以用解析法。OA与OB垂直时，求B的速度和加速度。AB瞬时平动，E是加速度瞬心8-5 8-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例已知运动机构未知运动机构连接点运动学分析建立运动方程合成运动理论刚体运动分析全过程两个刚体（接触）一个刚体（铰接） 对工程上常见的平面机构（如：曲柄连杆机构、四杆机构、行星机构等）要能熟练地进行运动学分析，求出指定点的速度、加速度和指定刚体的角速度、角加速度。这种分析通常从运动已知的构件开始，通过两个构件的连结处（如：铰链或滑块与滑槽的接触处）求得另一构件上相应点速度、加速度，进而求得所需的角速度、角加速度等。点运动和刚体运

12、动是密不可分的。刚体运动平动定轴转动平面运动点直线曲线运动形式圆周运动运动表示方法矢量法直角坐标系法自然法点的运动转角、角速度、角加速度点：速度、加速度运动的分解运动的方程点速度：基点法、投影法瞬心法加速度：基点法例8-8 平面机构，滑块A的速度为常数， ，AB=0.8m，求当AD=DB， ，杆DE的速度、加速度。sm0.4V O30）（）（2DEDEsm1.33asm0.23V解析法例8-8 平面机构，滑块A的速度为常数， ，AB=0.8m，求当AD=DB， ，杆DE的速度、加速度。sm0.4V O30例8-9 平面机构，杆AB以不变的速度V沿水平向右运动，套筒B与杆AB的端点铰接，并套在绕

13、轴O转动的杆OC上，可沿OC滑动。AB与OE两平行线间垂直距离为b。在图示位置，OD=DB时，杆OC的角速度、角加速度和滑块E的速度、加速度。（顺）b43VOC）（2VVE（逆）22OC8bV33-）（24bV37-a2E例8-10 如图所示，已知曲柄OA长为r，以匀速绕O轴转动，连杆AB长为b。试求在090o范围内，滑块B的速度、加速度和连杆的角速度、角加速度与和的关系。222BBbcosrcoscoscosracossinrV）（），（）（222ABABbcossinrcos-sinbcosrbcoscosr（顺）， 例9-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l

14、。求：B端的速度以及尺AB的角速度。解：1、 AB作平面运动 基点： AABABvAB lv，已知： ， ，。求：。sinABAvvsinlvlvABAAB2?BABAAvvvv、大小 ？方向cotABvv 例9-2如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BDAE，杆AB的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。解：1 、 BD作平面运动 基点：B300mm,/,5rad sABDECABBDDElBDAEv 。已知：。求：，lvvvBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl、大小 ？

15、方向300mm,/,5rad sABDECABBDDElBDAEv 已知：。求：，221.299m sCBCBvvvBD方向沿杆向右32?CBCBBDvvvll、大小 ？方向 例9-3曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。如曲柄OA以匀角速度转动。r306090B求：当，时点 的速度。解：1、 AB作平面运动 基点：A3,OABOAABrrv已知：求：。900,BAABvrvv0Bv06033230cosrvvAB2?BABAvvvr、大小 ？方向例9-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半径为r1 ，行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。O求：轮的角速度及其上B，

16、C 两点的速度。解: 1、轮作平面运动 基点：A12DAAOvvrr1221DAAOvvrDArr20DADAvvv、12,OAOrr已知：。,BCvv求：21222rrvvvOBAAB122BABAOvvvrrr大小方向？、212rrvvvOCAAC4CACAvvv、12,OAOrr已知：。,BCvv求：例9-5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED。求：此瞬时点E的速度。解： 1、 AB作平面运动BA ABABvv（ ）OAvB30cos

17、sm2309. 030cosOAvB100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。2、CD作定轴转动，转动轴：C30.6928m sBDBvvCDvCB3、DE作平面运动cos300.8m scos30ED DEDEEDDEvvvvvv（ ）100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。例9-8如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点A和B的加速度。解: 1、轮作平面运动，瞬心为

18、 C。12Ovlrr2d0dt1111,O OABOOlrraa已知：纯滚动。求：。2、选基点为2212?0?tnAOAOAOaaaalr大小方向2221121(1)nAOAOaaallrllr1111,O OABOOlrraa已知：纯滚动。求：。22123?0?tnBOBOBOaaaalr、大小方向222211nBOBOaaallrarctanarctanOnBOaral1111,O OABOOlrraa已知：纯滚动。求：。例9-9如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度绕O 轴转动。ODADBDl。求：当时，尺AB的角加速度和点A的加速度。 60解：1、 AB作平面运动，瞬心为 C。l

19、lCDvDAB0,60,ODABAODADBDla。已知：常数求：。22DDal、选 为基点分别沿轴和轴投影nADDAaaa2coscossincossin0nADtADDaaa200ttADAADABaalaAD 解得0,60,ODABAODADBDla。已知：常数求：。22?tnADADADaaaall大小 ？方向求：车轮上速度瞬心的加速度。例9-10 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为，加速度为，车轮与地面接触无相对滑动。OvOa,OOCR ava。已知：求：解：1、 车轮作平面运动，瞬心 为 C。2OvR、dd1ddOOvatRtR3、选为基点2tnCOCOCOOaaaa

20、aRR大小 ？方向 ？2nCCOaaR 例9-6 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。解：AB作平面运动，速度瞬心为点C。sinlvACvAAABcotAABBvBCvABABvAB lv，已知： ， ，。求：。例9-7 矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。解: 1、杆DE作平面运动，瞬心为 C1 。srad2968. 01

21、1ECOEECvEGEsm066. 11GCvGEGmm359115sin01OGGC800mm500mmsin15929.4mmOG 113369mmECOCOE600mm,100mm,10rad s,500mm:ABABOEBGGD已知：。求。2、杆BG作平面运动，瞬心 为C。GBGvGCcos60BBGGGBCvBCvGCvsrad888. 060cosABvABvGBAB求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。例9-11图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为

22、。l 245解：1 、杆BE作平面运动，瞬心在O点。lvOEvBEvOBvBEB,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。取E为基点2?0?BtnEBEBEEaaaaBE大小方向沿BE方向投影lvaalvaanBEBnBEB22245cos245cos,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。绝对运动 ：直线运动(BD)相对运动 ：直线运动(OA)牵连运动 ：定轴转动(轴O)2、动点 ：滑块B 动系 ： OA杆?aervvvv大小方向 沿BD方向投影lvOBvvvvveOArae0,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常

23、数。求：，。222?0tnaeerCOAaaaaavll大小方向沿BD方向投影22222lvOBalvaateOAate,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。例9-12 在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。60解：1、 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O 绝对运动 ： 直线运动(AC )相对运动 ： 直线运动(AB )牵连运动 ： 定轴转动(轴O ), ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。2?aervvvv、大小方向26

24、0cos2360sinvvvvvvaraelvAOveAB43, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。20? 2tnaeerCABeraaaaaAOv大小方向tea沿 方向投影2034teCteCaavaal22833lvAOateAB, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。另解： 1、取坐标系Oxy2、 A点的运动方程cotlxA3、速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 03604ABvl当时有223 38ABvl, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。例9-13 如图所示平面机构，AB长为l

25、，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕轴O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为。lv 30,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。2、动点 ： 滑块A 动系 ： OC杆绝对运动 ：未知相对运动 ：直线运动（OC）牵连运动 ：定轴转动（轴O）解：1 、杆AB作平面运动，基点 为B。ABABvvvtnABABABaaaa?AerBABvvvvvOAl大小方向Bv沿方向投影0sin302BABelvvvlvvveBAB 2lvABABlvvABr2330cos0沿 方向投影rv,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。220?20?2tntnAeerCBABABrABaaaaaaaalvl大小方向Ca沿方向投影0030cos30sinnABtABCaaa233latAB从从而而233ABatABAB,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求