有理函数的积分ppt课件

1、1 1 1 1 1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分四、小结四、小结 思索题思索题2 2 2 2 2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1.【有理函数】【有理函数】两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函数的积分一、有理函数的积分2. 【真分式与假分式】【真分式与假分式】

2、假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式, 时时mn 称这有理函数是真分式；称这有理函数是真分式；, 时时mn 3.【假分式分解】利用多项式除法【假分式分解】利用多项式除法, 假分式可以化成一假分式可以化成一【例】【例】1123 xxx.112 xx【难点】【难点】将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和. .称这有理函数是假分式。称这有理函数是假分式。个多项式和一个真分式之和个多项式和一个真分式之和. .3 3 3 3 3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束分母中假设有因式分母中假设有因式 ，那么，那么kax)( ,)()()()(121ax

3、AaxAaxAaxxPkkkk 4.4.【有理函数化为部分分式之和的普通规律】【有理函数化为部分分式之和的普通规律】【特殊地】【特殊地】, 1 k分解后为分解后为;axA 分母中假设有因式分母中假设有因式 ，其中，其中 ，那么，那么kqpxx)(2 042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMqpxxxPkkkkk 212222112)()()()(特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 4 4 4 4 4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5.【待定系数法】真分式化为部分分式之和的方法【待定系数法】真分式化为部分分式之和的方法6532 x

4、xx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx对未知的因子用假定的字母表示，然后运用恒等关系对未知的因子用假定的字母表示，然后运用恒等关系来求出假设字母近而确定未知的因子。来求出假设字母近而确定未知的因子。分子为单字母因子分子为单字母因子【方法【方法1】恒等式法】恒等式法(比较系数法比较系数法)5 5 5 5 5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束并将并将A A、B B值代入值代入(1)(1)2) 1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1( )1

5、()1(12 xCxBxxA代入特殊值代入特殊值( (赋值赋值) )来确定系数来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 x1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx【方法【方法2】特殊值法】特殊值法(赋值法赋值法)6 6 6 6 6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得分子含两个字母二项因子分子含两

6、个字母二项因子7 7 7 7 7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1 1】 dxxxx6532【解】【解】 dxxxx6532 dxxx)3625( dxxdxx316215Cxx 3ln62ln56.【有理真分式的积分】【有理真分式的积分】8 8 8 8 8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例3 3】求积分】求积分 【解】【解】.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251|21|ln52.arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx

7、 【例【例2 2】求积分】求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112【解】【解】dxxdxxdxx 11)1(112.|1|ln11|lnCxxx 9 9 9 9 9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例4 4】求积分求积分 dxxxx3222【解】【解】 dxxxx3222 dxxxx323)22(221由于分母是二次质因式，而分子是一次式，含有由于分母是二次质因式，而分子是一次式，含有x x项，而项，而xdxxdx能凑成能凑成 ，所以首先用凑微分，所以首先用凑微分法法. .2d21x【分析】【分析】 2222)2()1()1(

8、332)32(21xxdxxxxd 32332222122xxdxdxxxxCxxx 21arctan23)32ln(2121010101010机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【阐明】【阐明】将有理函数化为部分分式之和后，只出现将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 【例【例5 5】dxxxx 223)22(求求dxxxdxxxx 2232231)1()22(则则令令),22( tan1 xtx【解】【解】上式可化为上式可化为dtttt 243secsec)1(tan11111

9、11111机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束dttttttt )coscossin3sin3cos(sin2213dtttdttttt )cossin3(sin)cos3cos(sin2212 dtttdttt)2cos2()(coscos3cos)cos1(12tttdtt2sin212cos)cos2(cos1 Cttttt cossin2coscosln2t11 x222 xx221sin,221cos22 xxxtxxtCxxxxxxdxxxx 22)1arctan(2)22ln(21)22(222231212121212机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

10、返回返回 结束结束.【三角有理式的定义】【三角有理式的定义】由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成的函数称由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成的函数称之之)cos,(sinxxRxsin222sectan2xx ,tan1tan2222xx 二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例2cos2sin2xx xcos,tan1tan12222xx 令令2tanxu uxarctan2 万能置换公式万能置换公式2sin2cos22xx 2222sectan1xx 普通记为普通记为,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 1、三角有理式的积分、三角有理式的积

11、分1313131313机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR .【三角函数有理式的积分】【三角函数有理式的积分】【方法】作代换化为有理函数积分【方法】作代换化为有理函数积分【例【例5 5】求积分】求积分.cossin1sin dxxxx【解】【解】,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(1122221414141414机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

12、结束结束duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 1515151515机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例6 6】 求积分求积分.sin14 dxx【解】【解】,2tanxu ,+12=sin2uux,+12=2duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 1616161616机动机动 目录目录 上页上页 下

13、页下页 返回返回 结束结束【解】【解】修正万能置换公式修正万能置换公式, ,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 1717171717机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】可以不用万能置换公式，用凑微分法可以不用万能置换公式，用凑微分法 dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 【总结】【总结】 比较以上三种解法比较以上三种解法, , 便知万能置换不一便

14、知万能置换不一定是最正确方法定是最正确方法, , 故三角有理式的计算故三角有理式的计算中先思索其它手段中先思索其它手段, , 不得已才用万能置不得已才用万能置换换. .1818181818机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【讨论类型】【讨论类型】),(nbaxxR ),(ndcxbaxxR 【处理方法】【处理方法】作代换去掉根号作代换去掉根号. .化为有理函数的积分化为有理函数的积分. .【例【例1010】求积分】求积分 dxxxx11【解】令【解】令txx 1,12txx 2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11

15、 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt |11|ln2.11ln122Cxxxxx 1919191919机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1111】求积分】求积分.1113 dxxx【解】【解】 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 2020202020机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【阐明】【阐明】2.假设被积函数含有简单根式假设被积函数含有简单根式 或或nbax ndcxb

16、ax 时，时，可以令可以令nbaxu 或或ndcxbaxu 这样的变换具有反函数，且反函数是这样的变换具有反函数，且反函数是u u 的有的有理函数，因此原积分可化为有理函数的积分理函数，因此原积分可化为有理函数的积分. .1.无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数.2121212121机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例12 12 】 求积分求积分.1213 dxxxx【解】【解】先对分母进展有理化先对分母进展有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 该题先有理化该题先有理化,再凑微分，防止了变量代换化为有理式再凑微分，防止了变量代换化为有理式的积分所带来的费事的积分所带来的费事.2222222222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束简单无理式的积分简单无理式的积分. .有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分. .