第一节　两个计数原理与排列组合2026年高三数学第一轮总复习

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列第一节两个计数原理与排列组合课程内容要求1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.3.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.两个计数原理由教材回扣基础名称完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N=_____种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N=______种不同的方法m+nm×n2.排列、组合的定义排列的定义从n个____元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的_____排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合不同顺序作为一组3.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同____________从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同_____的个数公式性质排列的个数组合

澄清微点·熟记结论一、准确理解概念(判断正误)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(

)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)练小题巩固基础

二、练牢基本小题1.从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同选法的种数为

.

答案：72.3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有

种不同的选法.

答案：1253.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是

.

答案：304.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有

种.

答案：60三、练清易错易混1.(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有

种不同的取法.

解析：分两步完成，第一步从第1个口袋内任取1个小球有5种方法，第二步从第二个口袋内取1个小球有4种方法，根据分步乘法计数原理得到不同的取法种数是5×4=20种.答案：202.(分步、分类时产生重复或遗漏)从1，2，3，…，10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有

个.

解析：根据构成等差数列的公差，分为公差为±1，±2，±3，±4四类，公差为±1时，有8×2=16个;公差为±2时，满足要求的数列共有6×2=12个;公差为±3时，有4×2=8个;公差为±4时，只有2×2=4个，由分类加法计数原理可知，共构成了不同的等差数列16+12+8+4=40个.答案：40考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一两个计数原理及应用(自主练通)√1.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(

)A.24B.18C.12

D.9解析：由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法计数原理知，共6×3=18种走法，故选B.2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有

(

)A.180种 B.360种

C.720种 D.960种√解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).3.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为

(

)A.8 B.7 C.6 D.5√解析：根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有2种情况;②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2=4种情况，则不同的安排方法种数有2+1+4=7种.故选B.4.在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”.比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有

个.

解析：十位数的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个;十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6+2=8(个).答案：85.如图，从A到O有

种不同的走法(不重复过一点).

解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法;第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法;第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.答案：5一“点”就过(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.(2)分类标准要明确，做到不重复不遗漏.(3)混合问题一般是先分类再分步.(4)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.

命题视角二排列问题

求解排列应用问题的5种主要方法方法技巧直接法适用于没有限制条件的问题优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中间接法正难则反，等价转化的方法

针对训练√2.(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有

(

)A.12种 B.24种C.36种 D.48种√

命题视角三组合问题

组合问题的2种题型及解法方法技巧题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理续表

针对训练√

2.(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有

种(用数字作答).

考法(一)

整体均分问题[例1]

某校抽调志愿者下沉社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有

种.

命题视角四分组分配问题

方法技巧考法(二)

部分均分问题[例2]

将并排的有不同编号的5个房间安排给5名工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为

.

对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m!，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.方法技巧

对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时，任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.方法技巧1.(多选)将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是

(

)A.共有18种安排方法B.若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法C.若A社区需要两名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在A社区，则有12种安排方法针对训练√√

2.今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有

(

)A.180种 B.120种

C.90种 D.60种√

3.随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大.通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师辅导.已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有

种心理辅导安排方法.

03课时跟踪检测一、基础练——练手感熟练度1.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(

)A.26 B.60 C.18 D.1080解析：由分类加法计数原理知有5+12+3+6=26(种)不同走法.√2.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有

(

)A.10种 B.25种

C.52种 D.24种解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.√3.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为

(

)A.504 B.210 C.336 D.120解析：分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9=504种不同的插法.√

√5.若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有

个.

解析：当b=1时，c=4；当b=2时，c=4，5；当b=3时，c=4，5，6；当b=4时，c=4，5，6，7.故共有1+2+3+4=10个这样的三角形.答案：10

√2.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

(

)A.120种 B.90种

C.60种 D.30种√

√

√5.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星